Subset

O submulțime în teoria mulțimilor este conceptul de parte a unei mulțimi.

Definiție

O mulțime se numește submulțime a mulțimii dacă toate elementele aparținând lui aparțin și lui [1] . Definiție formală: $A$ $B$ $A$ $B$

(A\subset B)\Leftrightarrow\left(\forall x(x\in A\Rightarrow x\in B)\right)\,

Există două sisteme de notație simbolică pentru submulțimi:

„ este un subset de (nestrict)” este notat $A$ $B$	„ este un subset strict ” este notat $A$ $B$	Notă
$A\subseteq B$	$A\subset B$	Simbolul este un analog , adică în cazul în care este permisă egalitatea mulțimilor; $\subseteq$ $\leq$ $A\subseteq B$ $A=B$ personajul este un analog al lui , adică în cazul în care există elemente care nu sunt în . $\subset$ $<$ $A\subset B$ $B$ $A$
$A\subset B$	$A\subsetneq B$	Un simbol mai simplu este folosit pentru „subset (nestrict)” deoarece este considerat mai „fundamental”.

Ambele sisteme de notație sunt furnizate de standardul ISO 31-11 , dar folosesc simbolul în sensuri diferite, ceea ce poate duce la confuzie. În acest articol, vom folosi cea mai recentă notație. $\subset$

O mulțime se numește superset a unei mulțimi dacă este o submulțime a unei mulțimi . $B$ $A$ $A$ $B$

Ceea ce este un superset al setului este notat , i.e. $B$ $A$ $B\supset A$ $(A\subset B)\Leftrightarrow (B\supset A)\,.$

Mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime este notă și numită boolean . $A$ ${\mathcal {P}}(A)$

Mulțimi și sunt numite egale numai atunci când sunt formate din aceleași elemente, adică și . [2] $A$ $B$ $A=B$ $A\subseteq B$ $B\subseteq A$

Subset propriu și impropriu

Orice set dintre submulțimile sale se conține pe sine și setul gol . Mulțimea în sine și mulțimea goală se numesc submulțimi improprii , submulțimile rămase se numesc proprie [3] . $B$ $B$

Adică, dacă vrem să ne excludem pe sine și mulțimea goală din considerare, folosim conceptul de submulțime adecvată , care este definită după cum urmează: $B$

multimea este o submultime propriu-zisa a multimii numai daca si , .

A

B

A\subset B

A\neq B

A\neq \varnothing

Literatură străină

În literatura străină, submulțimile improprii în sensul de mai sus (mulțimea B în sine și mulțimea goală) sunt numite triviale , iar submulțimile proprii sunt numite netriviale , iar termenul „ submulțime adecvată ” este folosit în sensul de „includere strictă a lui A în B ” sau „submulțimea lui A , strict inclusă în mulțimea B , adică una care nu aparține cel puțin unui element al mulțimii B ”, adică aici conceptul de „ submulțime propriu -zisă ” deja, dimpotrivă , include setul gol.

În acest caz, dacă, în plus, mulțimea goală trebuie exclusă din considerare, trebuie utilizată noțiunea de submulțime netrivială , care este definită după cum urmează:

o mulțime este o submulțime netrivială a mulțimii dacă este propria sa submulțime (submulțime propriu-zisă) și .

A

B

A

B

A\neq \varnothing

Exemple

Seturile sunt subseturi ale unui set ${\displaystyle \varnothing ,~\{0\},~\{1,3,4\},~\{0,1,2,3,4,5\))$ $\{0,1,2,3,4,5\}.$
Mulțimile sunt submulțimi triviale (improprii) ale mulțimii ; toate celelalte submulțimi ale elementelor mulțimii sunt netriviale sau proprii. $\varnothing ,~\{0,1,2,3,4,5\}$ $\{0,1,2,3,4,5\},$
Seturile sunt subseturi ale unui set $\{\varnothing,\uparrow,{\mbox{oca))\},~\{\$,\%,*,\uparrow \},~\{\varnothing \},~\varnothing$ $\{\$,\%,\varnothing ,\uparrow ,*,{\mbox{oca)}\}.$
Lasă Atunci $A=\{a,b\}.$ ${\mathcal {P}}(A)=\{\varnothing ,\{a\},\{b\},\{a,b\}\}.$
Lasă . Atunci și, de asemenea, (adică, C nu este nici o submulțime strictă, nici ne-strict a lui A ). ${\displaystyle A=\{1,2,3,4,5\},\;B=\{1,2,3\},\;C=\{4,5,6,7\))$ $B\subset A,\;C\nu \subset A,$ $\neg (C\subsetneq A)$

Proprietăți

Relația de submulțime are un număr de proprietăți [4] .

