Structură (geometrie diferențială)

În geometria diferențială , o structură pe o varietate , o cantitate geometrică sau un câmp de obiecte geometrice este o secțiune a unui pachet asociat cu pachetul principal de coframe ale unei varietăți . Intuitiv, o mărime geometrică poate fi privită ca o mărime a cărei valoare depinde nu numai de punctul varietății , ci și de alegerea coreperului, adică de alegerea sistemului de coordonate infinitezimal în punct (vezi și Harta ). $M$ $X$ $M$ $X$

O definiție formală a unei structuri pe o varietate

Pentru a defini în mod formal structuri pe o varietate, luați în considerare — un grup diferențial general de ordine (grupul de -jet la zero al transformărilor spațiale care păstrează originea coordonatelor), — o varietate de co-cadre de ordin de ordinul unei varietăți -dimensionale ( adică o varietate de -jeturi de hărți locale cu originea în punctul ). $GL^{k}(n)$ $k$ $k$ $\mathbb {R} ^{n}$ $M_{k}$ $k$ $n$ $M$ $k$ $j_{x}^{k}(u)$ $u:M\supset U\to \mathbb {R} ^{n}$ $x=u^{-1}(0)$

Grupul acționează din stânga asupra varietății prin formula $GL^{k}(n)$ $M_{k}$

j_{0}^{k}(\varphi)j_{0}^{k}(u)=j_{x}^{k}(\varphi \circ u),\quad j_{0}^ {k}(\varphi)\în GL^{k}(n),\quad j_{x}^{k}(u)\în M_{k}.

Această acțiune definește structura unui pachet principal numit pachet coframe de ordine . $M_{k}$ $GL^{k}(n)$ $\pi _{k}:M_{k}\la M$ $k$

Să fie acum o varietate arbitrară , adică o varietate cu o acțiune din stânga a grupului , și să fie a spațiul orbitelor acțiunii din stânga a grupului în . Mănunchiul , care este proiecția naturală a spațiului de orbite pe și asociat cu ambele și cu , se numește mănunchiul de structuri geometrice de tipul de ordin cel mult , iar secțiunile sale sunt numite structuri de tipul . Structurile de acest tip sunt într-o corespondență naturală unu-la-unu cu mapările -zquivariant . $W$ $GL^{k}(n)$ $GL^{k}(n)$ $W(M)$ $GL^{k}(n)$ $M_{k}\times W$ $\pi _{W}:W(M)\la M$ $M$ $W$ $M_{k}$ $W$ $k$ $W$ $GL^{k}(n)$ $S:M_{k}\la W$

Astfel, structurile de tip pot fi considerate ca o funcție cu valoare pe o varietate de cadre care satisface următoarea condiție de echivarianță: $W$ $W$ $S$ $M_{k}$ $k$

S(gu^{k})=gS(u^{k}),\quad g\in GL^{k}(n),\quad u^{k}\in M_{k}.

Un mănunchi de obiecte geometrice este un fascicul natural în sensul că grupul difeomorfism al unei varietăți acționează ca un grup automorfism . $M$ $\pi _{W}$

Dacă există un spațiu vectorial cu o acțiune de grup liniară (respectiv afină) , atunci se spune că structurile de tip sunt liniare (respectiv afine ). $W$ $GL^{k}(n)$ $W$

Exemplele principale de structuri liniare de ordinul întâi sunt structurile tensorale sau câmpurile tensorale . Fie , și spațiul tensorilor de tip cu reprezentarea tensorului natural al grupului . O structură de tip se numește câmp de tip tensor . Poate fi considerată ca o funcție vectorială pe varietatea de coframe , care atribuie coreperului un set de coordonate ale tensorului în raport cu baza standard. $V=\mathbb{R} ^{n}$ $V^{*}={\mathrm {Hom}}\,(V,\;\mathbb{R} )$ $V_{g}^{p}=((\otimes ^{p}V))\otimes ((\otimes ^{q}V^{*}))$ $(p,\;q)$ $GL^{1}(n)=GL(n)$ $V_{q}^{p}$ $(p,\;q)$ $M_{1}$ $\theta =j_{1}^{1}(u)=(du^{1},\;du^{2},\;\ldots ,\;du^{n})$ $S(\theta)_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$ $S(\theta)\in V_{q}^{p)$

\{e_{i_{1}}\otimes e_{i_{2}}\otimes \ldots \otimes e_{i_{p}}\otimes e^{*j_{1}}\otimes e^{ *j_{2}}\otimes \ldots \otimes e^{*j_{q}}\}

spatii . Cu o transformare liniară coroner , coordonatele sunt transformate într-o reprezentare tensorală: $V_{q}^{p}$ $\theta \to g\theta =(g_{a}^{i}\,du^{a})$ $S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{p}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}$

S_{j_{1}j_{2}\ldots j_{q}}^{i_{1}i_{2}\ldots i_{p}}(q\theta )=g_{a_{1}} ^{i_{1}}g_{a_{2}}^{i_{2}}\ldots g_{a_{p}}^{i_{p}}(g^{-1})_{j_{1 }}^{b_{1}}(g^{-1})_{j_{2}}^{b_{2}}\ldots (g^{-1})_{j_{q}}^{ b_{q}}S(\theta)_{b_{1}b_{2}\ldots b_{q}}^{a_{1}a_{2}\ldots a_{p}}.

Cele mai importante exemple de structuri tensorale sunt:

Toate structurile liniare (de orice ordin) sunt epuizate de supertensorii lui Rashevsky [1] .

Un exemplu de structură afină de ordinul doi este o conexiune afină fără torsiune , care poate fi considerată ca o structură de tip , unde este nucleul homomorfismului natural , care poate fi considerat ca un spațiu vectorial cu o acțiune de grup naturală . $V_{(2)}^{1}$ $V_{(2)}^{1}\aprox V\otimes S^{2}V^{*}$ $GL^{2}(n)\la GL^{1}(n)$ $GL^{2}(n)=GL(n)V_{(2)}^{1}$

O altă clasă importantă și destul de largă de structuri este clasa structurilor infinitezimal omogene , sau -structuri . Ele pot fi definite ca structuri de tip , unde este spatiul omogen al grupului . $W$ $W=GL^{k}(n)/G$ $GL^{k}(n)$

Pentru o generalizare suplimentară, putem lua în considerare -structuri generale - fascicule principale mapate homomorf pe o -structură și secțiuni ale pachetelor asociate cu acestea. În acest caz, pot fi luate în considerare o serie de structuri geometrice generale importante, cum ar fi structurile spinoare , structurile spinoare simplectice etc. $G$ $G$

Literatură

Bourbaki, N. Teoria seturilor / Per. din franceza - M . : Mir, 1965. - 457 p.
Veblen, O., Whitehead, J. Fundamentele geometriei diferenţiale . - M. : IIL, 1949. - 230 p.
Sternberg, S. Prelegeri despre geometrie diferenţială . - M . : Mir, 1970. - 413 p.
Vasiliev, A. M. Teoria structurilor diferenţial-geometrice . - M. : MGU, 1987. - 190 p.
Laptev G. F. Structuri infinitezimale de bază de ordine superioară pe o varietate netedă // Proceedings of the Geometrical Seminar. - vol. 1. - M . : VINITI , 1966, p. 139-189.

Vezi și

Note

↑ Rashevsky P.K. Proceedings of the Moscow Mathematical Society. - 1957. - v. 6. - p. 337-370.