Set nenumărat

O mulțime nenumărabilă este o mulțime infinită care nu este numărabilă .

Câteva definiții echivalente ale nenumărabilității pentru o mulțime : $X$

nu există o mapare injectivă la mulțimea numerelor naturale ; $X$ $\mathbb {N}$
$X$ nu este gol , iar pentru fiecare succesiune numerotată de elemente , există cel puțin un element care nu este inclus în ea; $X$ $X$
- cu alte cuvinte: este nevid și nu există o mapare surjectivă a mulțimii de numere naturale pe ; $X$ $\mathbb {N}$ $X$
puterea nu este nici finită, nici egală cu . $X$ $\aleph_0$

Aceste definiții sunt echivalente în sistemul Zermelo-Fraenkel fără a utiliza axioma alegerii . Dovada echivalenței acestor definiții cu următoarele:

puterea depăşeşte cu stricteţe $X$ $\aleph_0$

- necesită utilizarea axiomei alegerii.

Un superset al unui set nenumărabil este nenumărabil. Cel mai simplu exemplu de multime nenumarabila este continuum , problema existentei multimilor nenumarabile cu o putere mai mica decat puterea continuumului este continutul ipotezei continuumului .

Literatură

M. I. Voitsekhovsky. Enciclopedia matematică : [în 5 volume] / Cap. ed. I. M. Vinogradov . - M . : Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3: Koo - Od. - 1184 stb. : bolnav. — 150.000 de exemplare.