Midperpendicular

Midperpendicular (de asemenea, midperpendicular și termenul învechit mediatris ) este o linie dreaptă perpendiculară pe segmentul dat și care trece prin mijlocul acestuia .

Proprietăți

Bisectoarele perpendiculare pe laturile unui triunghi (sau alt poligon pentru care există un cerc circumscris) se intersectează într-un punct - centrul cercului circumscris . Într-un triunghi ascuțit acest punct se află în interior, într-un triunghi obtuz este în afara triunghiului, într-un triunghi dreptunghic este în mijlocul ipotenuzei.
Orice punct al bisectoarei perpendiculare pe un segment este echidistant de capetele acestui segment.
- Afirmația inversă este de asemenea adevărată: fiecare punct echidistant de capetele segmentului se află pe bisectoarea perpendiculară pe acesta.
Într-un triunghi isoscel, înălțimea, bisectoarea și mediana trase de la vârful unui unghi cu laturile egale coincid și sunt bisectoarea perpendiculară trasată la baza triunghiului, iar celelalte două bisectoare perpendiculare sunt egale între ele.
Segmentele perpendicularelor medii pe laturile triunghiului, închise în interiorul acestuia, pot fi găsite prin următoarele formule [1] :

p_{a}={\frac {2aS}{a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{b}={\frac {2bS} {a^{2}+b^{2}-c^{2}}},\;\;p_{c}={\frac {2cS}{a^{2}-b^{2}+c ^{2}}},

unde indicele denotă latura pe care este trasată perpendiculara - aria triunghiului și se presupune, de asemenea, că laturile sunt legate de inegalități

S

a\geqslant b\geqslant c.

Dacă laturile triunghiului satisfac inegalitățile , atunci inegalitățile sunt adevărate [1] : $a\geq b\geq c$

p_{a}\geq p_{b)

și Cu alte cuvinte, cea mai mică este bisectoarea perpendiculară trasă pe latura cu o lungime intermediară.

p_{c}\geq p_{b}.

Variații și generalizări

Cercul lui Apollonius este locul punctelor dintr-un plan, raportul dintre distanțe de la care la două puncte date este o valoare constantă.

Note

↑ 1 2 Mitchell, Douglas W. Bisectoarele perpendiculare ale laturilor triunghiului // Forum Geometricorum. - 2013. - Vol. 13. - P. 53-59, Teoremele 2, 4.

Literatură

Geometrie după Kiselyov .