Spatiu separabil
Un spațiu separabil (din latinescul separabilis - separabil) este un spațiu topologic în care se poate distinge o submulțime densă numărabilă peste tot [1] .
Multe spații care apar în calcul și geometrie sunt separabile. Spațiile separabile au unele proprietăți care sunt atractive pentru matematicieni, care decurg din capacitatea de a reprezenta fiecare element al spațiului ca limită a unei secvențe de elemente dintr-o mulțime numărabilă, la fel cum orice număr real poate fi reprezentat ca limită a unei secvențe de numere raționale .
Multe teoreme pot fi demonstrate constructiv numai pentru spații separabile. Un exemplu tipic al unei astfel de teoreme este teorema Hahn-Banach , care poate fi demonstrată constructiv în cazul spațiilor separabile, dar folosește axioma alegerii pentru a o demonstra .
Proprietăți
- Imaginea continuă a unui spațiu separabil este separabilă.
- Fiecare subspațiu topologic deschis al unui spațiu separabil este separabil.
- Cel mult un produs numărabil al spațiilor separabile este separabil. (Mai mult, produsul unui număr arbitrar de spații separabile nu mai este necesar să fie separabil).
- Mulțimea tuturor funcțiilor continue cu valori reale dintr-un spațiu separabil are cardinalitate cel mult continuumul (deoarece o funcție continuă este definită în mod unic de valorile sale pe o submulțime densă).
- Separabilitatea în cazul unui spațiu metric este echivalentă cu a avea o bază numărabilă a topologiei. Un spațiu metric compact este separabil.
- Dacă un spațiu metric conține un număr nenumărat de elemente, distanța pe perechi dintre care este mai mare decât o constantă pozitivă, atunci spațiul nu este separabil.
Exemple
- Un spațiu topologic discret este separabil dacă și numai dacă este cel mult numărabil.
- Spațiul numerelor reale este separabil: aici numerele raționale sunt o mulțime densă numărabilă peste tot . Mai general, spațiile și sunt separabile.
- Spațiul funcțiilor continue pe un segment cu metrica convergenței uniforme (adică spațiul ) este separabil. Prin teorema de aproximare Weierstrass , spațiul polinoamelor cu coeficienți raționali pe același interval este subspațiul dens numărabil peste tot. Teorema Banach-Mazur afirmă că orice spațiu Banach separabil este izomorf cu un subspațiu închis .
- Un spațiu Hilbert este separabil dacă și numai dacă are o bază ortonormală numărabilă .
- Spațiul nu este separabil, deoarece conține o mulțime nenumărabilă cu distanțe pe perechi egale cu unu (mulțimea tuturor secvențelor de zerouri și unu).
- Spațiile Holder nu sunt separabile. [2]
![[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![C[0,1]](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e160d783783c799aae07cf78d250747461af0ff9)
Note
- ↑ J. Kelly Topologie generală. - M .: Nauka, 1968 - p. 75
- ↑ Spații de funcții continue cu un indice de netezime fracțional. . Preluat la 26 martie 2013. Arhivat din original la 23 martie 2017.