Suprafata K3

O suprafață K3 este o suprafață complexă conexă , pur și simplu conectată , compactă (adică o varietate complexă de dimensiune complexă doi) care admite o formă diferențială holomorfă degenerată nicăieri de gradul doi. În geometria algebrică , unde varietățile sunt considerate peste alte câmpuri decât numere complexe , o suprafață K3 este o suprafață algebrică cu un pachet canonic trivial care nu admite forme algebrice 1. [unu]

Quartic în $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$

Unul dintre cele mai simple exemple de suprafețe K3 este dat de suprafețele netede de gradul al patrulea într-un spațiu proiectiv complex . Pentru a demonstra că aceste suprafețe satisfac definiția unei suprafețe K3, totuși, este necesară o anumită familiaritate cu teoria fasciculelor de linii.

Și anume, din punctul de vedere al fasciculelor de linii, funcțiile omogene de grad pe un spațiu proiectiv sunt secțiuni ale unui fascicul de linii , gradul --lea al unui fascicul tautologic . Dacă este un pachet de linii și este secțiunea sa, în plus, nivelul său zero este o subvarietă netedă, atunci diferența sa determină în fiecare punct o mapare al cărei nucleu este exact . Astfel, ținând cont de netezimea lui , avem un izomorfism de fascicule . Acest factor se numește pachetul normal ; în special, vedem că pachetul normal la un quartic neted este izomorf cu . $n$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$ ${\mathfrak {O}}(n)$ $n$ ${\mathfrak {O}}(1)$ $L\la X$ $s\in \Gamma (L)$ $Y=\{x\in X\colon s(x)=0\}$ $ds$ $y\în Y$ $T_{y}X\la L_{y}$ $T_{y}Y$ $Y$ $TX|_{Y}/TY{\xrightarrow {ds}}L|_{Y}$ $TX|_{Y}/TY=\nu _{Y/X}$ $Y=Y_{4}\subset \mathbb {C} \mathrm {P} ^{3)$ ${\mathfrak {O}}(4)|_{Y}$

Pe de altă parte, pachetul normal se încadrează în secvența exactă . Dualizând, obținem succesiunea exactă și, calculând cea mai mare putere externă și utilizând proprietățile ei functoriale, avem un izomorfism de fascicule de linii , sau, prin dualitate, (această formulă se numește formulă de adjuvant ). Aplicând formula de adăugire în cazul în care (al cărui fascicul canonic este izomorf conform secvenței exacte a lui Euler ), avem . În special, când este o suprafață netedă de grad , pachetul său canonic este trivial. Pentru aceasta rezultă că o curbă cubică netedă în plan este o curbă eliptică , deoarece aceasta implică prezența unei forme 2 holomorfe care nu dispare nicăieri pe o suprafață de gradul patru în spațiul proiectiv (în general, rezultă din aceasta că o suprafață netedă de gradul c este o varietate Calabi-Yau ). $0\la TY\la TX|_{Y}\la \nu _{Y/X}$ $0\to \nu _{Y/X}^{*}\to T^{*}X|_{Y}\to T^{*}Y\to 0$ $K_{X}|_{Y}\cong K_{Y}\otimes \nu _{Y/X}^{*}$ $K_{Y}\cong K_{X}|_{Y}\otimes \nu _{Y/X}$ $X=\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)$ ${\mathfrak {O}}(-m-1)=K_{Y}\otimes \nu _{Y/\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}}^{*}$ $Y$ $m+1$ $m=2$ $m=3$ $m+1$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{m}$

Rămâne de demonstrat că quartica este pur și simplu conectată. Pentru a face acest lucru, luați în considerare o încorporare într-un sistem liniar , în raport cu care secțiunile hiperplane decupează exact zero niveluri de polinoame omogene de gradul patru pe imagine (astfel, quartica noastră este o secțiune hiperplană adecvată a imaginii sub o astfel de încorporare). Prin teorema secțiunii hiperplanului Lefschetz , stabilește un izomorfism al grupurilor fundamentale , iar grupul fundamental al unui spațiu proiectiv complex este cunoscut a fi trivial. Astfel, un quartic neted este, de asemenea, simplu conectat și, prin urmare, este o suprafață K3. ${\mathfrak {O}}(4)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}\la \mathbb {C} \mathrm {P} ^{34)$ $Y$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\pi _{1}(Y)\to \pi _{1}(\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3})$ $Y$

