Matrice de însoțire

În algebra liniară, matricea însoțitoare a unui polinom unitar

p(t)=c_{0}+c_{1}t+\dots +c_{n-1}t^{n-1}+t^{n)

numită matrice pătrată

C(p)={\begin{bmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots & \vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\\\end{bmatrix}}.

Proprietăți

Polinomul este atât polinomul caracteristic , cât și cel minim al matricei , și în acest sens matricea însoțește polinomul . $p(x)$ $C(p)$ $C(p)$ $p(x)$

Dacă este o matrice de dimensiuni cu elemente din câmpul , atunci următoarele afirmații sunt echivalente: $A$ $n\ ori n$ $\mathbb {F}$

$A$ este similară cu matricea de însoțire pe câmp . $\mathbb {F}$
Polinomul caracteristic al unei matrice este același cu polinomul minim al acesteia . $A$
Există un vector ciclic astfel încât vectorii formează o bază a spațiului . $v\in V=F^{n}$ $v,Av,A^{2}v,\dots ,A^{n-1}v$ $V$

Nu orice matrice pătrată este ca o matrice însoțitoare, dar orice matrice pătrată este ca o matrice bloc-diagonală , fiecare dintre ale cărei blocuri este o matrice însoțitoare. Mai mult, aceste matrici însoțitoare pot fi alese astfel încât polinoamele lor să se împartă între ele. O astfel de matrice este determinată în mod unic din matricea pătrată originală și se numește forma normală Frobenius .

Diagonalizare

Dacă polinomul are rădăcini: (care sunt valori proprii ale matricei ), atunci este diagonalizabil , adică poate fi reprezentat ca $p(x)$ $n$ $\lambda _{1},\lambda _{2},\dots,\lambda _{n)$ $C(p)$ $C(p)$