Teorema de descompunere a lui Bogomolov

Teorema de descompunere a lui Bogomolov descrie structura varietăților Kähler cu un mănunchi canonic banal (sau, mai general, având o primă clasă Chern reală a fasciculului canonic egală cu zero). Pentru informații despre colectoarele de acest tip, consultați articolul despre colectoare Calabi-Yau .

Formulare

Fie o varietate Kähler compactă, fie pachetul său canonic și . Apoi există o acoperire finită astfel încât un izomorfism holomorf să fie valabil , unde: $X$ $K_{X}=\Lambda ^{\dim X}T^{*}X$ $c_{1}(K_{X})=0\in H^{2}(X,\mathbb {R} )$ ${\widetilde {X}}\la X$ ${\widetilde {X}}=T\times \prod _{j}Y_{j}\times \prod _{k}Z_{k)$

$T$ este un tor complex ,
$Y_{j)$ sunt soiuri stricte Calabi-Yau , adică soiuri cu o clasă canonică banală astfel încât și pentru . $h^{0,0}(Y_{j})=h^{\dim Y_{j},0}(Y_{j})=1$ $h^{p,0}(Y_{j})=0$ $0<p<\dim Y_{j)$
$Z_{k}$ sunt varietăți simplectice holomorfe ireductibile , adică varietăți care admit o formă 2 holomorfă închisă degenerată nicăieri, astfel încât pentru par și impar pentru . $h^{q,0}(Z_{k})=1$ $q$ $h^{q,0}(Z_{k})=0$ $0\leqslant q\leqslant \dim Z_{k)$

Iată numerele Hodge , dimensiunile spațiilor claselor de coomologie de Rham reprezentate prin forme de tip Hodge . $h^{r,s)$ $(r,s)$

Istorie

A fost dovedită o versiune timpurie a teoremei de descompunere, care nu făcea distincție între varietățile Calabi-Yau și varietățile simplectice holomorf și a afirmat doar existența unei acoperiri finite care se împarte în produsul unui tor complex și a grupurilor pur și simplu conectate cu mănunchiuri canonice banale. de Calabi sub asumarea presupunerii numelui său în anul 1957. [1] Conjectura Calabi a fost demonstrată de Yau în 1977-1978.

Dovada originală a lui Bogomolov , publicată într-o serie de articole în 1973 și 1974, [2] [3] [4] nu a folosit teorema Calabi-Yau. Cu toate acestea, se bazează pe următoarea afirmație complexă:

Lema. Fie o varietate Kähler compactă pur și simplu conectată cu un mănunchi canonic trivial și să fie un subcopa de rang al cărui grad exterior cel mai înalt este , de asemenea, un pachet trivial. Apoi are loc o descompunere și . $M$ $E\subsetTM$ $m$ $\Lambda ^{m}E$ $M=Q\times R$ $TQ=E$

Fără asumarea trivialității celui mai înalt grad exterior al subsopului luat în considerare, aceasta este o întrebare extrem de dificilă, care nu a fost încă pe deplin rezolvată. Cum anume această presupunere ajută la demonstrație nu este complet clar (deși odată cu ea afirmația devine adevărată, fie și numai pentru că ea însăși decurge din teorema lui Bogomolov).

După soluția lui Yau a conjecturii Calabi, o demonstrație complet riguroasă a teoremei lui Bogomolov a devenit cunoscută pe scară largă printre specialiști. A fost publicată oficial în lucrarea lui Beauville din 1983 Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle , [5] motiv pentru care teorema este uneori numită „teorema Beauville-Bogomolov” sau „teorema Beauville-Bogomolov-Calabi”. În plus, Beauville a corectat o eroare esențială a lui Bogomolov: în lucrarea din 1978, Varietăți hamiltoniene Kähleriane [6] , Bogomolov a prezentat o întărire esențială a teoremei de descompunere, conform căreia fiecare varietate simplectică holomorfică ireductibilă (cum le numește Bogomolov, o varietate hamiltoniană primitivă ). ) este o suprafață K3 . Beauville a remarcat că schema Hilbert a subschemelor zero-dimensionale pe o suprafață K3 poate servi ca un contraexemplu pentru această afirmație. Din această observație a apărut o ramură vastă a geometriei complexe numită geometrie holomorfică simplectică sau geometrie hiperkähleriană.

În același timp, soluția lui Yau la conjectura Calabi folosește tehnici dificile din teoria ecuațiilor cu diferențe parțiale, în timp ce demonstrația lui Bogomolov este mult mai geometrică în natură.

Schița dovezii

Conform conjecturii lui Yau Calabi, o varietate Kähleriană compactă a cărei clasă Chern reală a pachetului său canonic este zero admite o metrică Kähleriană Ricci-plată. Holonomia sa constă în grupul unitar special ; prin teorema de descompunere a lui de Rham, acoperirea universală a acestei varietăți se împarte într-un produs , unde sunt pur și simplu conectate varietăți compacte Kähler cu un grup de holonomie ireductibil aflat în . În special, aceste varietăți sunt ele însele Ricci-plate; Din teorema Cheeger-Gromall rezultă că acestea sunt compacte și, deoarece curbura Ricci a unei varietăți Kähler simetrice este strict pozitivă, aceste varietăți nu sunt simetrice local, deci grupul lor de holonomie este unul dintre grupurile din tabloul Berger . Dintre aceste grupuri, doar grupurile și pot fi cuprinse în (grupul de transformări unitare ale unui spațiu cuaternion, sau, echivalent, grupul de transformări hermitiene care păstrează un complex nedegenerat sw-simetric 2-form); ele corespund unor varietăți stricte de Calabi-Yau și varietăților simplectice holomorfe ireductibile: într-adevăr, conform principiului lui Bochner privind varietățile Kähleriene cu curbură Ricci zero, tensorii holomorfi sunt paraleli, deci secțiunile din formele holomorfe sunt paralele și sunt date de vectori invarianți la acea reprezentare a puterii exterioare a grupului de holonomie pe spațiul cotangent, în acest caz, reprezentarea co-autologică a grupului sau . În primul caz, vectorul invariant există numai pentru , când puterea exterioară este trivială, și , când vectorul invariant este dat de forma complexă a volumului. În al doilea, fiecare vector invariant este proporțional cu , unde este forma complexă 2 păstrată de grupul . ${\mathrm {SU}}(n)$ $\mathbb {C} ^{k}\times \prod X_{i}$ $X_{i}$ ${\mathrm {SU}}(n)$ ${\mathrm {SU}}(n)$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $H^{p,0}$ $p$ $p$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $p=0$ $p=m$ $\Omega \wedge \Omega \dots \Omega =\Omega ^{\wedge p)$ $\Omega$ $\mathrm {Sp} (2m)$