În cele de mai sus, singura proprietate fundamentală este că fasciculul dual cu fasciculul canonic are o secțiune al cărei nivel zero este o suprafață netedă. Orice Fano tridimensional are aceeași proprietate , de exemplu . În acest caz, mănunchiul anticanonic este limitat la fiecare dintre factori ca propriul fascicul anticanonic, adică , astfel încât fiecare divizor anticanonic intersectează fiecare dintre aceste „axe coordonate” în două puncte. Astfel, o astfel de suprafață K3 va avea trei involuții : permutarea punctelor de intersecție cu primul, al doilea și al treilea factor. Există, de asemenea, o pereche similară de involuții pe curba în , care intersectează ambii factori de două ori. După cum se știe, este biholomorfă cu cvadrica în , iar o astfel de curbă este o curbă eliptică situată pe cvadrică. Aceste două involuții vor genera în acest caz acțiunea unui grup , un produs liber , izomorf la grupul infinit al diedrului . Astfel, fie orbitele acestei acțiuni pe curba eliptică sunt dense, fie această acțiune trece printr-un factor finit (adică un grup diedric de ordin finit), iar toate orbitele sale sunt finite. Această afirmație are o încarnare în geometria elementară cunoscută sub numele de porism Poncelet . În cazul unei suprafețe K3, trei involuții dau naștere unui produs triplu liber mult mai complicat , ceea ce este interesant din punct de vedere al dinamicii holomorfe . $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1} \times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1} \times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1)$ ${\mathfrak {O}}_{\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}}(2)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}\times \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{3}$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$ $\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2*\mathbb {Z} /2$

Suprafețele Ricci-flat metric și Kummer K3

Toate suprafețele K3 sunt Kähleriene (acest lucru a fost demonstrat de Sioux ). Deoarece au o formă holomorfă de cel mai înalt grad care nu dispare nicăieri, li se aplică teorema Calabi-Yau , adică pentru fiecare clasă reprezentată ca formă simplectică a metricii Kähler , există o metrică de curbură Ricci zero în această clasă. . În același timp, această metrică nu poate fi scrisă în mod explicit: teorema Calabi-Yau este doar o teoremă de existență , dar în niciun caz o construcție explicită. $[\omega _{g}]$ $g$

Singurul caz în care există cel puțin o anumită aproximare este cazul așa-numitelor suprafețe Kummer. Să fie un tor complex, adică un factor , unde este o rețea de rangul patru. Luați în considerare varietatea coeficientului . Forma standard holomorfă 2 pe (descrescătoare de la ) este invariantă la înmulțirea cu , deci coboară la un loc nesingular în factor. Singularităţile au forma ; explodarea într-o astfel de singularitate este local pachetul cotangent la , iar forma 2 holomorfă standard poate fi extinsă la o astfel de explozie. Singularitățile sunt exact 2 puncte de torsiune pe un tor cu patru dimensiuni, există câteva dintre ele. Deci, aruncând în aer aceste singularități pătratice, se poate obține o suprafață cu o clasă canonică banală. Este ușor de văzut că este pur și simplu conectat. O astfel de suprafață K3 se numește suprafață Kummer K3 asociată cu un tor complex . Spre deosebire de exemplele anterioare, o astfel de suprafață poate să nu mai fie încorporată într-un spațiu proiectiv dacă torul original nu a fost proiectiv . $A$ $\mathbb {C} ^{2}/\Lambda$ $\lambda$ $A/\{x\sim -x\}$ $dz\wedge dw$ $A$ $\mathbb {C} ^{2}$ $-unu$ $\mathbb {C} ^{2}/\{\pm 1\)$ $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $A/\{\pm 1\)$ $2^{4}=16$ $16$ $A$ $A$

Metrica Ricci-plată asupra spațiului total al fasciculului cotangent holomorf k este destul de cunoscută: este metrica Calabi-Eguchi-Hanson. Întrebarea analitică dificilă este cum să o lipiți cu o metrică plată pe partea netedă a factorului torus atunci când sunt introduse noi curbe raționale. Pentru a face acest lucru, ambele valori trebuie modificate la nivel global. Această întrebare a fost studiată de Donaldson . [2] În optica sa, el este preocupat de întrebările despre construcțiile de varietati cu holonomie specială (cum ar fi G2-varietăți ), care, spre deosebire de suprafețele K3, nu au o descriere algebrică-geometrică. $\mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$

