Grade de libertate (fizica)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 septembrie 2021; verificarea necesită 1 editare .

Grade de libertate - caracteristici ale mișcării unui sistem mecanic . Numărul de grade de libertate determină numărul minim de variabile independente (coordonate generalizate) necesare pentru a descrie complet starea unui sistem mecanic. Definiție teoretică și mecanică strictă: numărul de grade de libertate ale unui sistem mecanic este dimensiunea spațiului stărilor sale , ținând cont de constrângerile impuse.

De asemenea, numărul de grade de libertate este egal cu numărul total de ecuații independente de ordinul doi (cum ar fi ecuațiile Lagrange ) sau jumătate din numărul de ecuații de ordinul întâi (cum ar fi ecuațiile canonice Hamilton ) care descriu complet [1] dinamica sistemului.

Starea sistemului fizic

Marea majoritate a sistemelor fizice pot fi în nu una, ci în multe stări, descrise atât de variabile continue (de exemplu, coordonatele corpului ) cât și discrete (de exemplu, numerele cuantice ale unui electron dintr- un atom ). „Directiile” independente, variabilele care caracterizeaza starile sistemului, se numesc grade de libertate .

Numărul de grade de libertate este egal cu numărul minim de astfel de variabile necesare pentru o descriere completă a stării sistemului. De exemplu, poziția unui pendul matematic poate fi caracterizată atât prin unghiul de rotație în jurul axei, cât și prin două coordonate ale poziției unui punct material față de axă. Cu toate acestea, un astfel de pendul are doar un grad de libertate și nu două (cum ar putea părea în al doilea caz), deoarece unghiul de rotație singur este suficient pentru a descrie poziția acestui sistem în orice moment.

Exemple

Cel mai simplu sistem mecanic - un punct material din spațiul tridimensional - are trei grade de libertate, deoarece starea sa este complet descrisă de trei coordonate spațiale.
Un corp absolut rigid are șase grade de libertate , deoarece pentru a descrie pe deplin poziția unui astfel de corp, este suficient să setați trei coordonate ale centrului de masă și trei unghiuri care descriu orientarea corpului (aceste cantități sunt cunoscute în toate zilele). viața ca „înclinare, ridicare, întoarcere”, în aviație ele sunt numite „ rulare , înclinare , rotire “. Ele sunt numite și unghiuri Euler (precesiune, nutație și rotație proprie).
Corpurile reale au un număr mare de grade de libertate (de ordinul numărului de particule care alcătuiesc corpul). Cu toate acestea, în majoritatea situațiilor, se dovedește că doar câteva grade „colective” de libertate sunt cele mai importante, care caracterizează mișcarea centrului de masă al corpului, rotația corpului, deformarea acestuia, oscilațiile sale macroscopice. Restul, grade microscopice de libertate, sunt imperceptibile separat, dar sunt percepute dintr-o dată împreună, cum ar fi, de exemplu, temperatura și presiunea .

Coordonate generalizate

Conceptul de grad de libertate este asociat cu un astfel de concept ca dimensiune. În matematică, dimensiunea este numărul de variabile independente necesare pentru a descrie starea unui obiect sau, cu alte cuvinte, pentru a determina poziția acestuia într-un spațiu abstract.

În descrierea matematică a stării unui sistem fizic, N grade de libertate corespund N variabile independente, numite coordonate generalizate .

În cazul gradelor continue de libertate, coordonatele generalizate corespunzătoare iau o serie continuă de valori. Cu toate acestea, pot fi luate în considerare și grade discrete de libertate.

Exemple

Pentru a descrie poziția cercului în plan , sunt suficienti trei parametri: două coordonate ale centrului și razei, adică spațiul cercurilor de pe plan este tridimensional. Cercul poate fi mutat în orice punct din plan și raza lui poate fi modificată, deci are trei grade de libertate.
Pentru a determina coordonatele unui obiect pe o hartă geografică, trebuie să specificați latitudinea și longitudinea . Spațiul corespunzător se numește așadar bidimensional. Un obiect poate fi localizat oriunde, astfel încât fiecare obiect de pe hartă are două grade de libertate.
Pentru a seta poziția aeronavei , trebuie să specificați trei coordonate - pe lângă latitudine și longitudine, trebuie să cunoașteți înălțimea la care se află. Prin urmare, spațiul în care se află aeronava este tridimensional. La aceste trei coordonate, se poate adăuga o a patra (timp) pentru a descrie nu numai poziția curentă a aeronavei, ci și momentul în timp. Dacă adăugați orientarea ( rulare , înclinare , rotire ) a aeronavei la model, atunci vor fi adăugate încă trei coordonate și spațiul abstract corespunzător al modelului va deveni șapte-dimensional.

