Subdiferenţial

Subdiferenţiala unei funcţii f definită pe un spaţiu Banach E este o modalitate de a generaliza noţiunea de derivată la funcţii arbitrare. Deși folosindu-l trebuie sacrificat unicitatea mapării (valorile subdiferențialei în cazul general sunt seturi, nu puncte individuale), se dovedește a fi destul de convenabil: orice funcție convexă se dovedește a fi subdiferențiabilă pe întregul domeniu de definire. În acele cazuri în care nu se știe nimic dinainte despre diferențiabilitatea unei funcții, acesta se dovedește a fi un avantaj semnificativ.

În plus, subdiferenţialul (cu restricţii destul de slabe asupra funcţiei) este în multe privinţe similar în proprietăţile derivatei obişnuite. În special, pentru o funcție diferențiabilă ele coincid, dar pentru o funcție nediferențiabilă se dovedește a fi, așa cum ar fi, o „mulțime de derivate posibile” la un punct dat. Valorile subdiferențialei sunt submulțimi convexe ale spațiului dual E *.

Definiție

Subdiferențiala unei funcții convexe într-un punct este mulțimea constând din toate funcționalele liniare care satisfac toate inegalitatea $\partial f(x_{0})$ $f\colon E\rightarrow \mathbb {R}$ $x_{0)$ $p\in E^{*}$ $x\in E$

p(x-x_{0})\leq f(x)-f(x_{0})

O funcție este numită subdiferențiabilă într-un punct dacă mulțimea nu este goală. $f(x)$ $x_{0}$ $\partial f(x_{0})$

Vectorul aparținând subdiferențialului se numește subgradient al funcției în punctul . $p\in E^{*}$ $\partial f(x_{0})$ $f(x)$ $x_0$

Proprietăți

$\partial f(x_{0})$ este un convex (posibil gol) amplasat $E^{*}$

Fie f 1 (x), f 2 (x) funcții finite convexe, iar una dintre ele este continuă în punctul x, , atunci $\lambda \geq 0$

$\partial \left(f_{1}(x)+f_{2}(x)\right)=\partial \left(f_{1}(x)\right)+\partial \left(f_{ 2}(x)\dreapta)$ , suma este înțeleasă în sensul sumei Minkowski .

$\partial \left(\lambda f_{1}(x)\right)=\lambda \partial f_{1}(x)$

Dacă o funcție este convexă și continuă într-un punct , atunci este subdiferențiabilă în acest punct , adică subdiferențialul ei este o mulțime compactă și convexă. $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $x\in E$ $x\in E$ $\partial f(x)\neq \varnothing$ $\partial f(x)$

Fie funcția convexă și finită. În acest caz, funcția este Gateaux diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă subdiferențialul său în acest punct constă dintr-un singur vector $f:E\rightarrow \mathbb {R}$ $f(x)$ $x_{0}\în E$ $\partial f(x_{0})=\left\{{\frac {\partial f(x_{0})}{\partial x)}\right\)$

O funcție are un minim local într-un punct dacă și numai dacă 0 aparține subdiferenţialului în acel punct.

Dacă o secvență de funcții convexe converge punctual către o funcție convexă , atunci pentru orice succesiune convergentă limita sa aparține subdiferențialului . $f_n$ $f$ $p_{n}\in \partial _{x_{0}}f_{n}$ $p=\lim _{n\to \infty }p_{n)$ $\partial _{x_{0}}f$

Link -uri

Polovinkin E. S., Balashov M. V. Elemente de analiză convexă și puternic convexă. - M. : Fizmatlit, 2004. - 416 s - ISBN 5-9221-0499-3 .
Jean-Baptiste Hiriart-Urruty, Claude Lemaréchal Fundamentele analizei convexe. — Springer, 2001. ISBN 3-540-42205-6 .