Sistemul de coordonate polare

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 10 noiembrie 2021; verificările necesită 4 modificări .

Un sistem de coordonate polar este un sistem de coordonate bidimensional în care fiecare punct dintr-un plan este definit de două numere - un unghi polar și o rază polară. Sistemul de coordonate polare este util în special atunci când relațiile dintre puncte sunt mai ușor de reprezentat ca raze și unghiuri; în sistemul de coordonate cartezian , sau dreptunghiular, mai comun, astfel de relații pot fi stabilite numai prin aplicarea ecuațiilor trigonometrice .

Sistemul de coordonate polare este dat de o rază, care se numește raza zero, sau axa polară. Punctul din care iese această rază se numește origine sau pol. Orice punct din plan este definit de două coordonate polare: radială și unghiulară. Coordonata radială (notată de obicei ) corespunde distanței de la punct la origine. Coordonata unghiulară se mai numește și unghi polar sau azimut și se notează cu , egal cu unghiul cu care trebuie să rotiți axa polară în sens invers acelor de ceasornic pentru a ajunge în acest punct [1] . $r$ $\varphi$

Coordonata radială definită în acest fel poate lua valori de la zero la infinit , iar coordonata unghiulară variază de la 0° la 360°. Cu toate acestea, pentru comoditate, intervalul de valori ale coordonatei polare poate fi extins dincolo de unghiul complet și, de asemenea, poate fi permis să ia valori negative, ceea ce corespunde rotației axei polare în sensul acelor de ceasornic.

Istorie

Conceptele de unghi și rază au fost cunoscute încă din primul mileniu î.Hr. Astronomul grec Hipparchus (190-120 î.Hr.) a creat un tabel în care erau date lungimile acordurilor pentru diferite unghiuri. Există dovezi ale utilizării de către acesta a coordonatelor polare pentru a determina poziția corpurilor cerești [2] . Arhimede în eseul său „Spirale” descrie așa-numita spirală a lui Arhimede, o funcție a cărei rază depinde de unghi. Lucrările cercetătorilor greci, însă, nu s-au dezvoltat într-o definiție coerentă a sistemului de coordonate.

În secolul al IX-lea, matematicianul persan Khabbash al-Khasib (al-Marwazi) a folosit metodele proiecțiilor cartografice și ale trigonometriei sferice pentru a transforma coordonatele polare într-un alt sistem de coordonate centrat la un moment dat pe sferă, în acest caz, pentru a determina Qibla - direcția spre Mecca [3 ] . Astronomul persan Abu Rayhan Biruni ( 973 - 1048 ) a prezentat idei care arată ca o descriere a sistemului de coordonate polare. El a fost primul care, în jurul anului 1025 , a descris proiecția polară echi-azimutală echidistantă a sferei cerești [4] .

Există diferite versiuni despre introducerea coordonatelor polare ca sistem formal de coordonate. Istoria completă a apariției și cercetării este descrisă în lucrarea profesorului de la Harvard Julian Lovell Coolidge „Originea coordonatelor polare” [5] . Grégoire de Saint-Vincent și Bonaventura Cavalieri au ajuns în mod independent la un concept similar la mijlocul secolului al XVII-lea. Saint-Vincent a descris sistemul polar în note personale în 1625, după ce și-a publicat lucrările în 1647 ; iar Cavalieri a publicat lucrările sale în 1635 , iar o versiune revizuită în 1653 . Cavalieri a folosit coordonatele polare pentru a calcula aria delimitată de spirala lui Arhimede. Blaise Pascal a folosit ulterior coordonatele polare pentru a calcula lungimile arcurilor parabolice .

În Metoda Fluxiunilor, scrisă în 1671 , tipărită în 1736, Sir Isaac Newton a explorat transformarea dintre coordonatele polare, pe care le-a desemnat „A șaptea cale; Pentru Spirale ” (“ Seventh Manner; For Spirals ”) și alte nouă sisteme de coordonate [6] . Într-un articol publicat în 1691 în revista Acta eruditorum , Jacob Bernoulli a folosit un sistem cu un punct pe o dreaptă, pe care l-a numit pol și, respectiv, axa polară. Coordonatele au fost date ca distanță față de pol și unghi față de axa polară. Lucrarea lui Bernoulli a fost dedicată problemei găsirii razei de curbură a curbelor definite în acest sistem de coordonate.

Introducerea termenului „coordonate polare” este creditată lui Gregorio Fontana . În secolul al XVIII-lea, a fost inclus în lexiconul autorilor italieni. Termenul a venit în engleză prin traducerea tratatului lui Sylvester Lacroix „Calcul diferențial și integral”, realizat în 1816 de George Peacock [7] [8] Pentru spațiul tridimensional, coordonatele polare au fost propuse pentru prima dată de Alexi Clairaut și Leonard Euler . a fost primul care a dezvoltat sistemul corespunzător [ 5] .

