Formula lui Euler

Formula lui Euler leagă exponentul complex cu funcțiile trigonometrice . Numit după Leonhard Euler , care l-a prezentat.

Formula lui Euler afirmă că pentru orice număr real este valabilă următoarea egalitate: $X$

e^{ix}=\cos x+i\sin x

unde este una dintre cele mai importante constante matematice , definită prin următoarea formulă: , $e$ $e=\lim _{x\la \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}$

i

este unitatea imaginară .

Istorie

Formula lui Euler a fost citată pentru prima dată într-un articol de către matematicianul englez Roger Cotes ( asistentul lui Newton ) „Logometria” ( lat. Logometria ), publicat în revista „ Philosophical Transactions of the Royal Society ” în 1714 [1] și retipărit în cartea „ Armonia măsurilor” ( lat. Harmonia mensurarum ), care a fost publicată în 1722, după moartea autorului [2] . Kots a citat-o ca o mică propoziție printre multe construcții geometrice, care, după ce a fost tradusă în limbajul matematic modern și a corectat o eroare în semn, are forma [3] :

\ln(\cos x+i\sin x)=ix

Euler a publicat formula în forma ei obișnuită într-un articol din 1740 și în cartea „Introduction to the analysis of infinitezimals” ( lat. Introductio in analysin infinitorum ) ( 1748 ) [4] , construind demonstrația asupra egalității serii infinite de puteri. expansiuni ale părților din dreapta și din stânga. Nici Euler, nici Kots nu și-au imaginat o interpretare geometrică a formulei: conceptul de numere complexe ca puncte pe plan complex a apărut aproximativ 50 de ani mai târziu cu K. Wessel .

Formule derivate

Folosind formula Euler, puteți defini funcțiile și după cum urmează: $\păcat$ $\cos$

\sin x={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2i}}

{\textstyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}

În plus, putem introduce conceptul de funcții trigonometrice ale unei variabile complexe. Lasă atunci: $x=iy$

\sin iy={\frac {e^{{-y}}-e^{y}}{2i}}=i{\mathop {{\mathrm {sh}}}}\,y

\cos iy={\frac {e^{{-y}}+e^{y}}{2}}={\mathop ({\mathrm {ch}}}}\,y

Cunoscuta identitate Euler , care raportează cinci constante matematice fundamentale:

e^{{i\pi }}+1=0

este un caz special al formulei Euler pentru . $x=\pi$

Aplicații în teoria numerelor

În teoria analitică a numerelor , sunt adesea luate în considerare sume speciale ale formei , unde este un anumit set de obiecte luat în considerare și este o funcție care reflectă proprietățile studiate ale obiectelor. $\sum \limits _{x\in X}{e^{2\pi if(x)))$ $X$ $f:\ X\to {\mathbb {R} }$

Pentru teoria numerelor, care studiază numerele întregi , identitățile de indicator derivate din formula lui Euler referitoare la un întreg arbitrar sunt de importanță primordială . $n$

\sum \limits _{k=1}^{p}{e^{2\pi {\frac {nk}{p}}i}}=p[p|n]=\left\{{ \begin{matrix}p,&n\equiv 0{\pmod {p}}\\0,&n\nu \equiv 0{\pmod {p}}\end{matrix}}\right.

\int \limits _{0}^{1}{e^{2\pi n\alpha i}}=[n=0]=\left\{{\begin{matrix}1,&n=0 \\0,&n\not =0\end{matrice}}\dreapta.

Aplicație în analiza complexă

Datorită formulei lui Euler, a apărut așa-numita înregistrare trigonometrică și exponențială a unui număr complex :. $x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{{i\varphi }}$

De asemenea, formulele de ridicare a unui număr complex la o putere arbitrară pot fi considerate o consecință semnificativă: , . Semnificația geometrică a acestei formule este următoarea: atunci când un număr este ridicat la o putere , distanța sa față de centru este ridicată la o putere , iar unghiul de rotație față de axă crește cu un factor. $x=|x|e^{{i\varphi }}$ $x^{n}=|x|^{n}e^{{ni\varphi }}$ $X$ $n$ $n$ $BOU$ $n$

Formula de exponențiere este valabilă nu numai pentru numerele întregi , ci și pentru cele reale. În special, notația exponențială a unui număr permite să găsești rădăcini de orice grad din orice număr complex. $n$

Relația cu trigonometria

Formula lui Euler oferă o legătură între calcul și trigonometrie și, de asemenea, permite ca funcțiile sinus și cosinus să fie interpretate ca sume ponderate ale unei funcții exponențiale :

\cos x=\mathrm {Re} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}+e^{-ix} \over 2)

{\textstyle \sin x=\mathrm {Im} \left(e^{ix}\right)={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}

Ecuațiile de mai sus pot fi obținute prin adăugarea sau scăderea formulelor lui Euler :

e^{{ix}}=\cos x+i\sin x\;

{\textstyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos xi\sin x\;}

urmată de o soluție de sinus sau cosinus.

De asemenea, aceste formule pot servi ca definiție a funcțiilor trigonometrice ale unei variabile complexe. De exemplu, înlocuind x = iy , obținem :

\cos(iy)={e^{{-y}}+e^{{y}} \over 2}=\cosh(y)

\sin(iy)={e^{{-y}}-e^{{y}} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{{y}}-e^{{-y }} \over 2}=i\sinh(y).