Grade de libertate în fizica statistică și termodinamică

În fizica statistică și termodinamică , când vorbim de grade de libertate, ele înseamnă uneori un concept care este strâns legat de cel descris mai sus, dar oarecum modificat.

Ideea este că în acest caz, în primul rând, interesează energia totală pe grad de libertate. Și fiecare grad de libertate vibrațional are atât energie cinetică, cât și energie potențială.

Teorema clasică privind distribuția energiei în grade de libertate [2] spune: la echilibrul termodinamic, energia cinetică este în medie distribuită uniform pe toate gradele de libertate, kT /2 pentru fiecare grad de libertate. În acest caz, pentru fiecare grad de libertate, care are și o energie potențială (în funcție de o coordonată dată), la energia totală a sistemului se adaugă și energia potențială, iar pentru gradele de libertate vibraționale, media cinetică și medie. energiile potențiale sunt egale (această afirmație este exactă pentru oscilatorii armonici, dar este o aproximare bună și cu o anumită anarmonicitate).

Astfel, se dovedește că atunci când se calculează energia internă a sistemului, fiecare grad de libertate vibrațional este luat în considerare de două ori. Prin urmare, uneori, pentru ușurința calculului, se folosește formula

kTN_{f}{/2,

unde prin se înțelege numărul de grade de libertate nu în sensul obișnuit, ci în sensul distribuției energiei totale, adică fiecare grad de libertate vibrațional este luat în considerare de două ori (ca „cinetică vibrațională” plus ca „ potențial vibrațional"), adică în acest sens putem spune că fiecărui grad de libertate vibrațional îi corespund două grade de libertate în sens termodinamic. Gradele de libertate rămase (translaționale și rotaționale) sunt luate în considerare simplu, fără a se dubla (întrucât aceste tipuri de mișcare corespund energiei potențiale zero - mai precis, neglijabilă). $N_{f}$

Astfel, în fizica statistică, gradele de libertate sunt adesea înțelese ca coordonate nu în spațiul de configurare , ci în spațiul fazelor , i.e. considerați coordonatele generalizate și momentele generalizate ca grade diferite de libertate. În acest caz, în aproximarea clasică (adică cu unele rezerve - doar la temperaturi suficient de ridicate) contribuțiile la energia totală se fac - pentru fiecare - doar cele care intră în expresia energiei în mod pătratic. $kT/2$

Grade înghețate de libertate

Considerația mecanică cuantică arată că diferite grade de libertate pot fi active sau inactive în următorul sens: dacă o mișcare are un spectru discret (și spectrul discret corespunde oricărei stări legate), atunci poate fi excitat (sistemul merge la un spectru mai mare). nivel de energie) numai atunci când energie absorbită este mai mare decât diferența de energie dintre prima stare excitată și starea fundamentală (energie de excitare). Prin urmare, dacă sistemul (moleculă, atom) este inițial în starea fundamentală și există o interacțiune cu o particulă care poate emite doar energie mai mică decât energia de excitație (de exemplu, cu un foton de energie mai mică sau cu o moleculă a cărei energia de mișcare este mai mică decât acest prag), acesta gradul de libertate nu se manifestă în niciun fel (mișcarea asociată cu acesta nu poate apărea; mai exact, nu se poate schimba, acest grad de libertate rămâne în starea fundamentală). Acest lucru se numește înghețare a gradului de libertate (desigur, chiar și în același sistem, diferite grade de libertate pot avea aceleași energii de excitație sau diferite și, prin urmare, pot fi înghețate sau nu înghețate pentru a interacționa cu particule de energii diferite).

Acest lucru se aplică pe deplin manifestării diferitelor grade de libertate la diferite temperaturi.