Reprezentare grafică

Fiecare punct din sistemul de coordonate polare poate fi definit de două coordonate polare, care sunt de obicei numite (coordonată radială, există o variantă de desemnare ) și (coordonată unghiulară, unghi polar, unghi de fază, azimut, unghi de poziție , uneori scris sau ). Coordonata corespunde distanței de la punct la centrul sau polul sistemului de coordonate, iar coordonata este egală cu unghiul numărat în sens invers acelor de ceasornic de la fascicul la 0° (uneori numită axa polară a sistemului de coordonate) [1] . $r$ $\rho$ $\varphi$ $\theta$ $t$ $r$ $\varphi$

Raza polară este definită pentru orice punct al planului și ia întotdeauna valori nenegative . Unghiul polar este definit pentru orice punct din plan, cu excepția polului , și preia valorile . Unghiul polar se măsoară în radiani și se măsoară de pe axa polară: $r\geqslant 0$ $\varphi$ $O$ $-\pi <\varphi \leqslant \pi$

în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic) dacă valoarea unghiului este pozitivă;
în sens negativ (sensul acelor de ceasornic) dacă valoarea unghiului este negativă.

De exemplu, un punct cu coordonate va apărea pe grafic ca un punct pe o rază care se află la un unghi de 60° față de axa polară, la o distanță de 3 unități de pol. Punctul cu coordonatele va fi desenat în același loc. $(3,\;60^{\circ })$ $(3,\;-300^{\circ })$

Una dintre caracteristicile importante ale sistemului de coordonate polare este că același punct poate fi reprezentat într-un număr infinit de moduri. Acest lucru se datorează faptului că pentru a determina azimutul unui punct, trebuie să rotiți axa polară astfel încât să indice punctul. Dar direcția către punct nu se va schimba dacă se efectuează un număr arbitrar de ture complete suplimentare. În cazul general, un punct poate fi reprezentat ca sau , unde este un întreg arbitrar [9] . $(r,\;\varphi )$ $(r,\;\varphi \pm n\times 360^{\circ })$ $(-r,\;\varphi \pm (2n+1)\times 180^{\circ })$ $n$

Coordonatele sunt folosite pentru a desemna polul . Indiferent de coordonată , un punct cu distanța zero față de pol este întotdeauna situat pe acesta [10] . Pentru a obține coordonate clare ale punctului, de obicei ar trebui să limiteze valoarea distanței la valori nenegative și unghiul față de interval sau (în radiani sau ) [11] . $(0,\;\varphi )$ $\varphi$ $r\geqslant 0$ $\varphi$ $[0,\;360^{\circ })$ $(-180^{\circ },\;180^{\circ }]$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Unghiurile în coordonate polare sunt specificate fie în grade, fie în radiani, cu . Alegerea depinde de obicei de aplicație. Navigația folosește în mod tradițional grade , în timp ce unele ramuri ale fizicii și aproape toate ramurile matematicii folosesc radiani [12] . $2\pi \;{\mathrm {RAD}}=360^{\circ }$

Relația dintre coordonatele carteziene și cele polare

O pereche de coordonate polare și poate fi convertită în coordonate carteziene și prin aplicarea funcțiilor trigonometrice de sinus și cosinus (se presupune că raza zero a sistemului de coordonate polare coincide cu axa sistemului cartezian): $r$ $\varphi$ $X$ $y$ $X$

x=r\cos \varphi ,

y=r\sin \varphi ,

în timp ce cele două sunt coordonate carteziene și pot fi convertite într-o coordonată polară : $X$ $y$ $r$

r^{2}=y^{2}+x^{2}

(prin teorema lui Pitagora ).

Pentru a determina coordonatele unghiulare , trebuie luate în considerare următoarele două considerații: $\varphi$

Pentru , poate fi un număr real arbitrar. ${r\equiv 0}$ $\varphi$
Pentru ca, pentru a obține o valoare unică , ar trebui să vă limitați la un interval de . De obicei alegeți interval sau . $r\neq 0$ $\varphi$ $2\pi$ $[0,\;2\pi )$ $(-\pi ,\;\pi ]$

Pentru a calcula în intervalul , puteți utiliza următoarele ecuații ( indică funcția inversă tangentei): $\varphi$ $[0,\;2\pi )$ $\mathrm{arctg}$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)),&x>0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y }{x)))+2\pi ,&x>0,y<0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)))+\pi ,&x<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\{\frac {3\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end { cazuri}}

Pentru a calcula în intervalul , puteți folosi următoarele ecuații: [13] $\varphi$ $(-\pi ,\;\pi ]$

\varphi ={\begin{cases}\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x))),&x>0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x} })+\pi ,&x<0,y\geq 0\\\operatorname {arctg} ({\frac {y}{x)))-\pi ,&x<0,y<0\\{\frac { \pi }{2)),&x=0,y>0\\-{\frac {\pi }{2)),&x=0,y<0\\-&x=0,y=0\end{ cazuri}}

