Câmp tensor

Un câmp tensor este o mapare care atribuie un tensor fiecărui punct al spațiului luat în considerare .

Definiție

Formal, un câmp tensor poate fi definit în mai multe moduri.

Definiție în termenii noțiunii de structură pe o varietate

Folosind conceptul de bază al geometriei diferențiale - structura pe varietate - putem da următoarea definiție:

Fie , și un spațiu de tensori de tip cu o reprezentare tensorală naturală a grupului , atunci structura de tip este o structură liniară de ordinul întâi și se numește câmp tensor (sau structură tensorală ) de tip . $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{q}^{p}=(({\overset {p}{\otimes }}V))\otimes (({\overset {q}{\otimes }}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$

Definiție prin noțiunea de mănunchi tensor

Când definiți un câmp tensor, se poate porni de la conceptul de pachet tensor .

Un câmp tensor este o secțiune a unui fascicul tensor pe o varietate diferențiabilă care este izomorfă în cazul general cu produsul tensor al fasciculelor tangente și cotangente . $T^{{p,\;q}}(M)$ $M$

T^{{p,\;q))(M)\cong {\overset {p}{\otimes }}T(M)\otimes {\overset {q}{\otimes }}T(M)^{ *}.

Definiție nestrictă

Mai puțin formal, un câmp tensor poate fi privit ca o mapare care atribuie un tensor de valență constantă fiecărui punct al varietatii luate în considerare. $M$

Domeniul de aplicare

Conceptul de câmp tensor apare în mod natural în mecanică și fizica continuumului în descrierea mediilor anizotrope . Conceptul de câmp tensor își găsește aplicare în toate științele aplicate, unde astfel de medii sunt luate în considerare și studiate. Este inclus în aparatul matematic al relativității generale și restrânse .

Câmp tensor extins

Conceptul de câmp tensor extins apare ca rezultat al extinderii conceptului de câmp tensor în sensul menționat mai sus.

Definiție nestrictă

Cel mai simplu mod de a înțelege o astfel de extensie se bazează pe o definiție non-strictă, conform căreia un câmp tensor este o mapare care asociază cu fiecare punct al varietății un tensor cu valență fixă legat de acest punct . Să fie acum o altă varietate care este un pachet de linii peste , și să fie proiecția canonică pentru un astfel de pachet. Atunci câmpul tensor extins este o mapare care atribuie fiecărui punct al varietății un anumit tensor de valență fixă pe , referitor la punctul . $\displaystyle x$ $\displaystyle M$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle x$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle M$ $\displaystyle \pi :{\tilde M}\la M$ $\displaystyle y$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle (p,q)$ $\displaystyle {\tilde M}$ $\displaystyle x=\pi (y)$

Literatură

Enciclopedie matematică / Ed. I. M. Vinogradova . - M . : Mir, 1965. - T. 5. - S. 333. - 1060 p.
Rashevsky, P. K. Riemann geometrie și analiză tensorială . - Ed. a 3-a. — M .: Nauka, 1967. — 664 p.