Numerele conjugate

Numerele conjugate ( numerele conjugate complexe ) sunt o pereche de numere complexe care au aceleași părți reale și egale în valoare absolută , dar opuse în semn, părți imaginare [1] . De exemplu, numerele și sunt conjugate . Conjugatul unui număr se notează cu . În cazul general, conjugatul la un număr (unde și sunt numere reale ) este . $3+4i$ $3-4i$ $z$ $\overline{z}$ $z=a+ib$ $A$ $b$ ${\overline {z}}=a-ib$

De exemplu:

{\overline {(3-2i)))=3+2i

{\overline {7}}=7

{\overline {i}}=-i.

Pe planul complex, numerele conjugate sunt reprezentate prin puncte care sunt simetrice față de axa reală. În sistemul de coordonate polar, numerele conjugate au forma și , care decurge direct din formula lui Euler . $re^{i\phi }$ $re^{-i\phi )$

Numerele conjugate sunt rădăcinile unei ecuații pătratice cu coeficienți reali și un discriminant negativ.

Proprietăți

Pentru numere complexe arbitrare și : $z$ $w$

${\overline {(z\pm w)}}={\overline {z}}\pm {\overline {w}}$ ,
${\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}$
${\overline {z}}=z\Leftrightarrow z$ este un număr real,
${\overline {z^{n}}}={\overline {z}}^{n}$ pentru toate numerele întregi , $n$
$\left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|$ ,
${\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}={\overline {z}}z$ ,
${\overline {\overline {z}}}=z$ (adică conjugarea este o involuție ),
$z^{-1}={\frac {\overline {z}}({\left|z\right|}^{2)))$ dacă nu este egal cu zero. Această proprietate este folosită pentru a calcula reciproca unui număr complex dat în coordonate dreptunghiulare. $z$

Dacă este o funcție holomorfă a cărei restricție la mulțimea numerelor reale este o funcție reală și este definită , atunci: $\phi$ $\phi (z)$

\phi ({\overline {z))}={\overline {\phi (z)))

În special:

$\exp({\overline {z))}={\overline {\exp(z))}$
$\log({\overline {z))}={\overline {\log(z))}$ dacă nu este egal cu zero. $z$
if este un polinom cu coeficienți reali și , atunci de asemenea , adică rădăcinile complexe (nu reale) ale unor astfel de polinoame formează întotdeauna perechi conjugate complexe. $p$ $p(z)=0$ $p({\overline {z)})=0$

Determinarea coordonatelor unui număr și a conjugării

Coordonatele dreptunghiulare și polare ale unui număr complex pot fi determinate folosind formulele:

$x=\operatorname {Re} \,(z)=(z+{\overline {z)))/2$
$y=\operatorname {Im} \,(z)=(z-{\overline {z)))/2i$
$\rho =\left|z\right|={\sqrt {z\cdot {\overline {z}))}$
$e^{i\theta}=z/\left|z\right|=e^{i\arg z}={\sqrt {z/{\overline {z)})}$ (dacă nu este egal cu zero). $z$

Note

^ Weisstein , Eric W. Complex Conjugates pe site- ul Wolfram MathWorld .

Literatură

Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

Dicționare și enciclopedii	Mare catalană