Paranteze Lagrange
Parantezele Lagrange sunt o operație binară în mecanica hamiltoniană, strâns legată de o altă operație binară, parantezele Poisson . Parantezele Lagrange au fost introduse de Lagrange în 1808-1810 pentru expresii matematice în mecanica clasică . Spre deosebire de brackets Poisson, brackets Lagrange practic nu sunt folosiți în zilele noastre.
Definiție
Fie ( q 1 , …, q n , p 1 , …, p n ) un sistem de coordonate canonice în spațiul fazelor . Dacă fiecare dintre ele este exprimată în funcție de două variabile, u și v , atunci parantezele Lagrange ale lui u și v sunt definite prin formula
![{\displaystyle [u,v]_{p,q}=\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {\partial q_{i)}{\partial u)}{\frac {\partial p_{i}}{\partial v}}-{\frac {\partial p_{i}}{\partial u}}{\frac {\partial q_{i}}{\partial v}}\ dreapta).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e05cf21cdb0f56601481458108913aab286f8349)
Trebuie remarcat faptul că această formulă coincide cu definiția parantezelor Poisson până la o permutare a numărătorilor și numitorilor în operatorii derivate parțiale.
Proprietăți
- Parantezele Lagrange (cum ar fi parantezele Poisson) sunt anticomutative , ceea ce este evident direct din definiție:
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=-[v,u]_{q,p}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/816cbee5211de2b81419c9020357c2cf13fa9b4e)
- Parantezele Lagrange nu depind de sistemul de coordonate canonic ( q , p ) . Dacă ( Q , P ) = ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) este un alt sistem de coordonate canonic, atunci
![{\displaystyle [u,v]_{q,p}=[u,v]_{Q,P}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39051426dab031895942d32aa708c5f895a50060)
- Dacă Ω este un spațiu simplectic într-un spațiu de fază 2n - dimensional W și u 1 , …, u 2 n formează un sistem de coordonate în W , atunci coordonatele canonice ( q , p ) pot fi exprimate ca funcții ale coordonatelor u și ale Matricea bracket-ului Lagrange
![{\displaystyle [u_{i},u_{j}]_{p,q},\quad 1\leq i,j\leq 2n}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d318870736b9e6f792068eb0bc938658ca24815)
- Ca o consecință a proprietăților anterioare, coordonatele ( Q 1 , …, Q n , P 1 , …, P n ) din spațiul fazelor sunt canonice dacă și numai dacă parantezele Lagrange dintre ele sunt de forma
![{\displaystyle [Q_{i},Q_{j}]_{p,q}=0,\quad [P_{i},P_{j}]_{p,q}=0,\quad [Q_{ i},P_{j}]_{p,q}=-[P_{j},Q_{i}]_{p,q}=\delta _{ij}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beb6a6f9cf25ec9d855845b153d7b81c97394963)
Vezi și
Literatură
- Cornelius Lanczos . Principiile variaționale ale mecanicii. - Dover, 1986. - ISBN 0-486-65067-7 .
- Patrick Iglesias. Les origines du calcul simplectique chez Lagrange // L'Enseign. Matematică. - 1998. - T. (2) 44 , nr. 3-4 . — S. 257–277 . MR : 1659212
Link -uri
- Eric W. Weisstein . Paranteză Lagrange (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
- A. P. Soldatov. Enciclopedia de matematică / Hazewinkel, Michiel. - Springer, 2001. - ISBN 978-1-55608-010-4 .