Extensie separabilă

O extensie separabilă este o extensie algebrică a câmpului constând din elemente separabile, adică elemente astfel încât anihilatorul minim peste care nu are rădăcini multiple. Prin urmare, derivata trebuie să fie un polinom diferit de zero. Prin definiție, toate câmpurile cu caracteristica 0 sunt separabile, deci noțiunea de separabilitate este netrivială numai pentru câmpurile cu caracteristică diferită de zero . $E \supset K$ $\alfa$ $f(x)$ $K$ $f'(x)$ $p$

Pentru extensii finite , următoarea afirmație este valabilă: dacă , unde este închiderea algebrică a câmpului , atunci este separabil dacă și numai dacă numărul de izomorfisme diferite ale câmpului în închiderea algebrică peste este egal cu gradul de . În cazul extensiilor neseparabile, acest număr este un divizor și se numește putere separabilă (coeficientul este egal cu o anumită putere a caracteristicii). $K \subset E \subset K^*$ $K^{*}$ $K$ $E$ $\sigma$ $E$ $K^{*}$ $K$ $[E:K]$ $[E:K]$ $[E:K]_s$

Proprietăți ale extensiilor separabile

Dacă extensiile și sunt separabile, atunci extensia este, de asemenea, separabilă. În schimb, dacă sunt separabile, atunci și sunt separabile. $E \supseteq K$ $F \supseteq E$ $F \supseteq K$ $F \supseteq K$ $E \subseteq K$ $F \subseteq E$

Dacă extensia este separabilă, atunci pentru orice extensie (dacă sunt conținute într-un câmp) compusul de câmpuri este o extensie separabilă . $E \supseteq K$ $F \supseteq K$ $F$ $E$ $EF$ $K$

Teorema elementului primitiv : dacă , unde este algebrică (deși nu este neapărat separabilă) peste , și sunt algebrice și separabile, atunci există un element (numit element primitiv) astfel încât . $E=K(\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_n)$ $\alpha_{1}$ $K$ $\alpha_2, \dots, \alpha_n$ $\theta$ $E=K(\theta)$

Generalizarea separabilității la extensii non-algebrice

O extensie se numește liniar liberă de dacă orice set finit de elemente liniar independent peste rămâne liniar independent peste . Această definiție este simetrică: dacă liniar liber de peste , atunci invers, liniar liber de peste . $E \supseteq K$ $L \supseteq K$ $E$ $K$ $L$ $E$ $L$ $K$ $L$ $E$ $K$

Se spune că o extensie (nu neapărat algebrică) peste un câmp este separabilă dacă, pentru unele naturale, este liniar liberă de o extensie generată prin adăugarea tuturor rădăcinilor gradului din elemente . Pentru extensiile algebrice, această definiție este echivalentă cu cea obișnuită. Această definiție nu depinde de alegerea numărului și este echivalentă cu libertatea liniară față de - compusul tuturor ( criteriul lui McLane ). $E$ $K$ $m$ $K^{p^{-m}}$ $p^{m}$ $K$ $m$ $E$ $K^{p^{-\infty}}$ $K^{p^{-m}}$

Literatură

Van der Waerden B. L. Algebră. — M .: Nauka, 1975.
Zarissky O. , Samuel P. Algebră comutativă. - M . : Literatură străină, 1963. - T. 1.
Leng S. Algebră. — M .: Mir, 1967.