Operator Nabla

Operatorul nabla este un operator diferenţial vectorial ale cărui componente sunt derivate parţiale în raport cu coordonatele. Notat cu simbolul ∇ ( nabla ).

Pentru un spațiu euclidian tridimensional într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare [1] , operatorul nabla este definit după cum urmează:

\nabla ={\partial \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \over \partial z}{\vec { k}}

unde sunt vectorii unitari de-a lungul axelor, respectiv. ${\vec i},{\vec j},{\vec k}$ $x,y,z$

Se folosește și următoarea notație a operatorului nabla prin componente:

\nabla =\left\{{\partial \over \partial x},{\partial \over \partial y},{\partial \over \partial z}\right\}

Principalele operații ale analizei vectoriale sunt exprimate prin operatorul nabla într-un mod natural : grad ( gradient ), div ( divergență ), rot ( rotor ), precum și operatorul Laplace (vezi mai jos). Este utilizat pe scară largă în sensul descris în fizică și matematică (deși uneori simbolul grafic este folosit și pentru a desemna alte obiecte matematice, deși în unele privințe nu departe de obiectele matematice luate în considerare, de exemplu, derivată covariantă ). $\nabla$

Un operator nabla n -dimensional înseamnă un vector într-un spațiu n - dimensional [2] de următoarea formă:

\nabla ={\partial \over \partial x_{1}}{\vec {e}}_{1}+{\partial \over \partial x_{2}}{\vec {e}}_{2} +...+{\partial \over \partial x_{n}}{\vec {e}}_{n}

unde sunt vectorii unitari de-a lungul axelor, respectiv. ${\vec {e}}_{1},{\vec {e}}_{2},...,{\vec {e}}_{n}$ $x_{1},x_{2},...,x_{n}$

Uneori, mai ales la desenarea manuală, deasupra operatorului este trasată o săgeată: - pentru a sublinia caracterul vectorial al operatorului. Semnificația unei astfel de inscripții nu este diferită de cea obișnuită . ${\vec \nabla }$ $\nabla$

Uneori (mai ales atunci când este aplicat doar funcțiilor scalare), operatorul nabla este numit operator gradient , care este atunci când este aplicat funcțiilor scalare (câmpuri).

Notă: în fizica modernă, se încearcă să nu folosească denumirea de operator hamiltonian în raport cu operatorul nabla, mai ales în fizica cuantică, pentru a evita confuzia cu hamiltonianul cuantic , care, spre deosebire de cel clasic, are o natură de operator. .

Proprietăți ale operatorului nabla

Acest operator are sens atunci când este combinat cu funcția scalară sau vectorială la care este aplicat.

Dacă înmulțim scalar un vector cu o funcție , obținem un vector $\nabla$ $\phi$

\nabla \phi ={\partial \phi \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial \phi \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial \phi \over \partial z}{\vec {k}}={\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\phi

care este gradientul funcției . $\phi$

Dacă un vector este înmulțit scalar cu un vector , rezultatul este un scalar $\nabla$ ${\vec {a}}$

\nabla \cdot {\vec {a}}=\nabla _{x}a_{x}+\nabla _{y}a_{y}+\nabla _{z}a_{z}={\partial a_{ x} \over \partial x}+{\partial a_{y} \over \partial y}+{\partial a_{z} \over \partial z}={\mathbf {\operatorname {div}}}\, {\vec a}

adică divergența vectorului . ${\vec {a}}$

Dacă este înmulțit cu un vector , atunci obținem rotorul vectorului : $\nabla$ ${\vec {a}}$ ${\vec {a}}$

\nabla \times {\vec a}={\begin{vmatrix}{\vec {i}}&{\vec {j}}&{\vec {k}}\\{\partial \over \partial x} &{\partial \over \partial y}&{\partial \over \partial z}\\a_{x}&a_{y}&a_{z}\end{vmatrix}}=\left({\partial {a_{ z}} \over \partial y}-{\partial {a_{y}} \over \partial z}\right){\vec {i}}\ +\ \left({\partial {a_{x}} \over \partial z}-{\partial {a_{z}} \over \partial x}\right){\vec {j}}\ +\ \left({\partial {a_{y}} \over \ parțial x}-{\partial {a_{x}} \over \partial y}\right){\vec {k}}={\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec a}

Notă: în ceea ce privește desemnarea produsului scalar și vectorial în general, în cazul utilizării acestora cu operatorul nabla, alături de cele utilizate mai sus, sunt adesea folosite denumiri alternative echivalente cu acestea, de exemplu, ele scriu adesea în loc de , si in schimb scrie ; acest lucru este valabil și pentru formulele prezentate mai jos. $\nabla \cdot {\vec a}$ $(\nabla ,{\vec a})$ $\nabla \times {\vec a}$ $[\nabla ,{\vec a}]$

În consecință, produsul scalar este un operator scalar numit operator Laplace . Acesta din urmă este de asemenea notat . În coordonatele carteziene, operatorul Laplace este definit după cum urmează: $\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ $\ \Delta$

\Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}

Întrucât operatorul nabla este un operator diferențial, la transformarea expresiilor este necesar să se țină cont atât de regulile algebrei vectoriale, cât și de regulile de diferențiere. De exemplu:

{\mathbf {\operatorname {grad}}}(\phi \psi )={\mathbf {\nabla }}(\phi \psi )=\psi {\mathbf {\nabla }}\phi +\phi {\ mathbf {\nabla }}\psi =\psi \,{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\phi +\phi \,{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\psi

\operatorname {div}({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,\phi )=\nabla \cdot (\nabla \phi )=(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2 }\phi =\Delta \phi

Adică derivata unei expresii care depinde de două câmpuri este suma expresiilor în fiecare dintre care doar un câmp este supus diferențierii.