Având în vedere că pentru a calcula unghiul polar nu este suficient să cunoaștem relația cu , și sunt necesare și semnele unuia dintre aceste numere, multe dintre limbajele de programare moderne au printre funcțiile lor, pe lângă funcția care determină arc tangentă a numărului, de asemenea, o funcție suplimentară , care are argumente separate pentru numărător și numitor. În limbajele de programare care acceptă argumente opționale (cum ar fi Common Lisp ), o funcție poate lua o valoare de coordonată . Cu toate acestea, se poate observa că, indiferent de semnele coordonatelor carteziene, derivatele parțiale ale unghiului față de acestea sunt calculate destul de simplu, datorită cărora obținem matrici iacobiene convenabile: $y$ $X$ atanatan2atan $X$

$J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi )))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{ \partial r))&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi ))\\{\dfrac {\partial y}{\partial r))&{\dfrac {\partial y}{\partial \ varphi }}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&-r\sin(\varphi )\\\sin(\varphi )&r\cos(\varphi )\end{vmatrix }}.$

$J^{-1}=\det {\frac {\partial (r,\;\varphi )}{\partial (x,\;y)))={\begin{vmatrix}{\dfrac { \partial r}{\partial x))&{\dfrac {\partial r}{\partial y))\\{\dfrac {\partial \varphi }{\partial x))&{\dfrac {\partial \ varphi }{\partial y}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos(\varphi )&\sin(\varphi )\\-{\dfrac {1}{r}}\sin( \varphi )&{\dfrac {1}{r}}\cos(\varphi )\end{vmatrix}}.$

Ecuația curbelor în coordonate polare

Datorită naturii radiale a sistemului de coordonate polare, unele curbe pot fi descrise destul de simplu printr-o ecuație polară, în timp ce o ecuație într-un sistem de coordonate dreptunghiular ar fi mult mai complicată. Printre cele mai cunoscute curbe se numără trandafirul polar , spirala arhimediană , lemniscatele , melcul lui Pascal și cardioidul .

Cercul

Ecuația generală a unui cerc cu centrul la ( ) și raza este: $r_{0},\;\theta$ $A$

r^{2}-2rr_{0}\cos(\varphi -\theta )+r_{0}^{2}=a^{2}.

Această ecuație poate fi simplificată pentru cazuri speciale, de exemplu

r(\varphi )=a

este o ecuație care definește un cerc centrat la pol și cu rază [14] . $A$

Direct

Liniile radiale (cele care trec prin pol) sunt definite de ecuație

\varphi=\theta

unde este unghiul cu care linia dreaptă se abate de la axa polară, adică , unde este panta dreptei într-un sistem de coordonate dreptunghiular. O linie neradială care intersectează perpendicular o linie radială într-un punct este dată de ecuație $\theta$ $\theta ={\mathrm {arctg}}\,m$ $m$ $\varphi=\theta$ $(r_{0},\;\theta )$

r(\varphi )=r_{0}\sec(\varphi -\theta).

Trandafir polar

Trandafirul polar este o curbă matematică binecunoscută care arată ca o floare cu petale. Poate fi determinat printr-o ecuație simplă în coordonate polare:

r(\varphi )=a\cos(k\varphi +\theta _{0})

pentru o constantă arbitrară (inclusiv 0). Dacă este un număr întreg, atunci această ecuație va determina un trandafir cu petale pentru impar sau cu petale pentru par . Dacă este un număr rațional, dar nu întreg, graficul dat de ecuație va forma o formă asemănătoare cu un trandafir, dar petalele se vor suprapune. Dacă - irațional, atunci trandafirul constă dintr-un număr infinit de petale parțial suprapuse. Trandafirii cu 2, 6, 10, 14, etc. petale nu pot fi determinați prin această ecuație. Variabila determină lungimea petalelor. $\theta _{0}$ $k$ $k$ $k$ $2k$ $k$ $k$ $k$ $A$

Dacă presupunem că raza nu poate fi negativă, atunci pentru orice natural vom avea un trandafir petală. Deci ecuația va defini un trandafir cu două petale. Din punct de vedere geometric, raza este distanța de la pol la punct și nu poate fi negativă. $k$ $k$ $r(\varphi )=\cos(2\varphi )$

Spirala lui Arhimede

Spirala arhimedeană este numită după inventatorul ei, matematicianul grec antic Arhimede . Această spirală poate fi definită folosind o ecuație polară simplă:

r(\varphi )=a+b\varphi .

Modificările parametrului duc la rotația helixului, iar modificarea parametrului duce la distanța dintre spire, care este o constantă pentru o anumită helix. Spirala lui Arhimede are două ramuri, una pentru și cealaltă pentru . Cele două ramuri se unesc lin la stâlp. Oglindirea unei ramuri în raport cu o linie dreaptă care trece printr-un unghi de 90°/270° va produce o altă ramură. Această curbă este interesantă deoarece a fost una dintre primele descrise în literatura de matematică, după secțiunea conică , și este mai bine decât altele că este determinată de ecuația polară. $A$ $b$ $\varphi >0$ $\varphi<0$

Secțiuni conice

O secțiune conică cu unul dintre focare la pol și celălalt undeva pe axa polară (astfel încât semiaxa majoră să se afle de-a lungul axei polare) este dată de:

r={\frac {\ell }{1-e\cos \varphi }}

unde este excentricitatea și este parametrul focal. Dacă , această ecuație definește o hiperbolă; dacă , atunci o parabolă; dacă , atunci o elipsă. Un caz special este , care definește un cerc cu rază . $e$ $\ell$ $e>1$ $e=1$ $e<1$ $e=0$ $\ell$