Relația de submulțime este o relație de ordine parțială :
- Relația de submulțime este reflexivă : $B\subset B$
- Relația de submulțime este antisimetrică : $(A\subset B\;\land \;B\subset A)\Leftrightarrow (A=B)$
- Relația de submulțime este tranzitivă : $(A\subset B\;\land \;B\subset C)\Rightarrow (A\subset C)$
Mulțimea goală este o submulțime a oricărei alte, deci este cea mai mică mulțime în raport cu relația submulțime: $\varnothing \subset B$
Pentru oricare trei seturi și astfel încât toate afirmațiile: $A,$ $B$ $X$ $A,B\subset X,$
- $A\subset B;$
- $A\cap B=A;$
- $A\cup B=B;$
- $X\setminus B\subset X\setminus A;$
- $(A\cap X)\setminus B=\varnothing ;$
- $A\cap (X\setminus B)=\varnothing ;$
- $(X\setminus A)\cup B=X;$
- $B^{\complement }\subset A^{\complement }$

sunt echivalente [5] .

Submulțimi de mulțimi finite

Dacă mulțimea inițială este finită, atunci are un număr finit de submulțimi. Și anume, mulțimea -element are subseturi (inclusiv cea goală ). Pentru a verifica acest lucru, este suficient să rețineți că fiecare element poate fi fie inclus, fie nu inclus într-un subset, ceea ce înseamnă că numărul total de subseturi va fi un produs de două ori. Dacă luăm în considerare numai submulțimi ale mulțimii de elemente -element, atunci numărul lor este exprimat prin coeficientul binomial . Pentru a verifica acest fapt, puteți selecta secvențial elementele subsetului. Primul element poate fi ales într-un fel, al doilea într-un fel și așa mai departe, iar în final al-lea element poate fi ales într-un fel. Astfel, obținem o succesiune de elemente și exact o submulțime corespunde unor astfel de secvențe. Prin urmare, există astfel de subseturi în total. $n$ $2^{n}$ $n$ $n$ $k\leq n$ $\textstyle {\binom {n}{k)}$ $n$ $n-1$ $k$ $n-k+1$ $k$ $k!$ $\textstyle {\frac {n(n-1)\dots (n-k+1)}{k!)}={\binom {n}{k)}$

Note

↑ Birkhoff, 1976 , p. zece.
↑ Melnikov O. V., Remeslenikov V. N., Romankov V. A. Algebră generală. Volumul 1. - M., Nauka, 1990. - p. unsprezece
↑ Subset. // Dicţionar enciclopedic matematic. / ed. Iu. V. Prohorov . - M., Enciclopedia Sovietică, 1988. - p. 465
↑ V. A. Ilyin , V. A. Sadovnichiy , Bl. H. Sennov . Capitolul 2. Numere reale // Analiza matematică / Ed. A. N. Tihonova . - Ed. a 3-a. , revizuit si suplimentare - M. : Prospekt, 2006. - T. 1. - S. 65. - 672 p. — ISBN 5-482-00445-7 .
↑ Kelly J. Topologie generală. - M., Nauka, 1981. - p. 16

Literatură

Vereshchagin N.K., Shen A. Prelegeri despre logica matematică și teoria algoritmilor. Partea 1. Începuturile teoriei mulţimilor - Ed. a III-a, stereotip. - M. : MTSNMO, 2008. - 128 p. - ISBN 978-5-94057-321-0 .
Birkhoff G. , Barty T. Algebră aplicată modernă. — M .: Mir, 1976. — 400 p.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Subset (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Logici

Filosofie • Semantică • Sintaxă • Istorie

Grupuri logice

logica clasica	logica aristotelică Logica propozițională Logica de ordinul întâi Logica de ordinul doi logica de ordin superior
logica matematica	teoria multimilor Teoria modelului Teoria computabilității Teoria dovezilor și matematică constructivă Logica liniară sistem formal concluzie firească Calcul de secvență Algebra logicii Logica relevanta Logica deontică logica intuiționistă calculul Lambek
Logica non-clasica	intuitionism logica fuzzy Logica substructurala logica Logica descrierii Logica cu mai multe valori Sinteza logica Logica obligatorie Logica temporală Logica modală ( logica hibridă ) logica epistemică
Logica filozofică	Gândire critică logica informala motiv dedus

Componente

Lista simbolurilor booleene