Sistemul de axiome Von Neumann-Bernays-Gödel

Sistemul de axiome von Neumann-Bernays-Gödel ( NBG , Gödel-Bernays axiomatics ) în metamatematică este una dintre principalele teorii axiomatice a mulțimilor . Acest sistem este o extensie a teoriei canonice Zermelo-Fraenkel cu axioma alegerii ( ZFC ). Propozițiile formulate în limbajul teoriei ZFC sunt demonstrabile în ZFC dacă și numai dacă sunt demonstrabile în NBG.

Teoria NBG include în plus conceptul propriei sale clase - un obiect care are elemente, dar care în sine nu poate fi membru al niciunui obiect. NBG include doar definiții de concept care nu se referă la conceptul care este definit; valorile variabilelor legate în formule pot fi numai seturi. Excluderea acestui principiu (absența referințelor la concept fiind definite în definiții) transformă sistemul NBG într-un sistem Morse-Kelly (MK). NBG, spre deosebire de ZFC și MK, poate fi axiomatizat finit (prin un număr finit de axiome).

Concept de sistem

Fundamental pentru NBG este distincția dintre clasele proprii și mulțimi . Lasă și fii obiecte. Atunci o propoziție simplă este definită dacă este o mulțime și este o clasă; cu alte cuvinte, este definit dacă nu este o clasă proprie. Clasele pot fi foarte mari, NBG are chiar o clasă cu toate seturile, o clasă generică numită . Cu toate acestea, în NBG este imposibil să existe o clasă a tuturor claselor (deoarece o clasă propriu-zisă nu poate fi membru al unei clase) sau o mulțime a tuturor mulțimilor (existența sa contrazice sistemul de axiome ). $A$ $s$ $a\în s$ $A$ $s$ $a\în s$ $A$ $V$

În sistemul de axiome NBG, toate obiectele care satisfac toate formulele date ale logicii de ordinul întâi NBG formează o clasă. Dacă o clasă nu poate satisface sistemul de axiome ZFC, atunci este propria sa clasă . Dezvoltarea claselor reflectă dezvoltarea teoriei multimilor naive. Este dat principiul abstracției, ceea ce înseamnă că se pot forma clase din toate obiectele care satisfac toate propozițiile logicii de ordinul întâi; în plus, propozițiile simple pot include o relație de apartenență sau predicate folosind această relație. Egalitatea, operația de formare a unei perechi de elemente, subclase și alte concepte similare sunt definite și nu necesită axiomatizare - definițiile lor înseamnă o abstractizare concretă a formulei. Seturile sunt descrise printr-o metodă apropiată de ZF. Define (mulțimea reprezintă clasa ) este o relație binară definită ca $\operatorname {Rp} (A,a)$ $A$ $A$

$\operatorname {Rp} (A,a):=\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in a).$

Aceasta înseamnă că reprezintă dacă toate elementele aparțin și invers. Clasele care nu au o mulțime care să le reprezinte sunt numite clase proprii [1] . Un exemplu de clasă adecvată este clasa tuturor mulțimilor care nu se conțin (o clasă care face apel la paradoxul lui Russell ). $A$ $A$ $A$ $A$

Istorie

Prima versiune a NBG a inclus funcții, nu seturi, ca concepte de bază (von Neumann, 1920). Într-o serie de lucrări publicate în 1937-1954, Paul Bernays a modificat teoria lui von Neumann pentru a face concepte de bază ale mulțimilor și relației de membru; a mai descoperit că această teorie ar putea fi axiomatizată printr-un număr finit de axiome. Gödel (1940), în timp ce a investigat independența ipotezei continuumului , a simplificat și a folosit teoria. Montagu a arătat că ZFC nu poate fi axiomatizat finit.

