Set universal

O mulțime universală este o mulțime din matematică care conține toate obiectele și toate mulțimile. În acele axiomatici în care există mulțimea universală, este unică.

Se notează de obicei mulțimea universală (din universul englez , set universal ), mai rar . $\mathbb {U}$ ${\mathbb {E}}$

În axiomatica lui Zermelo-Fraenkel , paradoxul lui Russell cu schema de selecție și paradoxul lui Cantor arată că presupunerea existenței unei astfel de mulțimi duce la o contradicție .

În axiomatica lui von Neumann - Bernays - Gödel există o clasă universală - clasa tuturor mulțimilor, dar nu este o mulțime. Clasa tuturor seturilor este o clasă de obiecte din categoria Set .

În unele axiomatice, există un set universal, dar schema de selecție nu este îndeplinită. Un exemplu este teoria noilor fundamente a lui W. V. O. Quine

De asemenea , o mulțime universală este un set de obiecte luate în considerare în orice secțiune a matematicii. Pentru aritmetica elementară , mulțimea universală este mulțimea numerelor întregi, pentru geometria analitică a planului, mulțimea universală este mulțimea tuturor perechilor ordonate de numere reale [1] .

În diagramele Venn, mulțimea universală (în ambele sensuri) este reprezentată de mulțimea de puncte a unui dreptunghi; submulțimi ale punctelor sale descriu submulțimi ale mulțimii universale [1] .

În cele ce urmează, se discută primul sens al termenului. Formulele de mai jos (cu excepția lui ) sunt valabile și pentru a doua valoare, dacă orice element și orice submulțime a mulțimii sunt notate cu și respectiv . $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$ $A$ $A$ $\mathbb {U}$

Proprietăți ale mulțimii universale

Orice obiect, indiferent de natura lui, este un element al ansamblului universal. $\forall a\colon a\in \mathbb {U}$
În special, setul universal în sine se conține ca unul dintre multele elemente. $\mathbb {U} \in \mathbb {U}$
Orice mulțime este o submulțime a mulțimii universale. $\forall A\colon A\subseteq \mathbb {U}$
În special, setul universal în sine este propriul său submult. $\mathbb {U} \subseteq \mathbb {U}$
Unirea unei mulțimi universale cu orice mulțime este egală cu mulțimea universală. $\forall A\colon \mathbb {U} \cup A=\mathbb {U}$
În special, unirea unui set universal cu el însuși este egală cu mulțimea universală. $\mathbb {U} \cup \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Unirea oricărei mulțimi cu complementul său este egală cu mulțimea universală. $A\cup A^{\complement }=\mathbb {U}$
Intersecția mulțimii universale cu orice mulțime este egală cu ultima mulțime. $\forall A\colon \mathbb {U} \cap A=A$
În special, intersecția unei mulțimi universale cu ea însăși este egală cu mulțimea universală. $\mathbb {U} \cap \mathbb {U} =\mathbb {U}$
Excluderea multimii universale din orice multime este egala cu multimea goala . $\forall A\colon A\setminus \mathbb {U} =\varnothing$
În special, excluderea unei mulțimi universale de la sine este egală cu mulțimea goală. $\mathbb {U} \setminus \mathbb {U} =\varnothing$
Excluderea oricărui set din setul universal este egală cu adăugarea acestui set. $\forall A\colon \mathbb {U} \setminus A=A^{\complement }$
Complementul multimii universale este multimea goala. $\mathbb {U} ^{\complement }=\varnothing$
Diferența simetrică a unei mulțimi universale cu orice mulțime este egală cu complementul ultimei mulțimi. $\forall A\colon \mathbb {U} \triangle A=A^{\complement }$
În special, diferența simetrică a unei mulțimi universale cu ea însăși este egală cu mulțimea goală. $\mathbb {U} \triunghi \mathbb {U} =\varnothing$

Specie

O mulțime disjunctiv-universală (DUM) G [2] de ordin n și rang p este o mulțime de funcții ale algebrei logicii (FAL) astfel încât pentru oricare există o mulțime de funcții astfel încât: $g\în P_{2}(n)$ $g_{1},\ldots ,g_{p}\în G$

$g=g_{1}\lor \ldots \lor g_{p}$

Vezi și

Note

↑ 1 2 Stoll, 1968 , p. 25.
↑ S. A. Lozhkin. Prelegeri despre Fundamentele Ciberneticii, 2008 ( PDF )

Literatură

Stoll R. Multimi, logica, teorii axiomatice. — M .: Mir, 1968. — 231 p.
Nefedov V.N. , Osipova V.A. Curs de matematică discretă. - M. : MAI, 1992. - 264 p. — ISBN 5-7035-0157-X .