Numere complexe

Fiecare număr complex poate fi reprezentat printr-un punct pe plan complex și, în consecință, acest punct poate fi definit în coordonate carteziene (forma dreptunghiulară sau carteziană) sau în coordonate polare (forma polară). Un număr complex poate fi scris sub formă dreptunghiulară astfel: $z$

z=x+iy

unde este unitatea imaginară sau în polară (vezi formulele de conversie între sistemele de coordonate de mai sus): $i$

z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )

si de aici:

z=re^{i\varphi }

unde este numărul Euler . Datorită formulei lui Euler , ambele reprezentări sunt echivalente [15] (În această formulă, ca și alte formule care conțin exponențiarea unghiurilor, unghiul este dat în radiani) $e$ $\varphi$

Pentru a schimba între reprezentarea dreptunghiulară și cea polară a numerelor complexe, pot fi utilizate formulele de conversie de mai sus între sistemele de coordonate.

Înmulțirea, împărțirea și exponențiarea cu numere complexe sunt în general mai ușor de făcut în formă polară. Conform regulilor de exponentiare:

Multiplicare:

r_{0}e^{{i\varphi _{0}}}\cdot r_{1}e^{{i\varphi _{1}}}=r_{0}r_{1}e^{{i (\varphi _{0}+\varphi _{1})}}.

Divizia:

{\frac {r_{0}e^{{i\varphi _{0)))){r_{1}e^{{i\varphi _{1))))}={\frac {r_{0 }}{r_{1}}}e^{{i(\varphi _{0}-\varphi _{1})}}.

Exponentiație ( formula lui De Moivre ):

(re^{{i\varphi }})^{n}=r^{n}e^{{{in\varphi }}.

În analiza matematică

Operațiile de analiză matematică pot fi formulate și folosind coordonatele polare [16] [17] .

Calcul diferențial

Următoarele formule sunt valabile:

r{\frac {\partial }{\partial r))=x{\frac {\partial }{\partial x))+y{\frac {\partial }{\partial y)),

{\frac {\partial }{\partial \varphi ))=-y{\frac {\partial }{\partial x))+x{\frac {\partial }{\partial y)).

Pentru a găsi tangentei pantei tangentei la orice punct dat al curbei polare în coordonate carteziene, le exprimăm printr-un sistem de ecuații într-o formă parametrică: $r(\varphi )$

x=r(\varphi )\cos \varphi ,

y=r(\varphi )\sin \varphi .

Diferențiând ambele ecuații în raport cu obținem: $\varphi$

{\frac {dx}{d\varphi }}=r'(\varphi )\cos \varphi -r(\varphi )\sin \varphi ,

{\frac {dy}{d\varphi }}=r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi .

Împărțind aceste ecuații (a doua la prima), obținem tangenta dorită a pantei tangentei în sistemul de coordonate carteziene în punctul : $(r,\;r(\varphi ))$

{\frac {dy}{dx}}={\frac {r'(\varphi )\sin \varphi +r(\varphi )\cos \varphi }{r'(\varphi )\cos \varphi -r( \varphi )\sin \varphi }}.

Calcul integral

Fie regiunea formată de curba polară și razele și , unde . Atunci aria acestei regiuni este o integrală definită : $R$ $r(\varphi )$ $\varphi=a$ $\varphi=b$ $0<ba<2\pi$

{\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Un astfel de rezultat poate fi obținut după cum urmează. În primul rând, împărțim intervalul într-un număr arbitrar de subintervale . Astfel, lungimea unui astfel de subinterval este (lungimea totală a intervalului) împărțită la (numărul de subintervale). Fie punctul de mijloc pentru fiecare subinterval. Să construim sectoare cu centrul la pol, razele , unghiurile centrale și lungimea arcului . Prin urmare, aria fiecărui astfel de sector va fi . Prin urmare, suprafața totală a tuturor sectoarelor: $[a,\;b]$ $n$ $\Delta \varphi$ $ba$ $n$ $i=1,\;2,\;\ldots ,\;n$ $\varphi _{i}$ $r(\varphi _{i})$ $\Delta \varphi$ $r(\varphi _{i})\Delta \varphi$ ${\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\Delta \varphi$

\sum _{{i=1}}^{n}{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{2}\,\Delta \varphi .

Dacă numărul de subintervale este crescut, atunci eroarea unei astfel de expresii aproximative va scădea. Prin setarea , suma rezultată va deveni integrală. Limita acestei sume la este determinată de integrala descrisă mai sus: $n$ $n\la\infty$ $\Delta \varphi \to 0$

\lim _{{\Delta \varphi \to 0}}\sum _{{i=1}}^{\infty }{\frac {1}{2}}r(\varphi _{i})^{ 2}\,\Delta \varphi ={\frac {1}{2}}\int \limits _{a}^{b}[r(\varphi )]^{2}\,d\varphi .