Pentru comoditatea de a indica câmpurile asupra cărora acționează nabla, se obișnuiește să presupunem că în produsul câmpurilor și operatorilor, fiecare operator acționează asupra expresiei din dreapta acesteia și nu acționează asupra tuturor celor din stânga. Dacă se cere ca operatorul să acționeze pe câmpul din stânga, acest câmp este cumva marcat, de exemplu, prin plasarea unei săgeți deasupra literei:

\nabla \cdot {\vec v}={\stackrel {\downarrow }({\vec v))}\cdot \nabla

Această notație este de obicei folosită în transformările intermediare. Din cauza neplăcerilor sale, ei încearcă să scape de săgețile din răspunsul final.

Operatori de ordinul doi

Deoarece există moduri diferite de a multiplica vectori și scalari, pot fi scrise diferite tipuri de diferențiere folosind operatorul nabla. Combinarea produselor scalare și vectoriale oferă 7 opțiuni diferite pentru derivate de ordinul doi:

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)

{\mathbf {\operatorname {putrezire}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)

\Delta f=\nabla ^{2}f

{\mathbf {\operatorname {grad}}}\,({\mathbf {\operatorname {div}}}\,{\vec v})=\nabla (\nabla \cdot {\vec v})

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec v})

{\mathbf {\operatorname {putrezire}}}\,({\mathbf {\operatorname {putrezire}}}\,{\vec v})=\nabla \times (\nabla \times {\vec v})

\Delta {\vec v}=\nabla ^{2}{\vec v}

Pentru câmpuri suficient de netede (de două ori diferențiabile continuu) acești operatori nu sunt independenți. Două dintre ele sunt întotdeauna zero:

{\mathbf {\operatorname {putrezire}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \times (\nabla f)=(\nabla \times \nabla )f= 0

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {rot}}}\,{\vec v})=\nabla \cdot (\nabla \times {\vec {v}} )=(\nabla \times \nabla )\cdot {\vec {v}}=0

Cele două se potrivesc întotdeauna:

{\mathbf {\operatorname {div}}}\,({\mathbf {\operatorname {grad}}}\,f)=\nabla \cdot (\nabla f)=(\nabla \cdot \nabla )f= \nabla ^{2}f=\Delta f

Celelalte trei sunt legate prin:

\nabla \times (\nabla \times {\vec {v)})=\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)})-\nabla ^{2}{\vec {v)}

Un altul poate fi exprimat în termeni de produs tensor al vectorilor:

\nabla (\nabla \cdot {\vec {v)))=\nabla \cdot (\nabla \otimes {\vec {v)))

Diferențele operatorului nabla față de vectorul obișnuit

Deși majoritatea proprietăților operatorului nabla decurg din proprietățile algebrice ale operatorilor și numerelor și devin destul de evidente atunci când este privit ca un vector, trebuie avut grijă. Operatorul nabla nu aparține aceluiași spațiu cu vectorii obișnuiți și, mai precis, produsul scalar și vectorial pentru acesta este definit cu unele diferențe (în principal prin faptul că - așa cum se înțelege de obicei - operatorul acționează asupra acelor câmpuri care sta din dreapta sa și nu acționează asupra celor din stânga sa, motiv pentru care produsul scalar și vectorial cu participare nu sunt comutative și nu anticomutative, așa cum este tipic pentru astfel de produse ale vectorilor obișnuiți), astfel încât operatorul nabla nu au unele dintre proprietățile vectorilor obișnuiți și, prin urmare, este posibil să nu se comporte în toate în conformitate cu proprietățile geometrice ale unui vector obișnuit. În special, $\nabla$

nu face naveta cu vectori :

\nabla \cdot {\vec v}\neq {\vec v}\cdot \nabla

pentru că - aceasta este o divergență, adică în cele din urmă, doar o funcție scalară de coordonate, dar este un operator non-trivial de diferențiere în direcția câmpului vectorial . $\nabla \cdot {\vec v}$ ${\vec v}\cdot \nabla$ ${\vec {v}}$

În plus, puteți verifica dacă nu se potrivesc prin aplicarea ambelor expresii la funcția scalară f :

(\nabla \cdot {\vec v})f\neq ({\vec v}\cdot \nabla )f

deoarece

(\nabla \cdot {\vec v})f=\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y} }+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}\right)f={\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}f+{\frac {\partial v_{ y}}{\partial y}}f+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}f

({\vec v}\cdot \nabla )f=\left(v_{x}{\frac {\partial }{\partial x))+v_{y}{\frac {\partial }{\partial y} }+v_{z}{\frac {\partial }{\partial z}}\right)f=v_{x}{\frac {\partial f}{\partial x}}+v_{y}{\frac {\partial f}{\partial y))+v_{z}{\frac {\partial f}{\partial z))

Dacă nabla ar fi un vector, atunci produsul mixt ar fi întotdeauna zero, dar este ușor de observat că acest lucru nu este adevărat $({\vec v},\ \nabla ,\ {\vec v})\equiv {\vec v}\cdot (\nabla \times {\vec v})$ .

