Suport Poisson

Parantezele Poisson [1] (posibil și parantezele Poisson [2] și parantezele Lie ) este un operator care joacă un rol central în determinarea evoluției în timp a unui sistem dinamic . Această operațiune poartă numele S.-D. Poisson . Considerat de S. Poisson în 1809 [3] , apoi uitat și redescoperit de Carl Jacobi .

Paranteze Poisson ale câmpurilor vectoriale

Fie și să fie câmpuri vectoriale pe o varietate netedă , să fie operatorul derivatei Lie în raport cu direcția câmpului vectorial . Comutatorul operator este un operator diferenţial de ordinul întâi , deci există un câmp vectorial pentru care [4] [Note 1] $v$ $u$ $M$ $L_{v}$ $v$ $L_{v}$ $Lu}$ $[v,u]$

L_{v}L_{u}-L_{u}L_{v}\equiv [L_{v},L_{u}]=L_{{[v,u]}}

Componentele câmpului vectorial dintr-un sistem de coordonate arbitrar sunt exprimate în termeni de componente și prin formulă $[v,u]$ $v$ $u$

$[v,u]_{i}=\sum _{j}v_{j}{\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{j}}}-u_{j}{\ frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}.$

Astfel, câmpul nu depinde de sistemul de coordonate care este utilizat în formulă. $[v,u]$ $(x_{1},...,x_{n}),$

Acest câmp vectorial se numește comutator , paranteze Lie sau paranteze Poisson ale celor două câmpuri vectoriale. Expresie explicită pentru paranteze Câmpuri de minciuni:

[v,u]=L_{v}u-L_{u}v

În baza holonomică , ia forma

[v,u]^{\mu }=v^{\alpha }\partial _{\alpha }u^{\mu }-u^{\alpha }\partial _{\alpha }v^{\mu }

Exemplu

Fie grupul de difeomorfisme ale varietatii . Atunci unde este paranteza Poisson și este diferența la identitatea grupului. Simbolul denotă imaginea elementului . $G=\mathrm {Dif.} (M)$ $M$ $\mathrm {ad} _{v}w=-\{v,w\},$ $\{v,w\)$ $\mathrm {ad}$ $\mathrm {Anunț}$ $\mathrm {ad} _{v)$ $v$

Fie o curbă care iese cu viteza inițială și fie aceeași curbă cu viteza inițială Apoi $t\mapsto g(t)$ $k$ ${\dot {g}}=m,$ $s\mapsto h(s)$ $h'=\omega .$

$g(t)h(s)g(t)^{-1}=(k+tm+o(t))(k+s\omega +o(s))(k+tm+o( t))^{-1}=k+s[\omega +t(m\omega -\omega m)+o(t)]+o(s)$

la $t,s\rightarrow 0.$

Proprietăți

Toate, cu excepția ultimelor două, sunt dovedite printr-un calcul simplu.

Liniaritate : este o funcție independentă deși. ${\Big [}u,cv{\Big ]}=c{\Big [}u,v{\Big ]},\;\;\;\;c$ $u$ $v$
Anticomutativitate : ${\Big [}u,v{\Big ]}=-{\Big [}v,u{\Big ]}$
${\Big [}w,u+v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}+{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}u,u{\Big ]}=0$
${\cfrac {\partial {\Big [}u,v{\Big ]}}{\partial t}}={\Big [}{\cfrac {\partial u}{\partial t}},v{\ Mare ]}+{\Big [}u,{\cfrac {\partial v}{\partial t)){\Big ]}$
${\Big [}w,c{\Big ]}=0$
${\Big [}w,u\cdot v{\Big ]}={\Big [}w,u{\Big ]}v+u{\Big [}w,v{\Big ]}$
${\Big [}w,u(v_{1},\ldots ,v_{k}){\Big ]}=\sum _{{l=1}}^{k}{\cfrac {\partial u} {\partial v_{l))}{\Big [}w,v_{l}{\Big ]}$
Identitatea Jacobi : ${\Big [}{\Big [}u,v{\Big ]},w{\Big ]}+{\Big [}{\Big [}v,w{\Big ]},u{\Big ] }+{\Big [}{\Big [}w,u{\Big ]},v{\Big ]}=0.$
Operația de comutare stabilește structura algebrei Lie pe mulțimea câmpurilor vectoriale .