Topologia suprafețelor K3

Topologia suprafețelor Kummer K3 este deosebit de clară. Așadar, cel de-al doilea număr Betty este egal cu : provine din torul original cu patru dimensiuni și - din șaisprezece curbe suflate. Prin urmare, caracteristica lor Euler este egală cu . $b_{2}$ $6+16=22$ $6$ $16$ $1+22+1=24$

Se dovedește că același lucru este valabil și pentru orice altă suprafață K3: toate suprafețele K3 sunt difeomorfe. Mai mult, ele sunt ceea ce se numește echivalent de deformare : oricare două structuri complexe ale unei suprafețe K3 pot fi conectate printr-o cale continuă în spațiul tuturor structurilor complexe. Rețeaua cu forma sa nativă de intersecție este izomorfă cu , unde este o rețea E8 și este o rețea hiperbolic standard. În special, semnătura celei de-a doua rețele de coomologie este . $H_{2}(K3,\mathbb {Z} )$ $E_{8}(-1)^{\oplus 2}\oplus U^{\oplus 3)$ $E_8$ $U$ $(3,19)$

Deoarece toate suprafețele K3 sunt Kähleriene, este logic să vorbim despre numerele lor Hodge : pentru toate suprafețele K3 ele sunt egale cu , . De aici, folosind teorema indicelui Hodge, este ușor să deducem afirmația despre semnătură. $h^{2,0}=h^{0,2}=1$ $h^{1,1}=20$

Suprafețe eliptice K3

Geometria suprafețelor K3, pe care există o curbă eliptică , este destul de remarcabilă . Și anume, fie o suprafață K3 și fie o curbă eliptică. Din formula de adjuvant (vezi mai sus) stim ca . Dar pachetul canonic atât pentru o suprafață K3, cât și pentru o curbă eliptică este trivial. Prin urmare, mănunchiul normal al unei curbe eliptice este, de asemenea, banal. Aceasta înseamnă că o curbă eliptică pe o suprafață K3 admite o familie de deformații care nu intersectează această curbă (și între ele). Aceste deformații (inclusiv cele degenerate) vor fi parametrizate printr-o curbă rațională , adică o curbă eliptică pe suprafața K3 definește o mapare ale cărei fibre sunt și deformațiile sale. Această familie este numită snopi Lefschetz sau mănunchi eliptic . O astfel de suprafață K3 în sine se numește suprafață eliptică K3 . $X$ $E\subset X$ $K_{E}\cong K_{X}|_{E}\otimes \nu _{E/X}$ $E\subset X$ $X\to \mathbb {C} \mathrm {P} ^{1}$ $E$

Un fascicul eliptic pe o suprafață K3 are întotdeauna fibre singulare (deoarece caracteristica Euler a unei suprafețe K3 este , în timp ce cea a unei curbe eliptice este zero). Dacă toate straturile sunt cât mai simple posibil - adică doar foi carteziene cu caracteristica Euler , atunci ar trebui să existe straturi speciale (în general, vor fi mai puține). Pe baza din afara punctelor, frunzele peste care sunt singulare, există o legătură plată , numită legătura Liouville-Arnold . Monodromia unei astfel de conexiuni se află în grupul . Luați în considerare grupul obținut ca preimagine în învelișul universal . Aceasta este o extensie centrală cu . Notați generatorul acestui subgrup ciclic ca . Rezultă că există un homomorfism astfel încât . Un analog al teoremei Gauss-Bonnet , dovedit de Kontsevich și Soibelman , afirmă că dacă există o legătură plată cu monodromie pe o suprafață cu perforații , atunci egalitatea este valabilă , unde este monodromie în jurul puncției . În special, dacă toate sunt egale cu unul, obținem toate aceleași douăzeci și patru de puncții. [3] $24$ $unu$ $24$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ ${\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )}}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )\subset \mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\pi _{1}(\mathrm {SL} (2,\mathbb {R} )\cong \mathbb {Z}$ $u$ $i\colon {\widetilde {\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )))\la \mathbb {Z}$ $i(u)=12$ $S$ $n$ $x_{1},\dots ,x_{n}$ $\mathrm {SL} (2,\mathbb {Z} )$ $\sum _{k=1}^{n}i(\gamma _{k})=12\chi (S)$ $\gamma _{k}$ $x_k$ $i(\gamma _{k})$

Teorema lui Torelli

Dacă există o familie holomorfă de suprafețe K3 pe discul unității, atunci fasciculul celei de-a doua coomologie a acestora este banalizat de conexiunea Gauss-Manin . Cu toate acestea, ca o variație a structurilor Hodge , nu va mai fi banal (dacă familia în sine nu a fost trivială).

