Existența și netezimea soluțiilor ecuațiilor Navier-Stokes

Existența și netezimea soluțiilor pentru ecuațiile Navier-Stokes este una dintre cele șapte probleme matematice ale mileniului formulate în 2000 de Institutul de Matematică Clay .

Ecuațiile Navier-Stokes descriu mișcarea unui fluid newtonian vâscos și stau la baza hidrodinamicii . Soluțiile numerice ale ecuațiilor Navier-Stokes sunt utilizate în multe aplicații practice și lucrări științifice. Cu toate acestea, soluțiile analitice ale acestor ecuații au fost găsite doar în unele cazuri speciale, astfel încât nu există o înțelegere completă a proprietăților ecuațiilor Navier-Stokes. În special, soluțiile la ecuațiile Navier-Stokes implică adesea turbulența , care rămâne una dintre cele mai importante probleme nerezolvate din fizică , în ciuda importanței sale mari pentru știință și tehnologie.

Ecuațiile Navier-Stokes

Pentru un vector tridimensional al vitezei și presiunii fluidului , ecuațiile Navier-Stokes sunt scrise după cum urmează: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

{\frac {\partial {\vec {v)}}{\partial t))+({\vec {v)}\cdot \nabla ){\vec {v)}=-{\frac { 1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta {\vec {v}}+{\vec {f}}({\vec {x}},\;t)

unde este vâscozitatea cinematică , este densitatea , este forța externă, este operatorul nabla și este operatorul Laplace (Laplacian), care este de asemenea notat cu sau . Aceasta este o ecuație vectorială, care în cazul tridimensional poate fi reprezentată ca trei ecuații scalare. Dacă notăm componentele vectorilor viteză și forță externă ca: $\nu>0$ $\rho$ ${\vec f}({\vec x},\;t)$ $\nabla$ $\Delta$ $\nabla \cdot \nabla$ $\nabla ^{2}$

{\vec {v)}({\vec {x)),\;t)=(v_{1}({\vec {x)),\;t),\;v_{2}( {\vec {x)),\;t),\;v_{3}({\vec {x)),\;t)),\qquad {\vec {f))({\vec {x} },\;t)=(f_{1}({\vec {x)),\;t),\;f_{2}({\vec {x)),\;t),\;f_{ 3}({\vec {x)),\;t))

atunci pentru fiecare valoare se obține ecuația scalară corespunzătoare: $i=1,\;2,\;3$

{\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{{j=1}}^{3}v_{j}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j))}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{{j=1}}^ {3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\vec x},\;t).

Mărimile necunoscute sunt viteza și presiunea . Deoarece în cazul tridimensional există trei ecuații și patru necunoscute (trei componente de viteză și presiune), este nevoie de încă o ecuație. O ecuație suplimentară este legea conservării masei - ecuația continuității, care în cazul unui mediu incompresibil se transformă în condiția de incompresibilitate a lichidului: ${\vec v}({\vec x},\;t)$ $p({\vec x},\;t)$

\nabla \cdot {\vec v}=0.

Condițiile inițiale pentru ecuațiile Navier-Stokes sunt date sub forma:

{\vec v}({\vec x},0)={\vec {v^{0}}}({\vec x})

unde este o funcție vectorială netedă dată care satisface ecuația de continuitate . ${\vec {v^{0}}}({\vec x})$ $\nabla \cdot {\vec {v^{0}}}=0$

Opțiuni pentru setarea problemei

Clay Institute a formulat două versiuni principale ale problemei existenței și netezirii soluțiilor la ecuațiile Navier-Stokes. În prima versiune, ecuațiile sunt considerate în întreg spațiul tridimensional cu unele restricții asupra ratei de creștere a soluției la infinit. În cea de-a doua versiune, ecuațiile sunt considerate pe un tor tridimensional cu condiții la limită periodice. Pentru a primi prima, este suficient să dovediți sau să infirmați existența și netezimea soluției în oricare dintre cele două opțiuni. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\mathbb {T}}^{3}={\mathbb {R}}^{3}/{\mathbb {Z}}^{3}$

În spațiul 3D

Fie viteza inițială o funcție netedă arbitrară care satisface ecuația de continuitate și astfel încât pentru orice multi-index și oricare există o constantă (în funcție doar de și ) astfel încât ${\vec {v^{0}}}(x)$ $\alfa$ $K>0$ $C_{{\alpha ,K}}>0$ $\alfa$ $K$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {v_{0}}}(x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert )^{ K}}}\qquad

pentru toți

\qquad x\in {\mathbb {R}}^{3}.

