Matricea conjugată hermitiană

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

O matrice conjugată hermitiană sau o matrice conjugat-transpusă este o matrice * cu elemente complexe obținute din matricea originală prin transpunerea și înlocuirea fiecărui element cu conjugatul său complex . $A$ $A$

Matricele conjugate hermitiene joacă aproape același rol în studiul spațiilor vectoriale complexe ca și matricele transpuse în cazul spațiilor reale.

Definiție și notare

Dacă matricea originală are dimensiunea , atunci conjugatul hermitian al lui k va avea dimensiunea , iar al- lea element al său va fi egal cu: $A$ $m\ori n$ $A$ $A^{*}$ $n \ori m,$ $(i, j)$

\left(A^*\right)_{ij} = \overline{A_{ji}},

unde denotă numărul conjugat complex k (numărul conjugat k este , unde și sunt numere reale ). $\overline{z}$ $z$ $a+bi$ $a-bi$ $A$ $b$

În caz contrar, această definiție poate fi rescrisă după cum urmează:

$A^{*}=\left({\overline {A}}\right)^{\text{T}}={\overline {{A}^{\text{T}}}}.$

Matricea conjugată Hermitiană este de obicei desemnată ca sau ( H din engleza Hermitian - Hermitian), dar uneori sunt folosite alte notații: $A^{*}$ $A^H$

$A^{\pumnal}$ - în mecanica cuantică ;
$A^+$ - dar această notație poate fi confundată cu notația pentru o matrice pseudoinversă .

Exemplu

În cazul în care un

A = \begin{bmatrix} 3 + i & 5 \\ 2-2i & i \end{bmatrix}

apoi

A^* = \begin{bmatrix} 3-i & 2+2i \\ 5 & -i \end{bmatrix}.

Definiții înrudite

Dacă o matrice constă din numere reale , atunci matricea sa conjugată Hermitiană este doar o matrice transpusă : $A$

A^* = A^T,

dacă

a_{ij} \in \mathbb{R}.

Matricea pătrată se numește: $A$

Hermitian dacă ; $A^*=A$
anti- ermitic sau skew-ermitic dacă ; $A^* = -A$
normal dacă ; $A^*A = AA^*$
unitar dacă , unde este matricea de identitate . $A^*A = AA^* = I$ $eu$

Proprietăți

$(A + B)^* = A^* + B^*$ pentru oricare două matrice și aceleași dimensiuni. $A$ $B$
$(cA)^* = \overline{c} A^*$ pentru orice scalar complex . $c \in \mathbb{C}$
$(AB)^* = B^* A^*$ pentru orice matrice și , astfel încât produsul lor să fie definit . Rețineți că în partea dreaptă a egalității, ordinea înmulțirii matricei este inversată. $A$ $B$ $AB$
$(A^*)^* = A$ pentru orice matrice . $A$
Valorile proprii , determinantul și urma sunt modificate la conjugatul matricei conjugate hermitiene, comparativ cu originalul.
$A$ este inversabilă dacă și numai dacă matricea este inversabilă . în care: $A^{*}$ $(A^{*})^{-1}=(A^{-1})^{*}$
$\langle Ax, y\rangle = \langle x,A^* y \rangle$ pentru orice matrice de dimensiune și orice vector și . Notația denotă produsul scalar standard al vectorilor dintr-un spațiu vectorial complex. $A$ $m\ori n$ $x \in \mathbb{C}^n$ $y \in \mathbb{C}^m$ $\langle\cdot,\cdot\rangle$
Matricele și sunt hermitiene și semidefinite pozitive pentru orice matrice (nu neapărat pătrată). Dacă sunt pătrate și nedegenerate, atunci aceste două matrici vor fi pozitiv-definite. $AA^*$ $A^*A$ $A$ $A$

Vezi și

Operatorul adjunct este o generalizare a conceptului de matrice conjugată Hermitiană pentru spații cu dimensiuni infinite.

Link -uri

Weisstein, Eric W. Conjugate Transpose (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .

Vectori și matrici

Vectori

Noțiuni de bază	Vector în geometrie Bază Baza ortogonala Coordonatele vectoriale Coliniaritate Ortogonalitatea Dependență liniară Spațiu coloane
Tipuri de vectori	Vector unitar Vector axial vector izotrop Normal Coliniaritate Vector zero Vector rază Vector propriu
Operații pe vectori	Produs scalar produs vectorial produs mixt Produs pseudoscalar Produs dublu cruce
Tipuri de spațiu	spațiu vectorial spatiu afin Spațiul euclidian Spațiul pseudo-euclidian Spațiu normat Spațiul Minkowski

matrici

Noțiuni de bază	Înmulțirea matricei Matrice transpusă Matricea conjugată hermitiană Matricea simetrică matrice inversă Valoare proprie Polinom caracteristic al unei matrice
Matrici speciale	Matrice de identitate Matrice zero Matricea diagonală matricea lambda
Descompuneri de matrice	descompunerea LU Descompunerea Cholesky Descompunerea QR Descompunerea LUP descompunerea unei valori singulare Descompunerea spectrală a unei matrice

Alte