Comparație de topologie

Compararea topologiilor este un concept care vă permite să „comparați” diferite structuri topologice pe același set . Mulțimea tuturor topologiilor dintr-o mulțime fixă formează o mulțime parțial ordonată în raport cu această relație .

Definiție

Fie și să fie două topologii pe o mulțime care este conținută în $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X,$ $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2:$

\mathcal T_1 \subseteq \mathcal T_2.

Aceasta înseamnă că fiecare set deschis al primului spațiu topologic este un set deschis al celui de-al doilea. În acest caz, topologia este numită mai grosieră (uneori mai slabă sau mai mică ) decât. În consecință, topologia este numită mai fină ( mai puternică , mai mare ). Unii autori, în special în manualele de calcul, folosesc termenii „topologie puternică” și „topologie slabă” cu sensuri opuse. [unu] $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2.$ $\mathcal T_2$

O relație binară definește o structură de ordine parțială pe mulțimea tuturor topologiilor posibile ale mulțimii $\subseteq$ $X.$

Exemple

Cea mai bună topologie este topologia discretă , în care toate mulțimile sunt deschise. În consecință, cea mai brută topologie este topologia trivială (sau antidiscretă). $X$

Cea mai grosieră topologie pe care satisface axioma de separare T 1 se numește T 1 -topologie. O astfel de topologie există întotdeauna, poate fi descrisă în mod explicit ca o topologie ale cărei mulțimi închise sunt mulțimi finite și, de asemenea, toate $X,$ $X$ $X.$

Proprietăți

Fie și două topologii pe o mulțime Atunci următoarele afirmații sunt echivalente: $\mathcal T_1$ $\mathcal T_2$ $X.$

$\mathcal T_1\subseteq \mathcal T_2$
Maparea identității este continuă . $\text{id}_X: (X,\mathcal T_2)\la (X,\mathcal T_1)$
Maparea identității este o mapare deschisă (sau echivalent, o mapare închisă ). $\text{id}_X: (X,\mathcal T_1)\la (X,\mathcal T_2)$

De asemenea, aceste afirmații decurg imediat din definiții:

O hartă continuă rămâne continuă dacă topologia activată este înlocuită cu una mai grosieră (respectiv, topologia activată este înlocuită cu una mai fină). $f:X\la Y$ $Y$ $X$
O mapare deschisă va rămâne deschisă dacă topologia activată este înlocuită cu una mai fină (respectiv, topologia activată este înlocuită cu una mai grosieră). O afirmație similară este valabilă pentru mapările închise. $f:X\la Y$ $Y$ $X$

Topologii latice

Setul de topologii nu formează o rețea completă în raport cu relația, ceea ce înseamnă că o familie arbitrară de topologii are o limită cea mai bună și o limită inferioară. Infimumul exact este pur și simplu intersecția topologiilor. Pe de altă parte, unirea topologiilor nu este neapărat o topologie, iar cea mai mică limită superioară a unei familii de topologii este topologia pentru care unirea lor este o prebază . $X$ $\subseteq.$

Orice rețea completă este, de asemenea , mărginită , în cazul topologiilor, aceasta corespunde conceptelor de topologie discretă și antidiscretă.

Note

↑ Munkres, James R. (2000). Topologie (ed. a II-a). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall. pp. 77-78. ISBN 0-13-181629-2 .