Paranteze Poisson de funcții

Să fie o varietate simplectică . Structura simplectică pe permite introducerea în setul de funcții privind funcționarea parantezelor Poisson , notate cu sau și date prin regula [1] [Note 2] $M$ $\omega$ $M$ $M$ $\{\cdot ,\cdot \}$ $[\cdot ,\cdot]$

[F,G]\ {\stackrel {{\text{def}}}{=}}\ L_{{{\mathbf F}}}G\equiv dG({\mathbf F})\equiv \omega ({ \mathbf F},{\mathbf G})

unde (de asemenea ) este câmpul vectorial corespunzător funcției Hamilton . Este definită din punct de vedere al funcției diferențiale și al izomorfismului dintre 1-forme și vectori dați de forma (nedegenerată) . Și anume, pentru orice câmp vectorial $\mathbf {F}$ $IdF$ $F$ $F$ $\omega$ ${\mathbf v}$

dF({\mathbf v})\ {\stackrel {{\text{def))}{=}}\ \omega ({\mathbf v},{\mathbf F})

Algebra Lie a funcțiilor hamiltoniene

Datorită simetriei și biliniarității , paranteza Poisson va fi, de asemenea, simetrică și biliniară: $\omega$

[F,G]=-[G,F]

[F,\lambda G+\mu H]=\lambda [F,G]+\mu [F,H]

Expresie

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]

este o funcție liniară a derivatelor secunde ale fiecărei funcții . in orice caz $F,G,H$

{\begin{matrice}{r}[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=\\-L_{{Id[G,H ]}}F+L_{{{\mathbf G}}}L_{{{\mathbf H}}}F-L_{{{\mathbf H}}}L_{{{\mathbf G}}}F=\ \\left(-L_{{Id[G,H]}}+L_{{[{\mathbf G},{\mathbf H}]}}\right)F\end{array}}

Această expresie nu conține derivate secunde . În mod similar, nu conține derivate secunde și , și, prin urmare $F$ $G$ $H$

[F,[G,H]]+[G,[H,F]]+[H,[F,G]]=0

adică parantezele Poisson satisfac identitatea Jacobi . Astfel, parantezele Poisson permit introducerea în setul de funcții a structurii unei algebre Lie . Din identitatea Jacobi rezultă că pentru orice funcție $M$ $H$

L_{{Id[F,G]}}H=L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}H

acesta este

Id[F,G]=[{\mathbf F},{\mathbf G}]

— operația de construire a unui câmp vectorial hamiltonian dintr-o funcție definește un homomorfism al algebrei Lie a funcțiilor în algebra Lie a câmpurilor vectoriale.

Proprietăți

Parantezele Poisson sunt nedegenerate :

\forall F\nu \equiv 0\ \există H:[F,H]\neq 0

Parantezele Poisson satisfac identitatea Leibniz :

[F,GH]=[F,G]H+G[F,H]

O funcție este prima integrală pentru un sistem hamiltonian cu un hamiltonian dacă și numai dacă $F$ $H$ $[F,H]=0$
Paranteza Poisson a primelor două integrale ale sistemului este din nou prima integrală (o consecință a identității Jacobi).
Considerăm evoluția unui sistem hamiltonian cu o funcție hamiltoniană dată pe o varietate . Derivata în timp totală a unei funcții arbitrare poate fi scrisă ca $H$ $M$ $f\colon M\times \mathbb{R} \to \mathbb{R}$

{\begin{array}{cl}{\frac {d}{dt}}f=&{\frac {\partial f}{\partial t}}+{\dot q}{\frac {\partial f} {\partial q))+{\dot p}{\frac {\partial f}{\partial p))=\\&{\frac {\partial f}{\partial t))+L_{({\ mathbf H))}f=\\&{\frac {\partial }{\partial t))f+[H,f]\end{array))