Axiomatizarea NBG

În cele ce urmează, variabilele cu litere mici denotă seturi, iar variabilele cu litere mari denotă clase. Astfel, înseamnă că mulțimea aparține mulțimii (este un element al mulțimii ); a înseamnă că mulţimea este un membru al clasei . Expresiile , , înseamnă că (aici nu vom fi complet stricti de dragul simplității). Când descriem un sistem formal, am putea folosi simboluri de un tip, iar mulțimile ar fi clase care sunt membri a cel puțin unei alte clase. $x\în y$ $X$ $y$ $y$ $x\în Y$ $X$ $Y$ $x=y$ $x=Y$ $X=Y$ $\forall a(a\in X\leftrightarrow a\in Y)$

În primul rând, construim sistemul de axiome NBG utilizând schema de axiome de generare a clasei (schema corespunde unui set infinit de axiome). Această schemă este echivalentă cu 9 axiome [2] . Astfel, aceste 9 axiome pot înlocui schema de generare a clasei. Astfel NBG este finit axiomatizabil.

Sistemul de axiome, inclusiv schema de generare a clasei

Următoarele 5 axiome sunt aceleași cu axiomele ZFC corespunzătoare

Axioma de extensialitate . . Seturile care conțin aceleași elemente sunt egale. $\forall x(x\in a\leftrightarrow x\in b)\rightarrow a=b$
Axioma existenței perechilor . . Pentru fiecare mulţime şi pentru fiecare mulţime există o mulţime ale cărei elemente sunt numai şi ). Din axioma existenţei unei perechi (presupunând ) rezultă că pentru fiecare mulţime există o mulţime formată dintr-un singur element: . Mai mult, se poate defini o pereche ordonată de mulțimi ca, de exemplu, . Folosind schema de generare a clasei subclase (vezi mai jos), obținem că orice relație este, de asemenea, o clasă. Unele dintre aceste relații sunt funcții ale uneia sau mai multor variabile, injecții, bijecții de la o clasă la alta. Axioma existenței perechilor este o axiomă în teoria mulțimilor Zermelo și o teoremă în ZFC. $\forall x\forall y\exists z\forall w {\big (}w\in z\leftrightarrow (w=x\lor w=y){\big ))$ $X$ $y$ $\{x,y\)$ $X$ $y$ $x=y$ $X$ $\{X\}$ $(a,b)$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$
Axioma unificării . Pentru fiecare set , există un set format din exact toate elementele elementelor . $X$ $X$
Axioma multimii de submultimi . Pentru fiecare multime , exista o multime formata din exact toate subseturile de . $X$ $X$
Axioma infinitului . Există o mulţime care îndeplineşte două condiţii: mulţimea goală aparţine lui ; pentru fiecare care aparține lui , și mulțimea aparține . Această axiomă poate fi formulată în așa fel încât să se implice existența unei mulțimi goale [3] . $X$ $X$ $y$ $X$ ${\big \{}y,\{y\}{\big \))$ $X$

Următoarele axiome descriu în primul rând proprietățile claselor (și, prin urmare, includ litere mari). Primele două dintre ele diferă de cele din ZFC doar prin faptul că înlocuiesc literele mici cu majuscule.

Axioma extensionalității (pentru clase) . . Clasele cu aceleași elemente sunt clase egale. $\forall x(x\in A\leftrightarrow x\in B)\rightarrow A=B$
Axioma regularității . Fiecare clasă nevidă conține un element a cărui intersecție cu este goală. $A$ $A$

Ultimele două axiome sunt semnul distinctiv al NBG.

Axioma limitării puterii . Pentru fiecare clasă, o mulțime care satisface condiția există dacă și numai dacă nu există nicio bijecție între și clasa tuturor mulțimilor. Din această axiomă, datorită lui von Neumann, se poate deriva schema axiomei subsetărilor, schema axiomei de transformare și axioma alegerii globale. În special, axioma alegerii globale poate fi dedusă deoarece clasa ordinalelor nu este o mulțime; deci există o bijecție între clasa tuturor ordinalelor și . Dacă axioma constrângerii cardinalității este relaxată la următoarele: dacă domeniul unei funcții de clasă este o mulțime, atunci domeniul este și o mulțime - atunci axioma de alegere nu este o teoremă NBG sub nicio formă. În acest caz, axioma de alegere în oricare dintre forme poate fi adăugată ca axiomă, dacă este necesar. Axioma alegerii în această formă poate fi găsită în Mendelson (1997) NGB. Acolo găsim axioma obișnuită de alegere pentru mulțimi și următoarea formă a schemei axiomei de transformare: dacă o clasă este o funcție al cărei domeniu este o mulțime, atunci domeniul ei este și o mulțime [4] $C$ $c$ $c=C$ $C$ $V$ $V$ $F$
Schema axiomelor generarii subclaselor . Pentru fiecare formulă care nu conține cuantificatori pentru variabile de clasă (formula poate conține variabile de clasă ca parametri), există o clasă astfel încât . Această axiomă afirmă principiul alocării nerestricționate (submulțimi) a teoriei multimilor naive. Cu toate acestea, clasele sunt de preferat mulțimi, deoarece paradoxurile sunt eliminate din teoria mulțimilor. $\varphi$ $A$ $\forall x{\big (}x\in A\leftrightarrow \varphi (x){\big ))$

