Transfer paralel

Translația paralelă este un izomorfism de straturi peste capetele unei curbe netede pe bucăți a bazei unui mănunchi neted , definit de o conexiune dată pe . În special, un izomorfism liniar al spațiilor tangente și , definit de-a lungul unei curbe printr- o conexiune afină dată pe . $\eta:E\la B$ $E$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$ $\gamma \in M$ $M$

Traducere paralelă de-a lungul unei conexiuni afine

Să fie dată o conexiune afină pe o varietate netedă . Se spune că un vector este obținut prin translație paralelă dintr-un vector de -a lungul unei curbe netede fără auto-intersecții dacă există un câmp vectorial neted în vecinătatea acestei curbe cu următoarele proprietăți: $M$ $X_{1}\in T_{\gamma (1)}(M)$ $X_{0}\in T_{\gamma (0)}(M)$ $\gamma:[0,1]\la M$ $X$

egalități și sunt îndeplinite ; $X(\gamma (0))=X_{0)$ $X(\gamma (1))=X_{1)$
pentru orice valoare , egalitatea este valabilă , unde simbolul denotă derivata covariantă și este vectorul viteză . $t\in [0,1]$ $\nabla _{{\dot {\gamma }}(t)}X=0$ $\nabla$ ${\dot {\gamma }}(t)$ $\gamma$

Cometariu. Deoarece în coordonatele locale egalitatea este adevărată:

(\nabla _{\dot {\gamma }}X)^{i}={\frac {d}{dt}}X^{i}+\Gamma _{jk}^{i}\cdot X^{j}{\punct {\gamma }}^{k}

iar în această expresie nu există derivate parţiale ale componentelor vectorului , în definiţia translaţiei paralele nu este necesar să se ceară ca câmpul vectorial să fie definit într - o întreagă vecinătate a traseului , este suficient să existe şi să fie netede numai pe această cale. $X$ $X$ $\gamma (t)$

O translație paralelă de-a lungul unei curbe netede pe bucăți (inclusiv curbe cu auto-intersecții) este definită ca o suprapunere a translațiilor paralele de-a lungul pieselor sale netede care nu se intersectează automat.

Pe baza conceptului de translație paralelă a unui vector, sunt definite conceptele de translație paralelă a unui tensor de valență arbitrară.

Proprietăți de translație paralelă a vectorilor

Conform teoriei ecuațiilor diferențiale obișnuite, soluția problemei Cauchy a unei EDO liniare arbitrare continuă la nesfârșit de-a lungul oricărei curbe netede, prin urmare, prin specificarea unui vector în punctul inițial și indicând o cale de translație paralelă, acest vector este transferat în mod unic. în orice punct al acestei căi.
Când translați vectori pe aceeași cale, toate relațiile liniare dintre ei sunt păstrate.
Transferul de vectori este reversibil: este suficient să transferați vectorii de capăt de-a lungul căii de întoarcere pentru a obține vectorii inițiali.
Ca o consecință a celor două proprietăți anterioare, rezultă că operatorul translației paralele de-a lungul unei curbe este un izomorfism liniar al spațiilor și . $\gamma$ $T_{\gamma (0)}(M)$ $T_{\gamma (1)}(M)$
Dacă o conexiune afină este în concordanță cu un tensor metric pe o varietate Riemanniană ( conexiunea Levi-Civita ), atunci operatorul de translație este ortogonal, adică păstrează produsele punctuale ale vectorilor, lungimile lor și unghiurile dintre ei.
O proprietate importantă a traducerii paralele este și independența rezultatului translației față de parametrizarea căii (căile echivalente vor da același rezultat). În același timp, translația paralelă de-a lungul diferitelor curbe duce de obicei la rezultate diferite.

Definiții înrudite

O geodezică este o cale netedă al cărei vector tangent în fiecare punct este obținut prin translația paralelă a vectorului tangent din orice alt punct.
Grupul de holonomie este grupul de automorfisme ale spațiului tangent definit de translații paralele de-a lungul curbelor netede închise în bucăți. Mai mult, pentru o varietate conectată și sunt întotdeauna conjugate. $\Phi _{x}$ $T_{x}M$ $\Phi _{x}$ $\Phi _{y)$

Istorie

Dezvoltarea conceptului de translație paralelă a început cu paralelismul obișnuit pe plan euclidian, pentru care Minding în 1837 a indicat posibilitatea generalizării lui la cazul unei suprafețe în cu ajutorul conceptului pe care l-a introdus de desfășurare a unei curbe pe o curbă. avion . Această indicație de Minding a servit drept punct de plecare pentru Levi-Civita , care, formalizând transportul paralel analitic al unui vector tangent pe o suprafață, a descoperit dependența acestuia doar de metrica suprafeței și, pe această bază, a generalizat-o imediat la cazul spatiului riemannian -dimensional (vezi legatura Levi-Civita ) . Alte generalizări ale acestui concept sunt legate de dezvoltarea teoriei generale a conexiunilor. $\mathbb {R} ^{3}$ $\gamma \in S$ $\mathbb {R} ^{2}$ $n$

Literatură

Rashevsky PK Riemann geometrie și analiză tensorială. - Orice ediție.
Kobayashi Sh., Nomizu K. Fundamentele geometriei diferenţiale. — Institutul de Fizică și Matematică Novokuznetsk. - T. 1. - 344 str. - ISBN 5-80323-180-0 .