Generalizare

Folosind coordonatele carteziene, aria unui element infinitezimal poate fi calculată ca . Când treceți la un alt sistem de coordonate în integrale multiple, este necesar să folosiți determinantul Jacobi : $dA=dx\,dy$

J=\det {\frac {\partial (x,\;y)}{\partial (r,\;\varphi ))))={\begin{vmatrix}{\dfrac {\partial x}{\partial r }}&{\dfrac {\partial x}{\partial \varphi }}\\{\dfrac {\partial y}{\partial r}}&{\dfrac {\partial y}{\partial \varphi }} \end{vmatrix}}.

Pentru un sistem de coordonate polare, determinantul matricei Jacobi este : $r$

J={\begin{vmatrix}\cos \varphi &-r\sin \varphi \\\sin \varphi &r\cos \varphi \end{vmatrix}}=r\cos ^{2}\varphi +r\sin ^{2}\varphi =r.

Prin urmare, aria elementului în coordonate polare poate fi scrisă după cum urmează:

dA=J\,dr\,d\varphi =r\,dr\,d\varphi .

Acum, o funcție scrisă în coordonate polare poate fi integrată după cum urmează:

\iint \limits _{R}f(r,\;\varphi )\,dA=\int \limits _{a}^{b}\int \limits _{0}^{{r(\varphi )} }f(r,\;\varphi )\,r\,dr\,d\varphi .

Aici aria , ca și în secțiunea anterioară, este cea formată din curba polară și razele și . $R$ $r(\varphi )$ $\varphi=a$ $\varphi=b$

Formula de calcul a suprafeței, descrisă în secțiunea anterioară, se obține în cazul . Un rezultat interesant al aplicării formulei pentru integrale multiple este integrala Euler-Poisson : $f=1$

\int \limits _{{-\infty }}^{\infty }e^{{-x^{2}}}\,dx={\sqrt \pi }.

Analiza vectoriala

Pentru coordonatele polare, pot fi aplicate elemente de analiză vectorială . Orice câmp vectorial dintr-un spațiu (plan) bidimensional poate fi scris într-un sistem de coordonate polare folosind vectori unitari : $\mathbf {F}$

{\mathbf {e}}_{r}=(\cos \varphi ,\;\sin \varphi )

în direcţia şi $\mathbf {r}$

{\mathbf {e))_{\varphi }=(-\sin \varphi ,\;\cos \varphi );

{\mathbf {F}}=F_{r}{\mathbf {e}}_{r}+F_{\varphi }{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Legătura dintre componentele carteziene ale câmpului și componentele sale din sistemul de coordonate polar este dată de ecuațiile: $F_{x}$ $F_{y}$

F_{x}=F_{r}\cos \varphi -F_{\varphi }\sin \varphi ;

F_{y}=F_{r}\sin \varphi +F_{\varphi }\cos \varphi .

În consecință, operatorii de analiză vectorială sunt definiți în sistemul de coordonate polare. De exemplu, gradientul unui câmp scalar se scrie: $\Phi (r,\;\varphi )$

{\mathrm {grad}}\,\Phi ={\frac {\partial \Phi }{\partial r}}{\mathbf {e}}_{r}+{\frac {1}{r}}{ \frac {\partial \Phi }{\partial \varphi }}{\mathbf {e}}_{\varphi }.

Toate acestea funcționează cu excepția unui singur punct - polul, pentru care nu este definit, iar baza vectorială descrisă mai sus nu poate fi construită în acest fel în acest punct. Acest lucru trebuie avut în vedere, deși în practică câmpurile vectoriale studiate cu ajutorul coordonatelor polare deseori fie au ele însele o singularitate în acest punct, fie sunt egale cu zero la acesta, ceea ce facilitează oarecum problema. În plus, utilizarea coordonatelor polare nu complică în niciun fel expresia unui câmp vectorial arbitrar apropiat arbitrar de acest punct. $\varphi$

Extindere 3D

Sistemul de coordonate polar este extins în a treia dimensiune prin două sisteme: cilindric și sferic, ambele conținând sistemul de coordonate polar bidimensional ca submulțime. În esență, sistemul cilindric extinde sistemul polar adăugând încă o coordonată de distanță, în timp ce sistemul sferic adaugă o altă coordonată unghiulară.

Coordonate cilindrice

Sistemul de coordonate cilindrice, aproximativ vorbind, extinde sistemul polar plat prin adăugarea unei a treia coordonate liniare, numită „înălțime” și egală cu înălțimea unui punct deasupra planului zero, similar cu modul în care sistemul cartezian este extins la cazul celor trei. dimensiuni. A treia coordonată este de obicei notată ca , formând o triadă de coordonate . $z$ $(\rho ,\;\varphi ,\;z)$

Triplul coordonatelor cilindrice poate fi convertit în sistemul cartezian prin următoarele transformări:

{\begin{cases}x=\rho \cos \varphi ;\\y=\rho \sin \varphi ;\\z=z.\end{cases))