În plus, este necesar să ne amintim asupra căror vectori și funcții acționează fiecare operator nabla din formula scrisă , de exemplu:

(\nabla x)\times (\nabla y)=\left({\vec i}\,{\frac {\partial x}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\ parțial x}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial x}{\partial z))\right)\times \left({\vec i}\,{\frac { \partial y}{\partial x))+{\vec j}\,{\frac {\partial y}{\partial y))+{\vec k}\,{\frac {\partial y}{\ parțial z}}\right)=

=({\vec i}\cdot 1+{\vec j}\cdot 0+{\vec k}\cdot 0)\times ({\vec i}\cdot 0+{\vec j}\cdot 1+ {\vec k}\cdot 0)={\vec i}\times {\vec j}={\vec {k))

(aici primul operator nabla acționează numai pe câmp , iar al doilea - numai pe câmp , care, parcă, fixează rigid ordinea acțiunilor). Întrucât pentru vectorii obișnuiți: $X$ $y$

({\vec u}x)\times ({\vec u}y)=xy({\vec u}\times {\vec u})=xy{\vec 0}={\vec {0))

pentru că aici și sunt ușor scoase. $X$ $y$

Prin urmare, pentru comoditate, atunci când înmulțiți operatorul nabla cu o expresie complexă, câmpul diferențiabil este de obicei notat cu o săgeată:

(\nabla ,[{\vec {u)),{\vec {v}}])=(\nabla ,[{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}},{\vec {v}}])+(\nabla ,[{\vec {u}},{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}])=({\vec {v}}),[\ nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {u}}}])-({\vec {u}},[\nabla ,{\stackrel {\downarrow }{\vec {v}}}]) = {\vec {v}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {u}}-{\vec {u}}\cdot {\mbox{rot}}\,{\vec {v } }

Dacă operatorul nu acționează asupra unui câmp, atunci vectorul câmpului și operatorul fac naveta (pentru un produs vectorial, ele anticomuta). Vectorii din produsele mixte ale exemplului sunt mutați la stânga operatorului și expresia finală este scrisă fără săgeți.

Istorie

În 1853, W. R. Hamilton a introdus acest operator și a creat un simbol pentru el sub forma unei litere grecești inversate Δ (delta). La Hamilton, punctul simbolului a îndreptat spre stânga; mai târziu, în lucrările lui P. G. Tait, simbolul a căpătat un aspect modern. Hamilton a numit acest simbol cuvântul „atled” (cuvântul „delta” citit invers), dar mai târziu oamenii de știință englezi, inclusiv O. Heaviside , au început să numească acest simbol „nabla” din cauza asemănării cu scheletul vechiului instrument muzical asirian . nabla , iar operatorul a fost numit operatorul Hamilton , sau operatorul nabla [3] . $\nabla$

Potrivit unor surse [4] , este o literă din alfabetul fenician , a cărei origine este asociată cu un instrument muzical precum harpa, deoarece „ναβλα” (nabla) în greaca veche înseamnă „harpă”. Nablius este un fel de harpă [5] . $\nabla$

Exemple

$z=xy,\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j}}=y{\ vec {i}}+x{\vec {j}}$
$z=30yx^{3},\nabla z={\partial z \over \partial x}{\vec {i)}+{\partial z \over \partial y}{\vec {j)} =90yx^{2}{\vec {i}}+30x^{3}{\vec {j}}$

Vezi și

Note

↑ În alte sisteme de coordonate - vezi linkul de mai jos.
↑ Această dimensiune n , adică dimensiunea spațiului în care acționează operatorul, este indicată explicit sau este subînțeles din formularea teoriei sau problemei corespunzătoare.
↑ „Integrale multiple și curbilinii. Elemente de teoria câmpului” , V. R. Gavril, E. E. Ivanova, V. D. Morozova. Matematică la Universitatea Tehnică VII, Editura Universității Tehnice de Stat Bauman Moscova .
↑ Manturov O. V. et al. Matematica în concepte, definiții și termeni / Ed. L. V. Sabinina. - T. 2. - M .: Educație , 1982.
↑ Stolyarov A. Note // Senkevici G. Kamo vine. - L .: Lenizdat, 1990. - S. 692.

Calcul diferenţial

Principal

vederi private

Operatori diferențiali
( în diferite coordonate )

Prima comanda	Operator Nabla Gradient Divergenţă Rotor Helmholtzian
a doua comanda	Operator eliptic operator Laplace Operator vectorial Laplace operator D'Alembert Operator Laplace-Beltrami
ordine superioare	Operator hipoeliptic

subiecte asemănătoare