Teorema Hahn-Banach

Teorema Hahn - Banach se referă , în special, la mai multe rezultate clasice ale analizei funcționale

Teorema privind continuarea unei funcționale liniare cu păstrarea majorantei ;
Teorema de separare pentru multimi convexe ;
Teoremă privind continuarea continuă sau pozitivă a unei funcționale liniare.

Teorema privind continuarea unei funcționale liniare cu păstrarea majorantei

Fie un spațiu liniar sau vectorial peste câmpul numerelor reale și să fie o funcțională subaditivă pozitiv omogenă . Pentru orice subspațiu liniar al unui spațiu liniar, fiecare funcțională liniară satisface condiția $X$ $\mathbb {R}$ $p:X\la \mathbb R$ $Y$ $X$ $f:Y\la \mathbb R$

f(y) \leqslant p(y), \forall y \in Y

poate fi extinsă la întregul spațiu menținând în același timp această inegalitate. $X$

Este ușor de arătat că numai omogenitatea pozitivă (o astfel de formulare eronată este dată în Enciclopedia Matematică ) sau supraaditivitatea funcționalului nu este suficientă pentru validitatea acestei teoreme. $p$

Un contraexemplu pentru o funcțională omogenă pozitiv: , , . $X=\mathbb R$ $Y=\{0\}$ $p(x):=-|x|, x\în X, f(0)=0$

Pe scară largă sunt cunoscute diferite versiuni ale teoremei privind continuarea unei funcționale liniare cu păstrarea majorantei pentru spații liniare peste câmpul numerelor complexe când este un seminorm . $p$

Teoremă privind extensia continuă a unei funcționale liniare

Orice funcțională liniară mărginită definită pe o varietate liniară a unui spațiu liniar normat poate fi extinsă la întreg spațiul cu norma păstrată. $f$ $Y$ $X$

Multe corolare importante rezultă din aceste teoreme. Unul din ei:

Pentru oricare două puncte diferite ale unui spațiu normat liniar sau unui spațiu local convex , există o funcțională liniară continuă definită pe întreg spațiul pentru care valorile sale în aceste puncte sunt diferite.

Dovada

Mai întâi demonstrăm că există o extensie într-o direcție. Lasă . Luați în considerare un spațiu liniar de forma: $z\în X\setminus Y$

Y_z\doteq\left\{y+az, \ y\in Y,\ a\in \R\right\}.

Vom continua să scriem: $f$ $Y_z$

\tilde f(y+az)\doteq f(y)+a \tilde f(z),

unde este numărul real de determinat. Pentru arbitrar și se execută: $\tilde f(z)$ $y_1, y_2\în Y$ $a,b>0$

f(ay_1+by_2)=(a+b)f\left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right)\leqslant

{} \leqslant (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}y_1 + \frac{b}{a+b}y_2\right) =

{}= (a+b)p \left(\frac{a}{a+b}(y_1-bz) + \frac{b}{a+b}(y_2+az)\right) \leqslant

\leqslant ap(y_1-bz) + bp(y_2+az).

De aici

a \left(f(y_1) - p(y_1-bz)\right) \leqslant -b\left(f(y_2)-p(y_2+az)\right)

prin urmare

\frac{1}{b}\left(-p(y_1-bz)+f(y_1)\right) \leqslant \frac{1}{a}\left(p(y_2+az)-f(y_2) \right)\quad \forall \ y_1,y_2\in Y, \quad \forall a,b>0.

Să o definim așa $c\în \R$

\sup_{a>0,y\în Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ -p(y-az)+f(y)\right]\right\} \leqslant c \ leqslant \inf_{a>0,y\in Y}\left\{ \frac{1}{a} \left[ p(y+az)-f(y)\right]\right\}.

Egalitatea

ac \leqslant p(y+az) -f(y) \quad \forall \ y\in Y, \quad \forall \ a\in \R

Să definim

\tilde f(z)=c.

Pentru toate și arbitrare , următoarea inegalitate este valabilă: $y\în Y$ $a\în \R$

\tilde f(y+az)=f(y)+ac \leqslant p(y+az),

de aceea

\tilde f(x)\leqslant p(x)\quad \forall\ x\in Y_z.

Pentru a completa demonstrația, folosim lema lui Zorn . Fie mulțimea tuturor extensiilor posibile care îndeplinesc condițiile teoremei. Această mulțime este parțial ordonată datorită includerii domeniilor, iar fiecare submulțime ordonată liniar are un supremum (uniunea domeniilor ). Prin urmare, după lema Zorn, această mulțime are un element maxim. Acest element este egal cu întregul spațiu, în caz contrar, continuarea ulterioară poate fi efectuată folosind doar o anumită construcție. $E$

Vezi și

Literatură