Coordonate sferice

De asemenea, coordonatele polare pot fi extinse la trei dimensiuni prin adăugarea unei coordonate unghiulare egală cu unghiul de rotație din axa verticală (numită zenit sau latitudine, valorile sunt în intervalul de la 0 la 180 °). Adică, coordonatele sferice sunt trei , unde este distanța de la centrul coordonatelor, este unghiul față de axă (ca în coordonatele polare plate), este latitudinea. Sistemul de coordonate sferice este similar cu sistemul de coordonate geografice pentru determinarea unui loc de pe suprafața Pământului, unde originea coincide cu centrul Pământului, latitudinea este complementul și este egală cu , iar longitudinea este calculată prin formula [ 18] . $\theta$ $z$ $(r,\;\varphi,\;\theta)$ $r$ $\varphi$ $X$ $\theta$ $\delta$ $\theta$ $\delta =90^{\circ }-\theta$ $l$ $l=\varphi -180^{\circ }$

Triplul coordonatelor sferice poate fi convertit în sistemul cartezian prin următoarele transformări:

{\begin{cases}x=r\sin \theta \cos \varphi ;\\y=r\sin \theta \sin \varphi ;\\z=r\cos \theta .\end{cases))

Generalizare la n dimensiuni

Sistemul de coordonate polare poate fi extins la cazul spațiului -dimensional. Fie , să fie vectori de coordonate ai sistemului de coordonate dreptunghiular -dimensional. Coordonatele necesare în sistemul polar dimensional pot fi introduse ca unghi de abatere a vectorului față de axa de coordonate . $n$ $x_{i}\în {\mathbb {R}}$ $i=1,\;\ldots ,\;n$ $n$ $n$ $x\in {\mathbb {R}}^{n}$ $x_{{i+2}}$

Pentru a converti coordonatele polare dimensionale generalizate în carteziene, puteți utiliza următoarele formule: $n$

{\begin{array}{lcr}x_{1}&=&r\cos \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3)) \sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{2}&=&r\sin \varphi \sin \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{3}&=&r\cos \vartheta _{1}\sin \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{4}&=&r\cos \vartheta _{2}\ldots \sin \vartheta _{{n-3 }}\sin \vartheta _{{n-2}};\\\ldots &\ldots &\ldots \qquad \qquad \qquad \\x_{{n-1}}&=&r\cos \vartheta _{ {n-3}}\sin \vartheta _{{n-2}};\\x_{n}&=&r\cos \vartheta _{{n-2}}.\end{array}}

După cum se poate arăta, cazul corespunde sistemului obișnuit de coordonate polare pe plan și sistemului obișnuit de coordonate sferice. $n=2$ $n=3$

Jacobianul pentru convertirea coordonatelor polare în coordonate carteziene este dat de:

\det {\frac {\partial (x_{1},\;\ldots ,\;x_{n})}{\partial (r,\;\varphi ,\;\vartheta _{1}, \;\ldots ,\;\vartheta _{n-2})}}=r^{n-1}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{n-2})^{n-2}

unde elementul de volum -dimensional are forma: $n$

dV=r^{{n-1}}\sin \vartheta _{1}(\sin \vartheta _{2})^{2}\ldots (\sin \vartheta _{{n-2}})^ {{n-2}}\,dr\,d\varphi \,d\vartheta _{1}\ldots d\vartheta _{{n-2}}=

=r^{{n-1}}\,dr\,d\varphi \prod \limits _{{j=1}}^{{n-2}}(\sin \vartheta _{j})^{ j}\,d\vartheta _{j}.

Aplicație

Sistemul de coordonate polare este bidimensional și, prin urmare, poate fi utilizat numai în cazurile în care locația punctului este determinată pe un plan sau în cazul omogenității proprietăților sistemului în a treia dimensiune, de exemplu, atunci când se consideră un flux într-o țeavă rotundă. Cel mai bun context pentru utilizarea coordonatelor polare este în cazurile care sunt strâns legate de direcția și distanța față de un anumit centru. De exemplu, exemplele de mai sus arată că ecuațiile simple în coordonate polare sunt suficiente pentru a defini curbe precum spirala arhimediană, ale cărei ecuații în coordonate dreptunghiulare sunt mult mai complicate. În plus, multe sisteme fizice - cele care conțin corpuri care se mișcă în jurul unui centru sau fenomene care se propagă dintr-un anumit centru - sunt mult mai ușor de modelat în coordonate polare. Motivul creării sistemului de coordonate polare a fost studiul mișcării orbitale și circulare, mai târziu s-a dovedit că uneori este extrem de convenabil pentru studiul mișcării non-circulare (vezi problema Kepleriană ).

Poziționare și navigare

Sistemul de coordonate polare este adesea folosit în navigație , deoarece o destinație poate fi specificată ca distanța și direcția de călătorie de la punctul de plecare. De exemplu, în aviație, pentru navigație este utilizată o versiune ușor modificată a coordonatelor polare. În acest sistem, utilizat în mod obișnuit pentru navigație, fasciculul de 0° este denumit direcția 360, iar unghiurile sunt măsurate în sensul acelor de ceasornic. Direcția 360 corespunde nordului magnetic, iar direcțiile 90, 180 și 270 corespund estului, sudului și vestului magnetic [19] . Astfel, o aeronavă care zboară 5 mile marine spre est poate fi descrisă ca o aeronavă care zboară 5 unități în direcția 90 (controlul misiunii îl va numi nin-zero) [20] .