Schema axiomei de generare a subclaselor este singura schemă din NBG. Mai jos arătăm cum această schemă poate fi înlocuită cu o serie de cazuri speciale, ca urmare a cărora NBG devine finit axiomatizabil. Dacă variabilele legate dintr-o formulă pot cuprinde clase (și nu doar mulțimi), atunci obținem teoria mulțimilor Morse-Kelly, o extensie adecvată a ZFC care nu poate fi axiomatizată finit. $\varphi(x)$

Înlocuirea schemei de generare a subclaselor cu un număr de cazuri speciale

O caracteristică atractivă și oarecum criptică a NBG este că schema de subclasare poate fi înlocuită cu mai multe axiome care descriu cazuri speciale. Următoarele axiome pot înlocui complet schema de generare a subclaselor. Metoda de axiomatizare prezentată mai jos nu coincide neapărat cu cea care poate fi găsită în sursele tipărite [5] .

Vom descrie axiomatizarea noastră prin descrierea structurii formulelor. În primul rând, trebuie să avem un stoc inițial de clase.

Seturi . Pentru fiecare set există o clasă astfel încât . Această axiomă, împreună cu axiomele de mulțime din secțiunea anterioară, oferă un set inițial de clase și ne permite să scriem formule cu clase ca parametri. $X$ $X$ $X=x$

În continuare, descriem metoda prin care vom forma expresii ale logicii propoziționale. Lasă și . Apoi , . Deoarece cu ajutorul operațiilor și este posibil să notăm orice expresii de logică propozițională, este suficient să definim adunarea și intersecția claselor. $A=\{x\mid \varphi \)$ $B=\{x\mid \psi \)$ $\{x\mid \lnot \varphi \}=VA$ $\{x\mid \varphi \vee \psi \}=A\cup B$ $\lnu$ $\teren$

Adăugarea . Pentru fiecare clasă, complementul este o clasă. $A$ $VA=\{x\mid x\notin A\}$
intersectie . Pentru orice clase și intersecția este o clasă. $A$ $B$ $A\cap B=\{x\mid x\in A\land x\in B\)$

Acum vom începe să mergem spre includerea cuantificatorilor în formule. Pentru a utiliza mai multe variabile, trebuie să fii capabil să descrii relațiile. Să definim o pereche ordonată și ca de obicei: . În continuare, descriem axiomele folosind perechi ordonate: $A$ $b$ ${\big \{}\{a\},\{a,b\}{\big \))$

Produs . Pentru orice clase , iar produsul este o clasă (în practică, avem nevoie doar de ). $A$ $B$ $A\times B=\{(a,b)\mid a\in A\land b\in B\)$ $V\times A$
Permutări . Există clase pentru fiecare clasă. $R$ $\operatorname {Conv1} (R)=\{(b,a)\mid (a,b)\in R\},$ $\operatorname {Conv2} (R)={\big \{}{\big (}b,(a,c){\big )}\,{\big |}\,{\big (}a ,(b,c){\big )}\în R{\big \)).$
Asociativitatea . Există clase pentru fiecare clasă. $R$ $\operatorname {Assoc1} (R)={\big \{}{\big (}(a,b),c)\,{\big |}\,{\big (}a,(b, c){\big )}\în R{\big \)),$ $\operatorname {Assoc2} (R)={\Big \{}{\Big (}d,{\big (}a,(b,c){\big )}{\Big )}\,{ \Big |}\,{\Big (}d,{\big (}(a,b),c){\big )}{\Big )}\în R\}.$

