Grup hiperbolic

Un grup hiperbolic  este un grup finit generat al cărui grafic Cayley , ca spațiu metric, este Gromov hiperbolic .

Definiție

Pe un grup finit generat cu generatori aleși, există o metrică naturală - metrica dicționar . Un grup se numește hiperbolic dacă, echipat cu această metrică, se dovedește a fi hiperbolic ca spațiu metric. Deoarece atunci când sistemul de generatori ales este înlocuit, metrica se modifică cvasiizometric , în timp ce hiperbolicitatea spațiului metric este păstrată, conceptul se dovedește a fi independent de alegerea sistemului de generatoare.

Exemple

• Deoarece hiperbolicitatea este, într-un anumit sens, „asemănarea” proprietăților unui spațiu metric cu un arbore, un grup liber ( al cărui grafic Cayley este un arbore) cu orice număr finit de generatoare este hiperbolic.
• Grupul PSL(2,Z) este hiperbolic.
• Un grup finit este hiperbolic.

• Un grup abelian liber cu doi generatori nu este hiperbolic.
  • Mai mult, orice grup care conține un subgrup izomorf nu este hiperbolic. [1] [2]
• Grupul Baumslag-Solitaire B ( m , n ), precum și orice grup care conține B ( m , n ) ca subgrup, nu este hiperbolic.

Proprietăți

• Hiperbolicitatea este păstrată la trecerea la un subgrup de indici finiți.
• Orice grup hiperbolic este prezentat finit : este dat de un număr finit de generatori și un număr finit de relații. (Ca o consecință, grupurile hiperbolice – spre deosebire de toate grupurile în general – sunt doar numărabil numeroase.)
• Hiperbolicitatea este echivalentă cu o inegalitate izoperimetrică liniară : un cuvânt banal, scris ca produs al N generatoare, este reprezentat ca un produs al conjugaților CN la relațiile de bază (cu un anumit control asupra lungimii produselor de conjugare).

Note

1. ↑ Bridson, Haefliger, 1999 , Capitolul III.Γ, Corolarul 3.10.
2. ↑ Ghys, de la Harpe, 1990 , Cap. 8, Th. 37.

Literatură

• P. de la Harp, E. Gies, Grupuri hiperbolice după Mihail Gromov
• Bridson, Martin R. Spații metrice de curbură non-pozitivă / Martin R. Bridson, André Haefliger . - Berlin : Springer-Verlag, 1999. - Vol. 319. - ISBN 3-540-64324-9 . - doi : 10.1007/978-3-662-12494-9 .
• Mihail Gromov, Grupuri hiperbolice. Eseuri în teoria grupurilor, 75-263, Math. sci. Res. Inst. Publ., 8, Springer, New York, 1987.
• Rips, E. Sela, Z. Reprezentanți canonici și ecuații în grupuri hiperbolice. inventar. Matematică. 120 (1995), nr. 3, 489-512.
• Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov: [ fr. ] . - Boston, MA: Birkhäuser Boston, Inc., 1990. - Vol. 83. - ISBN 0-8176-3508-4 . - doi : 10.1007/978-1-4684-9167-8 .