Aplicații în fizică

Sistemele cu simetrie radială sunt foarte potrivite pentru a fi descrise în coordonate radiale, unde polul sistemului de coordonate coincide cu centrul de simetrie. Un exemplu este ecuația debitului apei subterane în cazul puțurilor simetrice radial. Sistemele cu forțe centrale sunt, de asemenea, potrivite pentru modelarea în coordonate polare. Astfel de sisteme includ câmpuri gravitaționale care se supun legii dependenței de inversul pătratului și, în general, forțe centrale. De asemenea, coordonatele polare oferă o comoditate semnificativă atunci când se lucrează cu sisteme care au surse de energie punctuale (sau aproximativ punctuale), cum ar fi antenele radio - atunci când se studiază radiația acestora la distanțe relativ mari de antenă, propagarea sunetului sau a luminii - în special (dar nu neapărat) simetric sferic sau cilindric. În anumite probleme, inclusiv cele menționate mai sus, utilizarea coordonatelor sferice sau cilindrice (care sunt naturale pentru aceste probleme) se reduce în esență la utilizarea doar a coordonatelor polare bidimensionale.

Coordonatele polare, atât pentru calcule, cât și pentru vizualizarea rezultatelor acestora, sunt destul de utile nu numai în cazurile în care simetria problemei este în general apropiată de axială sau sferică, ci și în cazurile în care simetria este clar departe de aceasta, de exemplu, calculați dipolul câmpului . În acest caz, utilizarea coordonatelor polare este motivată de dimensiunea mică a sursei de câmp (sarcinele dipolului sunt situate foarte aproape una de cealaltă), în plus, câmpul fiecărei astfel de sarcini este pur și simplu exprimat în coordonate polare, mai ales daca asezi stalpul intr-una din aceste incarcari (câmpul celui de-al doilea va fi diferit, cu exceptia semnului, doar printr-o mica corectie).

În mecanică și chimie cuantică, coordonatele polare (împreună cu coordonatele sferice pentru cazuri mai complexe) sunt folosite pentru a descrie dependența unghiulară a funcției de undă a unui electron dintr-un atom, inclusiv în scopul analizei calitative și al clarității în predare.

Aplicații, modele de radiații

În diferite domenii aplicate, coordonatele polare sunt utilizate atât în moduri apropiate de cele utilizate în domeniile corespunzătoare ale fizicii fundamentale, cât și într-un mod independent.

Modelarea 3D a sunetului difuzoarelor poate fi utilizată pentru a prezice performanța acestora. Este necesar să se facă mai multe diagrame în coordonate polare pentru o gamă largă de frecvențe, deoarece partea frontală variază semnificativ cu frecvența sunetului. Diagramele polare vă ajută să vedeți că multe difuzoare care funcționează în jos își pierd direcționalitatea. În cazul unui radiator cu simetrie axială strictă sau care se abate ușor de la acesta, este suficient să se utilizeze coordonate polare nu sferice, ci obișnuite (bidimensionale), deoarece în toate planurile care trec prin axa de simetrie, dependența va fi la fel sau aproape la fel. Dacă nu există o astfel de simetrie, atunci o pereche (pentru fiecare frecvență) de diagrame polare în planuri perpendiculare, pentru un radiator eliptic sau dreptunghiular, conectat cu axele sale principale, poate oferi o idee despre fluxul sunetului în direcții diferite.

În coordonatele polare, se obișnuiește, de asemenea, să se reprezinte caracteristica de directivitate a microfoanelor , determinată de raportul de sensibilitate atunci când o undă sonoră cade la un unghi față de axa acustică a microfonului față de sensibilitatea sa axială.

În principiu, diagramele polare pot fi folosite pentru a reprezenta aproape orice relație. Dar, în practică, acest tip de reprezentare este de obicei ales în cazurile în care depinde de direcția geometrică reală (vezi, de exemplu , Roza vântului , Diagrama de dispersie , dependența fluxului de lumină reflectat de unghiul în fotometrie , modelul de radiație al antenelor, LED-uri și alți emițători de lumină, fotosenzori, sisteme acustice etc.). De asemenea, este destul de comun să întâlniți utilizarea coordonatelor polare în cazurile în care una dintre variabile are natură ciclică (în coordonatele polare este destul de natural să o reprezentăm ca unghi).

Se pot aplica și domenii care nu au legătură directă cu fizica (deși uneori se poate urmări o analogie mai mult sau mai puțin directă în acest sens), de exemplu, diagramele polare similare cu roza vânturilor pot fi folosite, de exemplu, pentru a studia direcțiile animalelor. migraţiile. O astfel de utilizare este destul de convenabilă și vizuală.