Exponențialele complexe simplifică calculele trigonometrice deoarece sunt mai ușor de manipulat decât componentele sinusoidale. O abordare implică conversia sinusoidelor în expresiile exponențiale corespunzătoare. După simplificare, rezultatul expresiei rămâne real. De exemplu :

{\begin{aliniat}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}{2}}\cdot {\frac {(e ^{{iy}}+e^{{-iy}})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{{i(x+y )}}+e^{{i(xy)}}+e^{{i(-x+y)}}+e^{{i(-xy)}}}{2}}\\&={ \frac {1}{2}}\left[\underbrace {{\frac {e^{{i(x+y)}}+e^{{-i(x+y)}}}{2}} }_{{\cos(x+y)}}+\underbrace {{\frac {e^{{i(xy)}}+e^{{-i(xy)}}}{2}}}_ {{\cos(xy)}}\right].\end{aliniat}}

Esența unei alte abordări este de a reprezenta sinusoidele ca părți reale ale unei expresii complexe și de a manipula direct cu o expresie complexă. De exemplu :

{\begin{aliniat}\cos(nx)&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{inx}}\ \}={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i( n-1)x}}\cdot e^{{ix}}\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n-1)x}}\cdot (e ^{{ix}}+e^{{-ix}}-e^{{-ix}})\ \}\\&={\mathrm {Re}}\{\ e^{{i(n- 1)x}}\cdot \underbrace {(e^{{ix}}+e^{{-ix}})}_{{2\cos(x)}}-e^{{i(n-2) )x}}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}

Această formulă este utilizată pentru a calcula recursiv valorile cos( nx ) pentru valori întregi n și valori arbitrare x (în radiani).

Dovada

Dovada formulei lui Euler se poate face folosind seria Maclaurin . Să extindem funcția din seria Taylor în vecinătatea punctului a = 0 (în seria Maclaurin) în puteri de . Primim: $e^{{ix}}$ $X$

$e^{{ix}}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3 }}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\ frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!} }+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)$

Dar

$1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+ \ldots=\cos x$

${\frac {x}{1!)}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!)}}-{\frac { x^ {7}}{7!}}+\ldots =\sin x$

Prin urmare , ceea ce se cerea a fi dovedit . $e^{ix}=\cos x+i\sin x$

Demonstrație vizuală

Se știe că . Următoarele imagini ilustrează faptul că limita este egală cu un punct situat pe cercul unitar, iar lungimea arcului de la acest punct la punctul 1 este . Acest lucru, în special, se datorează faptului că . $e^{x}=\lim _{n\la \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$ $e^{i\varphi}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {i\varphi {n}}\right)^{n}$ $\varphi$ $\lim \limits _{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1$

n=1
n=2
n=3
n=4
n=5
n=6
n=8
n=16

Procesul de schimbare după schimbare poate fi, de asemenea, demonstrat vizual prin derivată . Este bine cunoscut că și Același fapt rămâne valabil și pentru valoarea complexă a funcției. Având în vedere funcția , obținem . Deoarece, în reprezentarea geometrică a numerelor complexe, înmulțirea cu este similară cu rotirea cu 90 de grade, reprezentarea grafică a funcției și a derivatei sale va fi similară cu desenul acțiunii forței centripete , pentru care se cunoaște semnificația fizică. $e^{\varphi i)$ $\varphi$ $\left({e^{x}}\right)'=e^{x}$ $\left({e^{f(x)}}\right)'=f'(x)e^{f(x))$ $f(\varphi )=e^{\varphi i)$ $f'(\varphi )=if(\varphi )$ $i$ $f(\varphi )=e^{\varphi i)$

Forma exponențială a unui număr complex

Formele exponențiale și trigonometrice ale numerelor complexe sunt legate prin formula lui Euler.

Fie ca un număr complex în formă trigonometrică să aibă forma . Pe baza formulei Euler, expresia dintre paranteze poate fi înlocuită cu o expresie exponențială. Ca rezultat, obținem: $z$ $z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$

z=re^{{i\varphi }}

Această notație se numește forma exponențială a numărului complex. La fel ca în forma trigonometrică, aici , . $r=|z|$ $\varphi =\arg z$

Note

↑ Cotes R. Logometria // Philosophical Transactions of the Royal Society of London : journal. - 1714-1716. — Vol. 29 . — P. 32 . - doi : 10.1098/rstl.1714.0002 . Arhivat din original pe 6 iulie 2017.
↑ Cotes R. Harmonia mensurarum . - 1722. - p. 28. Copie de arhivă din 7 iunie 2020 la Wayback Machine
↑ González-Velasco Enrique A. Călătorie prin matematică: episoade creative în istoria sa . - 2011. - P. 182. Copie de arhivă din 19 octombrie 2014 la Wayback Machine
↑ Euler L. Cap.VIII. De quantibus transcendentibus ex Circulo ortis // Introductio in analysin infinitorum (neopr.) . - 1748. - T. 1. - S. 104.

Literatură

Gutov A. Z. Un analog al formulei lui Euler pentru sinus și cosinus generalizat // Metode moderne ale științelor fizice și matematice. Actele conferinței internaționale. Vultur, 2006. S. 35-37. Arhivat pe 25 septembrie 2020 la Wayback Machine
Korn G., Korn T. Manual de matematică (pentru cercetători și ingineri) . — M .: Nauka, 1973.
Stillwell D. Matematica și istoria ei . - Moscova-Ijevsk: Institutul de Cercetări Informatice, 2004. - 530 p. Arhivat pe 7 iunie 2015 la Wayback Machine

Dicționare și enciclopedii	mare danez Rusă mare Britannica (online)