Într-adevăr, la o anumită temperatură, energia mișcării particulelor are o valoare medie de ordinul lui k T , prin urmare, toate gradele de libertate, a căror energie de excitație este mult mai mare, vor fi înghețate (pot fi ignorate în statistici). ). În acest sens, pentru fiecare grad de libertate specific al fiecărui sistem (atom, moleculă, cristal etc.), este introdus conceptul de temperatură de îngheț (egal cu energia de excitație împărțită la constanta Boltzmann ) . La temperaturi mult mai mici decât temperatura de îngheț, gradul de libertate nu se manifestă (este în starea fundamentală și de obicei poate fi ignorat în orice fel), la temperaturi mult mai ridicate, gradul de libertate este complet „pornit” și deplasarea de-a lungul ei poate fi considerată clasică, la temperaturi de ordinul temperaturii de îngheț, includerea treptată [3] a gradului de libertate când temperatura crește sau oprirea treptată când aceasta scade.

Descrisul explică modificarea capacității termice a diferitelor substanțe cu temperatura. Fizica statistică clasică vorbește despre o distribuție uniformă a energiei pe grade de libertate (aici termenul de grad de libertate este înțeles în sensul termodinamic, vezi mai sus ). Totuși, este evident că de fapt (ținând cont de corecția mecanică cuantică) această afirmație ar trebui aplicată doar gradelor de libertate „pornite”, adică excluzându-le pe cele înghețate. Prin urmare, capacitatea de căldură molară va fi

c={\frac {1}{2}}kN_{f},

unde k este constanta Boltzmann, N f este numărul de grade de libertate ale unui anumit tip din sistemul luat în considerare (în special, dacă vorbim despre un set de molecule, unde N este numărul de molecule, i este numărul de grade de libertate ale unei molecule). $N_{f}=Ni,$

Gradele de libertate ale unei molecule

Formula pentru energia internă a unui gaz ideal [4] :

U={\frac {i}{2}}\cdot {\frac {m}{\mu }}RT

și formula direct legată pentru energia medie a unei molecule de gaz ideal

U_{1}={\frac {i}{2}}kT

Unde

i

este numărul de grade de libertate ale unei molecule de gaz,

\nu ={\frac {m}{\mu ))

- cantitatea de gaz ( - masa , - masa molară a gazului),

m

\mu

R

este constanta universală a gazului ,

k

este constanta Boltzmann ,

T

este temperatura absolută a gazului.

Gradele de libertate ale moleculei sunt înghețate așa cum este descris în paragraful de mai sus, ceea ce înseamnă că i -ul efectiv din formulă depinde de temperatură și, în general, nu poate fi calculat pur și simplu într-un mod mecanic clasic.

Toate gradele de libertate de rotație pentru moleculele monoatomice și gradul de libertate de rotație corespunzător rotației în jurul axei longitudinale pentru moleculele liniare (în sensul geometric real) sunt înghețate (adică nu ar trebui să fie luate în considerare în i ) întotdeauna, întrucât temperaturile lor de îngheț sunt atât de ridicate încât disocierea moleculelor are loc mult mai devreme decât sunt atinse aceste temperaturi.

Vezi și

Note

↑ Implicând dinamica clasică, aici se referă la ecuațiile mișcării . Cu toate acestea, cel puțin în principiu, pentru descrierea cuantică se pot folosi ecuații de operator care practic coincid ca formă.
↑ Este adevărat în forma sa pură doar în aproximarea clasică (adică non-cuantică), iar când se încearcă aplicarea destul de consecventă, duce la inconsecvență cu experiența și chiar la paradoxuri, cum ar fi catastrofa ultravioletă ; cu toate acestea, rămâne importantă și pentru cazul cuantic, deși atunci formularea sa ar trebui schimbată puternic. Vezi, de asemenea, mai târziu în acest articol (din care rezultă că, cu o acordare adecvată pentru corecții cuantice, poate fi folosită chiar și o teoremă pur clasică.
↑ Treptat datorită netedei distribuției termice.
↑ Nikerov. V. A. Fizică: manual și atelier pentru studenții universitari. - Yurayt, 2015. - S. 127-129. - 415 p. - ISBN 978-5-9916-4820-2 .

Dicționare și enciclopedii	Mare norvegian Britannica (online)
În cataloagele bibliografice	J9U : 987007545601105171 LCCN : sh85036480