Vezi și

Sisteme de coordonate în matematica elementară

Note

↑ 1 2 Brown, Richard G. Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis / Andrew M. Gleason. Evanston, Illinois: McDougal Littell, 1997. - ISBN 0-395-77114-5 .
↑ Friendly, Michael Milestones in the History of Thematic Cartography, Statistical Graphics, and Data Visualization (link nu este disponibil) . Consultat la 10 septembrie 2006. Arhivat din original pe 26 aprilie 2001. (nedefinit)
↑ T. Koetsier, L. Bergmans (2005), Mathematics and the Divine , Elsevier , p. 169, ISBN 0444503285
↑ David A. King (1996), „Astronomy and Islamic society: Qibla, gnomics and timekeeping”, în Roshdi Rashed (ed.), Encyclopedia of the History of Arabic Science , vol. 1, pp. 128-184 [153], Routledge, Londra și New York
↑ 1 2 Coolidge, Julian Originea coordonatelor polare (engleză) // American Mathematical Monthly : jurnal. - 1952. - Vol. 59 . - P. 78-85 . - doi : 10.2307/2307104 .
↑ Boyer, C. B. Newton ca originator al coordonatelor polare // American Mathematical Monthly : jurnal . - 1949. - Vol. 56 . - P. 73-78 . - doi : 10.2307/2306162 .
↑ Miller, Jeff Cele mai vechi utilizări cunoscute ale unora dintre cuvintele matematicii . Consultat la 10 septembrie 2006. Arhivat din original pe 15 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Smith, David Eugene. Istoria matematicii, Vol II (nedefinit) . - Boston: Ginn and Co., 1925. - P. 324.
↑ Polar Coordinates and Graphing (PDF) (link indisponibil) ( 2006-04-13 ). Data accesului: 22 septembrie 2006. Arhivat din original la 15 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Lee, Theodore; David Cohen, David Sklar. Precalcul: cu trigonometrie unitate-cerc . - A patra editie. — Thomson Brooks/Cole, 2005. — ISBN 0534402305 .
↑ Stewart, Ian; David Tall. Analiza complexă (Ghidul autostopiștilor în avion ) . - Cambridge University Press , 1983. - ISBN 0521287634 .
↑ Serway, Raymond A.; Jewett, Jr., John W. Principles of Physics (nespecificat) . — Brooks/Cole—Thomson Learning, 2005. — ISBN 0-534-49143-X .
↑ Torrence, Bruce Follett; Eve Torrence. Introducerea elevului în Mathematica® . - Cambridge University Press , 1999. - ISBN 0521594618 .
↑ Claeys, Johan Coordonatele polare (link nu este disponibil) . Consultat la 25 mai 2006. Arhivat din original pe 15 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Smith, Julius O. Euler's Identity // Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT ) . - Editura W3K, 2003. - ISBN 0-9745607-0-7 .
↑ Husch, Lawrence S. Areas Bounded by Polar Curves (link indisponibil) . Consultat la 25 noiembrie 2006. Arhivat din original la 11 octombrie 2014. (nedefinit)
↑ Lawrence S. Husch. Linii tangente la graficele polare (link indisponibil) . Consultat la 25 noiembrie 2006. Arhivat din original pe 2 iulie 2015. (nedefinit)
^ Wattenberg , Frank Spherical Coordinates (link indisponibil) (1997). Consultat la 16 septembrie 2006. Arhivat din original pe 15 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Santhi, Sumrit Aircraft Navigation System (link indisponibil) . Consultat la 26 noiembrie 2006. Arhivat din original pe 15 februarie 2012. (nedefinit)
↑ Proceduri de urgență (PDF). Data accesului: 15 ianuarie 2007. Arhivat din original la 15 februarie 2012. (nedefinit)

Literatură

Gel'fand I. M., Glagoleva E. G., Kirillov A. A. Metoda coordonatelor. (link inaccesibil) Ediția a cincea, stereotipă. Seria: Biblioteca Școlii de Fizică și Matematică. Matematica. Numărul 1. M.: Nauka, 1973, p. 47-50.

Link -uri

Programe pentru desenarea graficelor la Curlie Link Directory (dmoz)

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Britannica (online) Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	GND : 4323692-3

Sisteme de coordonate
Numele coordonatelor	Abscisă Ordonată Aplicație
Tipuri de sisteme de coordonate	Sistem de coordonate rectiliniu Sistem de coordonate curbiliniu
Coordonate 2D	Coordonate biunghiulare Coordonate bicentrice Coordonate hiperbolice Coordonate polare Coordonate bipolare Coordonate parabolice Coordonate eliptice Coordonate tetraciclice Coordonate triliniare
Coordonatele 3D	Coordonate cilindrice Coordonate sferice Coordonatele bisferice Coordonatele toroidale Coordonate parabolice cilindrice Coordonate bicilindrice Coordonate elipsoidale Coordonate conice Coordonatele pentasferice Sistemul de coordonate dipolar
$n$ -coordonate dimensionale	coordonate carteziene Coordonate afine Coordonate proiective Coordonatele Plücker coordonate baricentrice
Coordonatele fizice	Coordonatele Rindler Coordonate născute Sistemul de coordonate ceresc Coordonatele geografice Sistemul de coordonate ortodomic principal
Definiții înrudite	Metoda coordonatelor Origine Axa de coordonate Vector Orth sistem de referință Benchmark Coeficienți lame Tensor metric