Aceste axiome vă permit să adăugați argumente fictive, precum și să schimbați ordinea argumentelor în relațiile oricărei arități . O formă specială de asociativitate este concepută special pentru a putea muta orice expresie din listă la începutul listei (desigur, folosind și permutări). Reprezentăm lista de argumente ca (adică ca o pereche de cap (primul argument) și coadă (alte argumente)). Ideea este să aplicăm până când argumentul care ne interesează devine al doilea, apoi să aplicăm sau , iar apoi să aplicăm până la utilizarea lui . $(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n})$ ${\big (}x_{1},(x_{2},\ldots,x_{n}){\big ))$ $\operatorname {Assoc1}$ $\operatorname {Assoc1}$ $\operatorname {Assoc2}$ $\operatorname {Assoc2}$ $\operatorname {Assoc1}$

În continuare, dorim să axiomatizăm următorul set de afirmații: dacă este o clasă care este o relație, atunci domeniul său este o clasă. $\{(x,y)\mid \varphi (x,y)\}$ $\{y\mid \exists x\,\varphi (x,y)\}$

Intervalele . Pentru fiecare clasă , există o clasă . $R$ $\operatorname {Rng} (R)=\{y\mid\exists x\,(x,y)\in R\)$

Astfel am obţinut cuantificatorul existenţial; cuantificatorul universal poate fi obţinut prin cuantificatorul existenţial şi negaţie. Axiomele de mai sus ne permit să mutăm un argument în fața listei de argumente pentru a-i aplica un cuantificator.

În sfârșit, fiecare formulă simplă implică existența următoarelor relații pe clase:

Afilierea . Există o clasă . $[{\in }]=\{(x,y)\mid x\in y\)$
Clasa diagonală . Există o clasă . $[{=}]=\{(x,y)\mid x=y\)$

Clasa diagonală, împreună cu capacitatea de a rearanja argumente și de a adăuga argumente false, vă permite să înlocuiți aceleași argumente în relații.

Varianta lui Mendelssohn

Mendelssohn se referă la axiomele sale B1 - B7 ca fiind axiomele existenței claselor. Patru dintre ele coincid cu cele de mai sus: B1 - apartenenta; B2 - intersectie; B3 - adaos; B5 - înmulțire. B4 - intervalul este dat sub forma existenței domeniului (cuantificatorul existenței este y , nu y ). Ultimele două axiome sunt: $y$ $X$

B6 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (v,w,u)\in X],$
B7 $\forall X\,\exists Y\,\forall uvw\,[(u,v,w)\in Y\leftrightarrow (u,w,v)\in X].$

B6 și B7 ne permit să facem ceea ce s-a făcut în cazul nostru folosind axiomele de permutare și asociativitate. Pentru fiecare clasă care conține triple, există o altă clasă care conține aceleași triple, în care elementele sunt permutate în același mod.

Discuții

Pentru o discuție a întrebărilor filosofice și ontologice ridicate de NBG, în special în legătură cu diferențele cu ZFC și MK, vezi Anexa C a Potter (2004).

Chiar dacă NBG este o extensie a ZFC, unele teoreme pot fi demonstrate mai simplu și mai elegant în NBG decât în ZFC (sau invers). Pentru o trecere în revistă a rezultatelor cunoscute în acest domeniu, a se vedea Pudlak (1998).

Teoria modelului

ZFC, MK, NBG au un model definit folosind (model standard în ZFC și univers în NBG). Acum să includem un număr cardinal inaccesibil . Să desemnăm subseturile definite . Apoi $V$ $V$ $k$ $\operatorname {Def} (x)$ $\Delta _{0}$ $X$

$V_{k}$ este un model ZFC.
$\operatorname {Def} (X)$ este modelul NBG,
$V_{{k+1}}$ este modelul MK.

Teoria categoriilor

Sistemul de concepte NBG ne permite să vorbim despre obiecte mari fără riscul de a da peste un paradox. În special, în multe interpretări ale teoriei categoriilor, o categorie mare înseamnă o categorie în care un set de obiecte este o clasă proprie, la fel ca un set de morfisme. Categoriile mici, pe de altă parte, sunt categorii în care seturi de obiecte și morfisme sunt mulțimi. Prin urmare, fără riscul unor paradoxuri, putem vorbi de categoria tuturor seturilor sau de categoria tuturor categoriilor mici. Aceste categorii sunt, desigur, mari. Dar nu se poate vorbi de o categorie a tuturor categoriilor, deoarece ar trebui să includă categoria tuturor categoriilor mici. Cu toate acestea, există și alte extensii ale sistemelor de concepte care permit să vorbim despre mulțimea tuturor categoriilor ca pe o categorie (vezi cvasi-categoria tuturor categoriilor în Adámek și colab. (1990)).

