Metrica de vocabular pe grup

O metrică de dicționar este o modalitate de a seta distanțe pe un grup finit generat .

Constructii

Dacă se alege și se fixează un sistem finit de generatoare dintr-un grup finit generat , atunci distanța dintre elemente și este cel mai mic număr de generatoare și inversele acestora, în produsul căruia se descompune câtul . $F$ $\Gamma$ $g$ $h$ $g^{-1}h$

Proprietăți

Metrica de vocabular este invariantă la stânga; adică se păstrează prin înmulțirea în stânga cu un element fix al grupului.
- Pentru grupurile non-abeliene, în general vorbind, nu este invariant la dreapta.
Metrica de vocabular este aceeași cu distanța din graficul Cayley pentru același sistem de generatoare.
Metrica de vocabular nu se păstrează la schimbarea sistemului de generatoare, dar se modifică cvasiizometric (în acest caz este la fel ca în modul bi- Lipschitz ). Adică pentru unele constante : $C_{1},C_{2}$ $\forall g,h\in G\quad {\frac {1}{C_{1}}}d_{2}(g,h)\leq d_{1}(g,h)\leq C_{ 2}d_{2}(g,h).$ .

În special, acest lucru ne permite să aplicăm concepte geometrice la grup folosind metrica vocabularului, care sunt păstrate sub cvasiizometrie. De exemplu, pentru a vorbi despre gradul de creștere a grupului (polinom, exponențial, intermediar) și hiperbolicitatea acestuia .

Variații și generalizări

Într-un mod similar, o metrică de vocabular poate fi construită pe un grup arbitrar (nu neapărat generat finit), caz în care devine necesar să se ia un sistem infinit de generatoare și multe dintre proprietățile descrise încetează să mai fie valabile.

Link -uri

JW Cannon, Teoria grupurilor geometrice, în Manualul de topologie geometrică paginile 261--305, Olanda de Nord, Amsterdam, 2002, ISBN 0-444-82432-4