Rămâne să se dovedească existența unei acoperiri finite după care acești factori simpli conectați compacti se desprind. Notăm produsul lor prin , ceea ce înseamnă că grupul fundamental acționează asupra . Rețineți că grupul de automorfism este discret: altfel ar exista o acțiune asupra unui câmp vectorial holomorf, care, în virtutea principiului Bochner menționat mai sus, trebuie să fie paralel. Astfel, în reprezentarea tautologică a grupurilor sau ar exista un vector invariant, ceea ce este absurd. Din unicitatea descompunerii lui de Rham rezultă că acțiunea grupului fundamental asupra învelișului universal își păstrează descompunerea , cu alte cuvinte, fiecărui element îi corespunde transformările și . Să existe un nucleu de mapare ; acţionează liber asupra păstrând metrica hermitiană, iar coeficientul prin această acţiune este compact. Conform teoremei Bieberbach asupra grupurilor cristalografice , subgrupul său , constând din translații paralele, are un indice finit. Prin urmare , există un factor compact al unui spațiu afin de către un grup format din translații paralele, adică un tor complex ; husele produsului , ceea ce este necesar. $M$ $\pi _{1}(X)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $M$ $M$ $\mathrm {SU} (m)$ $\mathrm {Sp} (2m)$ $\mathbb {C} ^{k}\times M$ $u\in \pi _{1}(X)$ $u_{1}\colon \mathbb {C} ^{k}\la \mathbb {C} ^{k)$ $u_{2}\colon M\to M$ $\Gamma \subset \pi _{1}(X)$ $u\mapsto u_{2}$ $\mathbb {C} ^{k)$ $\mathbb {C} ^{k)$ $\Gamma '\subset \Gamma$ $\Gamma$ $\mathbb {C} ^{k}/\Gamma '$ $T$ $T\times M=T\times \prod Y_{i}\times \prod Z_{j)$ $X$

Consecințe și generalizări

Rezultă direct din expansiunea Bogomolov că grupul fundamental al unei varietăți Kähleriane compacte cu un mănunchi canonic plat are o structură foarte simplă, și anume, se mapează la un grup abelian liber cu un nucleu finit. Grupurile fundamentale ale varietăților Kähler compacte arbitrare pot fi mult mai complicate.

Campana , Dumai și Peternel au investigat o generalizare a teoremei de descompunere a lui Bogomolov pentru cazul varietăților cu un mănunchi anticanonic semipozitiv hermitian (adică unul care admite o conexiune hermitiană netedă a cărei curbură este o formă semipozitivă). La blocurile din teorema lui Bogomolov se adaugă în teorema lor câteva clase de varietăți rațional conectate. [7]

Există, de asemenea, generalizări parțiale ale teoremei lui Bogomolov pentru varietăți singulare, cum ar fi cele cu klt-singularități . [8] Având ca nucleu studiul varietăților cu folii algebrice, ele arată importanța ideilor geometrice care stau la baza demonstrației lui Bogomolov.

Note

↑ E. Calabi. Pe varietățile Kähler cu clasa canonică disparibilă, geometrie algebrică și topologie. Un simpozion în onoarea lui S. Lefschetz, pp. 78–89. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1957.
↑ F. A. Bogomolov. Despre soiurile cu o clasă canonică trivială , Uspekhi Mat . Nauk , 1973, volumul 28, numărul 6(174), paginile 193–194
↑ F. A. Bogomolov. Varietăți Kähleriene cu clasă canonică trivială Arhivată 21 iunie 2022 la Wayback Machine , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. matematica. , 1974, volumul 38, numărul 1, paginile 11–21
↑ F. A. Bogomolov. Despre descompunerea varietăților Kähler cu o clasă canonică trivială Arhivat 27 iulie 2013 la Wayback Machine , Mat. sat. , 1974, volumul 93(135), numărul 4, paginile 573-575
↑ A. Beauville. Variétés Kähleriennes dont la première classe de Chern est nulle Arhivat 21 decembrie 2019 la Wayback Machine , J. Differential Geom., Volumul 18, Numărul 4 (1983), 755-782.
↑ F. A. Bogomolov. Varietăți hamiltoniene Kähler , Dokl. Academia de Științe a URSS , 1978, volumul 243, numărul 5, paginile 1101–1104
↑ F. Campana, J.-P. Demailly, Th. Peternell. Varietăți conectate rațional și semipozitivitatea curburii Ricci Arhivat 21 februarie 2022 la Wayback Machine , 2012
↑ F. Campana. Descompunerea Bogomolov-Beauville-Yau pentru soiurile proiective Klt cu clasa prima trivială Chern -Without Tears- Arhivat 2 septembrie 2020 la Wayback Machine , 2020