Un sistem de concepte care includ clase și mulțimi este suficient pentru a justifica teoria categoriilor (Muller, 2001).

Note

↑ Termen englezesc . clasa potrivită este tradusă ca o clasă propriu-zisă conform cărții traduse de S. McLane „Categorii pentru matematicianul lucrător”.
↑ Mendelson (1997), p. 232, Propunerea 4.4 demonstrează că schema de generare a clasei este echivalentă cu axiomele B1-B7 descrise la p. 230.
↑ Mendelson (1997), p. 239, Ex. 4.22(b).
↑ Mendelson (1997), p. 239, axioma R.
↑ Acest articol este o traducere din Wikipedia în engleză.

Literatură

Adámek, Jiří; Herrlich, Horst & Strecker, George E. (1990), Categorii abstracte și concrete (The Joy of Cats) (ed. I), New York: Wiley & Sons, ISBN 978-0-471-60922-3 , < http: //katmat.math.uni-bremen.de/acc/ >
Bernays, Paul (1937), A System of Axiomatic Set Theory—Part I , The Journal of Symbolic Logic vol . 2 (1): 65–77 , DOI 10.2307/2268862
Bernays, Paul (1941), A System of Axiomatic Set Theory—Part II , The Journal of Symbolic Logic vol . 6 (1): 1–17 , DOI 10.2307/2267281
Bernays, Paul (1991), Teoria seturilor axiomatice (ed. a doua revizuită), Dover Publications, ISBN 978-0-486-66637-2
Bourbaki, Nicolas (2004), Elemente de matematică: Teoria mulțimilor , Springer, ISBN 978-3-540-22525-6 , < https://archive.org/details/springer_10.1007-978-3-642-59309 -3 >
Chuaqui, Rolando (1981), Teoria multimilor axiomatice: Teorii impredicative ale claselor , Olanda de Nord, ISBN 0-444-86178-5
Cohen, Paul (1963), The Independence of the Continuum Hypothesis , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America vol . 50 (6): 1143–1148, PMID 16578557 , DOI 10.1073/pnas.50.6.1143
Cohen, Paul (1966), Teoria seturilor și ipoteza continuumului , W. A. Benjamin
Dawson, John W. (1997), Dileme logice: Viața și opera lui Kurt Gödel , Wellesley, MA: A. K. Peters
Easton, William B. (1964), Puterile cardinalilor obișnuiți , Universitatea Princeton
Felgner, Ulrich (1971), Comparison of the axioms of local and universal choice , Fundamenta Mathematicae T. 71: 43–62, doi : 10.4064/fm-71-1-43-62 , < http://matwbn.icm. edu.pl/ksiazki/fm/fm71/fm7113.pdf >
Ferreirós, José (2007), Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought (ed. a doua revizuită), Basel, Elveția: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
Gödel, Kurt (1940), The Consistency of the Axiom of Choice and of the Generalized Continuum Hypothesis with the Axioms of Set Theory (ed. revizuită), Princeton University Press, ISBN 978-0-691-07927-1
Gödel, Kurt (1986), Lucrări colectate, volumul 1: Publicații 1929–1936 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514720-9
Gödel, Kurt (1990), Lucrări colectate, volumul 2: Publicații 1938–1974 , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-514721-6
Gödel, Kurt (2003), Lucrări colectate, volumul 4: Corespondență A–G , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-850073-5
Gray, Robert (1991), Programe de calculator și dovezi matematice , The Mathematical Intelligencer vol . 13 (4): 45–48 , DOI 10.1007/BF03028342
Hallett, Michael (1984), Teoria seturilor cantoriene și limitarea dimensiunii (ed. Hardcover), Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853179-1
Kanamori, Akihiro (2009b), The Higher Infinite: Large Cardinals in Set Theory from Their Beginnings , Springer, ISBN 978-3-540-88867-3