În coordonatele canonice, parantezele Poisson iau forma [Notele 3] $(q_{i},p_{j})$

[f,g]=\sum _{i=1}^{N}\left({\frac {\partial f}{\partial p_{i)}}{\frac {\partial g}{ \partial q^{i))}-{\frac {\partial f}{\partial q^{i))}{\frac {\partial g}{\partial p_{i))}\right)

[5]

Semnificație filosofică

Parantezele Poisson au jucat un rol euristic important în crearea mecanicii cuantice prin analogia clasică dintre parantezele Poisson clasice și cuantice. [6] [7] [8] [9]

Note

↑ Unii autori [Arnold] folosesc definiția cu semnul opus, care schimbă și semnul în definiția parantezelor Poisson ale funcțiilor (vezi mai jos). Această abordare este dictată, aparent, de dorința de a păstra atât definițiile geometrice naturale ale câmpurilor hamiltoniene și proprietățile acestora, cât și forma tradițională de a scrie paranteze Poisson în coordonate. Totuși, acest lucru distruge simetria naturală dintre comutatoarele derivatelor, vectorilor și funcțiilor Lie. Alte probleme apar atunci când se trece la conceptele generale de geometrie diferențială (forme, forme cu valori vectoriale, diverse derivații), unde absența acestei simetrii complică inutil formulele. Prin urmare, în acest articol vor fi folosite și alte definiții, cu rezerve.
↑ În unele cărți [Arnold] se adoptă o definiție cu semnul opus și anume În același timp, comutatorul câmpurilor vectoriale este definit și cu semnul opus (vezi mai sus), iar expresia pentru paranteza Poisson în coordonate ia forma tradițională, dar un minus în plus apare în expresia și formula pentru comutarea câmpului. $[F,G]\ {\stackrel {def}{=}}\ dF({\mathbf G})={-L_{{{\mathbf F}}}G.}$ $L_{{Id[F,G]}}=-L_{{[{\mathbf F},{\mathbf G}]}}$
↑ În [Arnold], [Gantmacher] expresia are semnul opus (asemănător cu remarcile de mai sus). În mod tradițional, expresia este scrisă ca în [Gantmacher].

Literatură

↑ 1 2 Gantmakher F. R. Prelegeri de mecanică analitică: manual pentru universități / Ed. E. S. Piatnitsky. - Ed. a 3-a. - M. : FIZMATLIT, 2005. - 264 p. — ISBN 5-9221-0067-X .
↑ Arnold V. I. Metode matematice ale mecanicii clasice. - Ed. a 5-a, stereotip. - M. : Editorial URSS, 2003. - 416 p. - 1500 de exemplare. — ISBN 5-354-00341-5 .
↑ Poisson SD Memoire sur lavariation des constantes arbitraire in les questions de Mechanique. - Călătorie. Politechn. 1809 t. VIII, p. 266-344
↑ Ivan Kolář, Peter W. Michor, Jan Slovák Operații naturale în geometrie diferențială Arhivat 6 iulie 2020 la Wayback Machine , - Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1993. - ISBN 3-540-56235-4 , ISBN 0- 387-56235-4 .
↑ Landau L. D, Lifshitz E. M. Fizica teoretică. Volumul 1. / Doctor în științe fizice și matematice L.P. Pitaevsky. - a 5-a. - FIZMATLIT, 2004. - S. 176-179. - ISBN 5-9221-0055-6 .
↑ Dirac PA M „Basic Equations of Quantum Mechanics” Copie de arhivă din 2 mai 2021 la Wayback Machine UFN 122 611–621 (1977)
↑ Dirac P.A.M. Amintiri ale unei epoci extraordinare. - M., Nauka, 1990. - p. 20-21
↑ Dirac P. A. M. Principiile mecanicii cuantice. - M., Fizmatlit, 1960. - p. 125-130
↑ Razumovsky O. S. Poisson brackets as a method // Yanenko N. N. , Preobrazhensky N. G., Razumovsky O. S. Probleme metodologice ale fizicii matematice. - Novosibirsk, Nauka, 1986. - p. 246-263