Fie și forța externă o funcție netedă care satisface o inegalitate similară (aici multi-indexul include și derivate de timp): ${\vec {f}}({\vec {x}},t)$

\vert \partial ^{\alpha }{\vec {f}}({\vec {x}})\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert {\vec {x}}\vert +t)^{K}}}\qquad

pentru toți

\qquad ({\vec {x)),t)\in {\mathbb {R))^{3}\times [0,\infty ).

Soluțiile trebuie să fie funcții netede care să nu crească la infinit ca . Sunt necesare următoarele condiții: $\vert {\vec {x}}\vert \to \infty$

${\vec {v}}({\vec {x}},t)\in \left[C^{\infty }({\mathbb {R}}^{3}\times [0,\infty )) \right]^{3}\,,\qquad p({\vec {x)),t)\in C^{\infty }({\mathbb {R))^{3}\times [0,\ infty))$
Există o constantă astfel încât pentru toți . $E\in (0,\infty )$ $\int _{{{\mathbb {R}}^{3}}}\vert {\vec {v}}({\vec {x}}),t)\vert ^{2}dx<E$ $t\geq 0$

Prima condiție înseamnă că funcțiile sunt definite global și sunt netede; a doua este că energia cinetică este limitată la nivel global.

Este necesar să se dovedească una dintre cele două afirmații:

existența și netezimea soluțiilor ecuațiilor Navier-Stokes în : pentru și orice condiție inițială care satisface condițiile descrise mai sus, există o soluție globală netedă a ecuațiilor Navier-Stokes, adică vectorul viteză și câmpul de presiune care satisface condițiile 1 și 2; $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {f}}({\vec {x}}),t)\equiv 0$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$
inexistența sau nenetezimea soluțiilor ecuațiilor Navier-Stokes în : există condiții inițiale și o forță externă astfel încât să nu existe soluții și să satisfacă condițiile 1 și 2. $\mathbb {R} ^{3}$ ${\vec {v_{0}}}({\vec x})$ ${\vec {f}}({\vec x},t)$ ${\vec {v}}({\vec x},t)$ $p({\vec x},t)$

Încercări de soluție

Pe 10 ianuarie 2014, matematicianul kazah Mukhtarbay Otelbaev a publicat un articol în care susținea că a dat o soluție completă problemei [1] , verificarea rezultatului este complicată de faptul că lucrarea a fost scrisă în limba rusă [2] [ 3] . În comunitățile de matematică sunt discutate contraexemple la principalele afirmații [4] . În anul 2014 s-a constatat o eroare gravă în probă, pe care autorul a recunoscut- o [5] .

Note

↑ Mukhtarbai Otelbaev . Existența unei soluții puternice a ecuației Navier-Stokes // Jurnal de matematică. - 2013. - T. 13 , nr. 4 (50) . - S. 5-104 . — ISSN 1682-0525 . Arhivat din original pe 17 august 2014. (Rusă) : Se dă soluția problemei mileniului al șaselea: se demonstrează existența și unicitatea unei soluții puternice a problemei tridimensionale Navier-Stokes cu condiții periodice la limită în variabile spațiale.
↑ Liz Klimas. Problema de matematică în valoare de 1 milion de dolari poate fi rezolvată, dar mai există o problemă... (în engleză) (link indisponibil) . The Blaze (22 ianuarie 2014). — „Problema actuală cu lucrarea lui Otelbayev este că este scrisă în rusă.”. Data accesului: 23 ianuarie 2014. Arhivat din original la 23 ianuarie 2014.
↑ Jacob Aron, Katia Moskvitch. Este posibil ca un matematician kazah să fi rezolvat puzzle de un milion de dolari . New Scientist (22 ianuarie 2014). Data accesului: 24 ianuarie 2014. Arhivat din original pe 2 februarie 2014.
↑ Ecuația - la stânga! (6 februarie 2014). Data accesului: 12 februarie 2014. Arhivat din original pe 23 februarie 2014. (Rusă)
↑ Dovada diabolică de milioane de dolari eludează matematicienii . Preluat la 12 mai 2016. Arhivat din original la 25 mai 2016. (nedefinit)

Literatură

PG Lemarie-Rieusset. Problema Navier-Stokes în secolul 21 . - CRC Press, 2016. - P. 740. - ISBN 1466566213 .
Giovanni Galdi. O introducere în teoria matematică a ecuațiilor Navier-Stokes: probleme la starea de echilibru . - Springer, 2011. - P. 1032. - ISBN 0387096191 .

Link -uri

Descrierea oficială a sarcinii oferită de Charles Fefferman
Numărul anului 2000: ecuațiile Navier-Stokes // Computerra , 5 octombrie 2005 .
De ultimă generație pe blogul personal al lui Terence Tao