O sferă d simplială (sau combinatorie ) este un complex homeomorf simplu la o sferă d - dimensională . Unele sfere simple apar ca limitele unui poliedru convex , cu toate acestea, în dimensiuni mai mari, majoritatea sferelor simple nu pot fi obținute în acest fel.
Cea mai importantă problemă deschisă în acest domeniu este ipoteza g , formulată de Peter McMullen , care a întrebat despre numărul posibil de fețe de dimensiuni diferite ale unei sfere simpliste. Decembrie 2018 Karim Adiprasito a dovedit conjectura pentru toate d [1] .
Din formula lui Euler rezultă că orice 2-sferă simplială cu n vârfuri are 3n - 6 muchii și 2n - 4 fețe. Cazul n = 4 este realizat ca un tetraedru. Când se repetă subdiviziunea baricentrică , este ușor să construiești sfere simpliale pentru orice n ⩾ 4. Cu toate acestea, Ernst Steinitz a oferit o descriere a 1-scheletelor (grafice de margine) ale politopilor convexe în R 3 , ceea ce implică faptul că orice simplială 2 -sfera este limita unui politop convex.
Branko Grünbaum a construit un exemplu de sferă simplă care nu este limita unui poliedru multidimensional. Gil Kalai a dovedit că, de fapt, „majoritatea” sferelor simple nu sunt granițe ale poliedrelor. Cel mai mic exemplu există în dimensiunea d = 4 și are f 0 = 8 vârfuri.
Teorema limitei superioare oferă limite superioare pentru numărul de f i i -fețe ale oricărei d -sfere simple cu f 0 = n vârfuri. Conjectura a fost dovedită pentru sferele poliedrice în 1970 de Peter McMullen [2] , iar pentru sferele simple simple în 1975 de Richard Stanley .
Conjectura g formulată de McMullen în 1970 ridică problema unei descrieri complete a vectorilor f ai d -sferelor simpliale. Cu alte cuvinte, care sunt seturile posibile ale numărului de fețe ale fiecărei dimensiuni a unei d -sfere simple? Pentru sferele poliedrice, răspunsul este dat de teorema g , care a fost demonstrată în 1979 de Billera și Lee (existență) și Stanley (necesitate). S-a presupus că aceleași condiții sunt necesare pentru sferele simpliste generale. Pentru 2015, ipoteza a rămas deschisă pentru d = 5 și mai sus. În decembrie 2018 Karim Adiprasito a dovedit conjectura pentru toate d [1] .