Functie convexa
O funcție convexă ( funcție convexă în sus ) este o funcție pentru care segmentul dintre oricare două puncte ale graficului său din spațiul vectorial nu se află mai mare decât arcul corespunzător al graficului. În mod echivalent: convex este o funcție al cărei subgraf este o mulțime convexă .
O funcție concavă ( funcția convexă în jos ) este o funcție a cărei coardă între oricare două puncte ale graficului nu este mai mică decât arcul format al graficului sau, în mod echivalent, a cărei epigraf este o mulțime convexă.
Conceptele de funcții convexe și concave sunt duale , în plus, unii autori definesc o funcție convexă ca fiind concavă, și invers [1] . Uneori, pentru a evita neînțelegerile, se folosesc termeni mai explici: funcție convexă în jos și funcție convexă în sus.
Conceptul este important pentru analiza matematică clasică și analiza funcțională , unde funcționalele convexe sunt studiate în special , precum și pentru aplicații precum teoria optimizării , unde se distinge o subsecțiune specializată - analiza convexă .
Definiții
O funcție numerică definită pe un anumit interval (în general, pe o submulțime convexă a unui spațiu vectorial ) este convexă dacă pentru oricare două valori ale argumentului și pentru orice număr , inegalitatea lui Jensen este valabilă :
![X](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87f9e315fd7e2ba406057a97300593c4802b53e4)
![y](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8a6208ec717213d4317e666f1ae872e00620a0d)
![{\displaystyle t\in\left[0,1\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fd270c3bd356bcd89e081db8a147db4ac9552d8)
Note
- Dacă această inegalitate este strictă pentru toți și , atunci se spune că funcția este strict convexă .
![{\displaystyle t\in\left(0,1\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e350f4ef48111031fa58617534a89b0ee0bef110)
![x\ney](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51b711ca7f932963cdb268b0817dc72d6258733)
- Dacă inegalitatea inversă este valabilă, se spune că funcția este concavă (respectiv, strict concavă în cazul strict).
- Dacă pentru unii inegalitatea mai puternică este valabilă
![\varepsilon >0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e04ec3670b50384a3ce48aca42e7cc5131a06b12)
![{\displaystyle f{\big (}tx+\left(1-t\right)y{\big )}\leqslant tf\left(x\right)+\left(1-t\right)f\left(y) \right)-\varepsilon t\left(1-t\right)\left|xy\right|^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/120539c09f73e84de8572bef128c19f3e5574d9b)
atunci se spune că funcția este puternic convexă .
Proprietăți
- O funcție care este convexă pe un interval este continuă pe tot , diferențiabilă pe orice , cu excepția cel mult unui set numărabil de puncte și diferențiabilă de două ori aproape peste tot .
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\mathbb {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205f06e0d279689ed04a1ac04a3d9c249c637df)
![{\mathbb {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205f06e0d279689ed04a1ac04a3d9c249c637df)
![{\mathbb {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205f06e0d279689ed04a1ac04a3d9c249c637df)
- Orice funcție convexă este subdiferențiabilă (are o subdiferențială ) pe întregul domeniu de definiție.
- O funcție convexă are un hiperplan de sprijin al epigrafului său care trece prin orice punct .
- O funcție continuă este convexă dacă și numai dacă inegalitatea
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![{\mathbb {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8205f06e0d279689ed04a1ac04a3d9c249c637df)
![x,y\în {\mathbb {I}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7ef8d3dd4743c5c5015f53eb81621ecebe533c0)
![{\displaystyle f\left({\dfrac {x+y}{2}}\right)\leqslant {\frac {f\left(x\right)+f\left(y\right)}{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd6f901eb60fb47a5ccb6d932bf2aa9078f26bc3)
- O funcție diferențiabilă continuu a unei variabile este convexă pe un interval dacă și numai dacă graficul său nu se află sub tangentei ( hiperplanul de referință ) desenat la acest grafic în orice punct al intervalului de convexitate.
- O funcție convexă a unei variabile pe un interval are derivate din stânga și din dreapta; derivata stângă într-un punct este mai mică sau egală cu derivata dreaptă; derivata unei funcții convexe este o funcție nedescrescătoare.
- O funcție de două ori diferențiabilă a unei variabile este convexă pe un interval dacă și numai dacă derivata a doua a acesteia este nenegativă pe acest interval. Dacă derivata a doua a unei funcții diferențiabile de două ori este strict pozitivă, atunci o astfel de funcție este strict convexă, dar inversul nu este adevărat (de exemplu, funcția este strict convexă pe , dar derivata a doua într-un punct este egală cu zero) .
![{\displaystyle f\left(x\right)=x^{4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76e8100ded3f5f5418ffd5d499249309ae217f55)
![{\displaystyle \stanga[-1,1\dreapta]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79566f857ac1fcd0ef0f62226298a4ed15b796ad)
![x=0](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/953917eaf52f2e1baad54c8c9e3d6f9bb3710cdc)
- Dacă funcțiile , sunt convexe, atunci oricare dintre combinațiile lor liniare cu coeficienți pozitivi , este de asemenea convexă.
![f](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/132e57acb643253e7810ee9702d9581f159a1c61)
![af+bg](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/931e560ae86b8b00e497dce6eb2d6c14bd3b9cc1)
![A](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd2487510aa438433a2579450ab2b3d557e5edc)
![b](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f11423fbb2e967f986e36804a8ae4271734917c3)
- Minimul local al unei funcții convexe este și minimul global (respectiv, pentru funcțiile convexe în sus, maximul local este maximul global).
- Orice punct staționar al unei funcții convexe va fi un extremum global.
Note
- ↑ Klyushin V. L. Matematică superioară pentru economiști / ed. I. V. Martynova. - Ediție educațională. - M. : Infra-M, 2006. - S. 229. - 448 p. — ISBN 5-16-002752-1 .
Literatură