Kanamori, Akihiro (2009), Bernays and Set Theory , Bulletin of Symbolic Logic vol . 15 (1): 43–69, doi : 10.2178/bsl/1231081769 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 17a.pdf >
Kanamori, Akihiro (2012), In Praise of Replacement , Bulletin of Symbolic Logic vol. 18 (1): 46–90, doi : 10.2178/bsl/1327328439 , < http://math.bu.edu/people/aki/ 20.pdf >
Kunen, Kenneth (1980), Teoria seturilor: o introducere în dovezile de independență (ed. Hardcover), North-Holland, ISBN 978-0-444-86839-8
Mendelson, Elliott (1997), O introducere în logica matematică (ed. a patra), Londra: Chapman și Hall/CRC, ISBN 978-0-412-80830-2 - pp. 225-86 conțin tratarea clasică a manualului NBG, arătând cum face ceea ce ne așteptăm de la teoria mulțimilor, prin relații de fundamentare , teoria ordinii , numere ordinale , numere transfinite etc.
Mirimanoff, Dmitry (1917), Les antinomies de Russell et de Burali-Forti et le problème fondamental de la théorie des ensembles, L'Enseignement Mathématique T. 19: 37–52
Montague, Richard (1961), Semantic Closure and Non-Finite Axiomatizability I, în Buss, Samuel R. , Infinitistic Methods: Proceedings of the Symposium on Foundations of Mathematics , Pergamon Press, p. 45–69
Mostowski, Andrzej (1950), Some impredicative definitions in the axiomatic set theory , Fundamenta Mathematicae vol . 37: 111–124, doi : 10.4064/fm-37-1-111-124 , < http://matwbn.icm.edu .pl/ksiazki/fm/fm37/fm37110.pdf >
Muller, FA (1 septembrie 2001), Seturi, clase și categorii , British Journal for the Philosophy of Science vol. 52 (3): 539–73, doi : 10.1093/bjps/52.3.539 , < http://philsci -archive.pitt.edu/1372/1/SetClassCat.PDF >
Müller, Gurt, ed. (1976), Sets and Classes: On the Work of Paul Bernays , Studies in Logic and the Foundations of Mathematics Vol. 84, Amsterdam: North Holland, ISBN 978-0-7204-2284-9
Potter, Michael (2004), Teoria seturilor și filozofia ei: o introducere critică (ed. Hardcover), Oxford University Press, ISBN 978-0-19-926973-0
Pudlák, Pavel (1998), The Lengths of Proofs , în Buss, Samuel R. , Handbook of Proof Theory , Elsevier, p. 547–637, ISBN 978-0-444-89840-1
Smullyan, Raymond M. & Fitting, Melvin (2010), Teoria seturilor și problema continuumului , Dover, ISBN 978-0-486-47484-7
Solovay, Robert M. (1990), Notă introductivă la 1938 , 1939 , 1939a și 1940 , Kurt Gödel Collected Works, Volumul 2: Publicații 1938–1974 , Oxford University Press, p. 1–25, ISBN 978-0-19-514721-6
von Neumann, John (1923), Zur Einführung der transfiniten Zahlen , Acta Litt. Acad. Sc. Szeged X. T. 1: 199–208 , < http://bbi-math.narod.ru/newmann/newmann.html >
von Neumann, John (1925), Eine Axiomatisierung der Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 154: 219–240 , < http://gdz.sub.uni-goettingen.de/dms/load/img/? PPN=PPN243919689_0154&DMDID=DMDLOG_0025 >

Link -uri

von Neumann, John (1928), Die Axiomatisierung der Mengenlehre , Mathematische Zeitschrift T. 27: 669–752, doi : 10.1007/ bf01171122 , > _DMD0ID=D024& D
von Neumann, John (1929), Über eine Widerspruchsfreiheitsfrage in der axiomatischen Mengenlehre , Journal für die Reine und Angewandte Mathematik T. 160: 227–241 , < http: //gdz.sub.uni-goettingen/loading.de/dm img/?PPN=PPN243919689_0160&DMDID=DMDLOG_0019 > .

Dicționare și enciclopedii	Britannica (online)