Conexiune afină

O conexiune afină este o conexiune liniară pe mănunchiul tangent al unei varietăți . Expresiile de coordonate ale conexiunii afine sunt simbolurile Christoffel .

Pe o varietate netedă , fiecare punct are propriul său spațiu tangent . O conexiune afină permite ca spațiile tangente de-a lungul aceleiași curbe să fie considerate ca aparținând aceluiași spațiu, această identificare se numește translație paralelă . Datorită acestui fapt, de exemplu, pot fi definite operații de diferențiere a câmpurilor vectoriale .

Conexiune afină și calcul tensor

În spațiul euclidian tridimensional este definită operația de diferențiere a câmpurilor vectoriale. Când derivata unui câmp vectorial pe o varietate este definită printr-o astfel de formulă, cantitatea obținută nu este un câmp vectorial (tensor). Adică, atunci când se schimbă coordonatele, nu se transformă conform legii tensorilor. Pentru ca rezultatul diferențierii să fie un tensor, se introduc termeni de corecție suplimentari. Acești termeni sunt cunoscuți ca simboluri Christoffel .

Definiție

Fie M o varietate netedă și notăm spațiul câmpurilor vectoriale pe M . Atunci conexiunea afină pe M este maparea biliniară $C^\infty(M,TM)$

\begin{matrix} C^\infty(M,TM)\times C^\infty(M,TM) & \rightarrow & C^\infty(M,TM)\\ (X,Y) & \mapsto & \ nabla_X Y, \end{matrice}

astfel încât pentru orice funcție netedă f ∈ C ∞ ( M , R ) și orice câmp vectorial X , Y pe M :

$\nabla_{fX}Y = f\nabla_X Y$ , adică liniară în primul argument; $\nabla$
$\nabla_X (fY) = \mathrm df(X)Y + f\nabla_XY$ , adică satisface regula Leibniz cu privire la a doua variabilă. $\nabla$

Definiții înrudite

Torsiunea unei conexiuni afine este expresia $\nabla$

T^{\nabla }(X,Y)=\nabla _{X}Y-\nabla _{Y}X-[X,Y],

unde denotă paranteza Lie a câmpurilor vectoriale.

[{*},{*}]

O conexiune afină cu torsiune zero pe o varietate Riemanniană în raport cu care tensorul metric este constant covariant se numește conexiune Levi-Civita . $(\nabla g=0)$
Curbura unei conexiuni afine(sau curbura riemanniană) este tensorul $\nabla$ $R^{\nabla}(X,Y)Z=\nabla _{X}\nabla _{Y}Z-\nabla _{Y}\nabla _{X}Z-\nabla _{[X ,Y]}Z.$
O conexiune afină cu curbură zero se numește euclidiană .

Literatură

Lucrări originale

Christoffel, Elwin Bruno (1869), Über die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades, J. Für die Reine und Angew. Matematică. T. 70: 46–70
Levi-Civita, Tullio (1917), Nozione di parallelismo in una varietà qualunque e conseguente specificazione geometrica della curvatura Riemanniana , Rend. Circ. Mat. Palermo T. 42: 173–205 , DOI 10.1007/bf03014898
Cartan, Élie (1923), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 40: 325–412 , < http://www.numdam .org/item?id=ASENS_1923_3_40__325_0 > Arhivat 11 aprilie 2014 la Wayback Machine
Cartan, Élie (1924), Sur les variétés à connexion affine, et la théorie de la relativité généralisée (première partie) (Suite) , Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure T. 41: 1–25 , < http:// www.numdam.org/item?id=ASENS_1924_3_41__1_0 > Arhivat 11 aprilie 2014 la Wayback Machine

În această lucrare, abordarea studiului conexiunii afine este motivată de studiul teoriei relativității. Include o discuție detaliată despre cadrele de referință și despre modul în care conectivitatea reflectă noțiunea fizică a mișcării de-a lungul unei linii mondiale .

Cartan, Élie (1926), Espaces à connexion affine, projective et conforme , Acta Math. T. 48: 1–42 , DOI 10.1007/BF02629755

În această lucrare, se utilizează o abordare mai matematică a studiului conexiunii afine.

Cartan, Élie (1951), cu apendice de Robert Hermann, ed., Geometry of Riemannian Spaces (traducere de James Glazebrook a Leçons sur la géométrie des espaces de Riemann , a 2-a ed.), Math Sci Press, Massachusetts, 1983, ISBN 978 -0-915692-34-7 , < https://books.google.com/?id=-YvvVfQ7xz4C&pg=PP1 > .

Legătura afină este considerată din punctul de vedere al geometriei riemanniene . Un apendice scris de Robert Herman Arhivat 13 iunie 2015 la Wayback Machine discută motivația dintr-o perspectivă a teoriei suprafeței, precum și noțiunea de conexiune afine în sensul modern și proprietățile de bază ale unei derivate covariante .

Weyl, Hermann (1918), Raum, Zeit, Materie (5 ediții până în 1922, cu note de Jürgen Ehlers (1980), tradus ediția a 4-a Space, Time, Matter de Henry Brose, 1922 (Methuen, retipărit 1952 de Dover) ed. ), Springer, Berlin, ISBN 0-486-60267-2

Literatura modernă

Rashevsky PK Riemann geometrie și analiză tensorială. - Orice ediție.
Kobayashi Sh ., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale. - Novokuznetsk: Institutul de Fizică și Matematică Novokuznetsk. - T. 1. - 344 str. - ISBN 5-80323-180-0 .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Geometrie modernă. Metode și aplicații. — M.: Nauka, 1979.
Postnikov M. M. Smooth manifolds (Prelegeri de geometrie. Semestrul III) .

Conexiune afină