Cartografiere compresivă

O mapare de contracție este o mapare a unui spațiu metric în sine care reduce distanța dintre orice puncte într-un sens puternic.

Definiție

Fie definit un operator pe un spațiu metric . Se numește contractare pe dacă există un număr nenegativ astfel încât pentru oricare două puncte inegalitatea $({\mathbb {M)],\rho )$ $A:{\mathbb {M}}\la {\mathbb {M}}$ ${\mathbb {M}}$ $\alpha<1$ $x,y\în {\mathbb {M}}$

{\rho (Ax,Ay)\leqslant \alpha {\cdot }\rho (x,y)}

Proprietăți

(Continuitate) Fie un spațiu metric și un operator de contracție pe . Atunci este o funcție continuă pe . $({\mathbb {M)],\rho )$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$ ${\mathbb {}}A$ ${\mathbb {M}}$

(Punctul fix) După teorema lui Banach , o mapare de contracție pe un spațiu metric complet are un punct fix unic :

{\mathbb {}}x^{{*}}:Ax^{{*}}=x^{{*}}

(Secvență iterativă) Dacă luăm un element arbitrar al spațiului metric și luăm în considerare o secvență de elemente , atunci această secvență iterativă va converge către un punct fix al operatorului . $X$ $x,Ax,A^{2}x,....$ $A$

Aplicație

Rezolvarea numerică a ecuațiilor
Dovada existenței și teoremelor de unicitate în ecuații diferențiale și integrale .

Link -uri

A. N. Kolmogorov, S. V. Fomin. Elemente de teoria funcţiilor şi analiză funcţională. - a 4-a ed. - M. : Nauka, 1976. - 544 p.
Zorich V.A. Analiză matematică , - Orice ediție.