Punct de condensare

Punctul de condensare este o versiune consolidată a punctului limită și o versiune specială a punctului de acumulare în topologia generală : pentru o mulțime dată într-un spațiu topologic , un punct se numește punct de condensare dacă orice vecinătate conține un set nenumărat de puncte de setul . $A$ $X$ $x\în X$ $X$ $A$

Mulțimea punctelor de condensare a mulțimii - - este închisă , în plus, dacă este nevid, atunci este o mulțime perfectă și are cardinalitatea continuumului . Setul de puncte de condensare a închiderii ansamblului coincide cu setul de puncte de condensare a ansamblului propriu-zis: . Unirea mulţimilor de puncte de condensare a două mulţimi coincide cu mulţimea punctelor de condensare a unirii mulţimilor originale: . Pentru o mulțime dintr-un spațiu cu a doua axiomă de numărabilitate și sunt numărabile . Ultimele două proprietăți implică direct teorema Cantor-Bendixon $A$ $A^{\circ )$ ${\bar {A}}^{\circ }=A^{\circ }$ $(A\cup B)^{\circ }=A^{\circ }\cup B^{\circ }$ $A$ $X$ $A\setminus A^{\circ }$ $(A^{\circ })^{\circ }=A$ în versiunea topologică generală (demonstrată inițial pentru submulțimi ale liniei reale).

Pentru submulțimea numerică, toate punctele limită sunt puncte de condensare; fiecare punct al discontinuumului Cantor este punctul său de condensare. Un set numărabil de puncte de condensare nu poate avea (în același timp, pot exista puncte limită, de exemplu, toate punctele liniei reale sunt puncte limită pentru un set numărabil de numere raționale). $\mathbb {Q}$

Pentru subspațiile spațiilor euclidiene , punctele de condensare au fost definite și studiate în 1903 de Ernst Lindelöf , în 1914 Felix Hausdorff a extins conceptul la spații topologice generale.

Literatură

Aleksandrov PS Introducere în teoria mulțimilor și topologia generală. - M .: Science , 1977. - S. 104, 143, 159-160. — 368 p.
Engelking R. Topologie generală . - M .: Mir , 1986. - S. 102 . — 752 p.
Punct de condensare - articol din Encyclopedia of Mathematics . B. A. Efimov