O structură Hodge de tipul celei de-a doua coomologie K3 este determinată în mod unic de linia generată de clasa formei 2 holomorfe . Deoarece există o formă de volum a unei metrici Ricci-plate, a este înmulțită cu ea însăși cu zero, această linie este izotropă în raport cu forma de intersecție. Astfel, poate să se afle doar pe o cuadrică netedă în . Condiția evidențiază un subset deschis pe această cvadrică. Poate fi descris ca un spațiu omogen după cum urmează . $H^{2,0}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $\Omega$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega })$ $\Omega \wedge \Omega =0$ $\mathrm {P} (H^{2}(K3,\mathbb {C} ))$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$

Să luăm în considerare un spațiu bidimensional . Este invariant la conjugarea complexă și, prin urmare, este o complexificare a unui subspațiu real bidimensional . Definim un operator real pe el ca înmulțire cu along și prin along . În planul real , acest operator acționează ca o rotație și astfel definește o orientare. Din relație rezultă că forma intersecției pe acest plan este definită pozitiv. În schimb, dacă există un astfel de plan, atunci există exact două linii izotrope în complexificare, iar alegerea doar a uneia dintre ele oferă orientarea necesară. Astfel, submulțimea deschisă necesară în cvadrică este aceeași cu mulțimea de planuri bidimensionale orientate cu un produs scalar pozitiv-definit în spațiul semnăturii . Grupul de izometrie al unui astfel de spațiu acționează tranzitiv pe astfel de planuri cu un stabilizator . Deci, acest factor se numește spațiu de perioadă . Aceasta, după cum se poate observa din descriere ca submulțime deschisă în cvadrică, este o varietate complexă (același lucru se poate observa și din descrierea reală, identificând planul bidimensional orientat cu planul Argand , adică pur și simplu prin complex numere – echivalența acestor descrieri este un exercițiu ușor). Asociată cu fiecare familie de suprafețe K3 de pe un disc este o hartă holomorfă de la disc la acest spațiu de perioadă, numită hartă de perioadă . Teorema locală a lui Torelli afirmă că o familie de suprafețe K3 de pe un disc mic poate fi recuperată în mod unic din harta sa perioadei. $\mathrm {span} \{[\Omega],[{\bar {\Omega}}]\}\subset H^{2}(K3,\mathbb {C} )$ $U_{\Omega}\subset H^{2}(K3,\mathbb {R} )$ ${\sqrt {-1}}$ $[\Omega]$ $-{\sqrt {-1))$ $[{\bar {\Omega ))]$ $U_{\Omega )$ $90^{\circ }$ $\Omega \wedge {\bar {\Omega }}>0$ $(3,19)$ $\mathrm {SO} (3,19)$ $\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)$ ${\frac {\mathrm {SO} (3,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (1,19)))$

Dacă vrem să luăm în considerare numai suprafețele K3 algebrice, atunci este rezonabil să fixăm clasa de secțiune hiperplană , care este și clasa formei Kähler (suprafețele K3 cu o clasă de secțiune hiperplană fixă se numesc polarizate ). Din moment ce , avem o constrângere suplimentară: . Deoarece , aceasta înseamnă că în acest caz poate lua valori doar într-un subset al spațiului de perioade aranjat ca . Este un factor al unui grup printr-un subgrup compact maxim, iar după teorema lui Cartan este biholomorfă la un domeniu mărginit într-un spațiu complex (în acest caz, ). Acest domeniu este similar cu domeniul Siegel , iar pentru genul doi este strâns legat de acesta: maparea unei suprafețe abeliene la suprafața sa Kummer K3 produce o mapare a domeniului Siegel din genul doi la domeniul perioadei. Formele modulare din acest domeniu oferă o legătură interesantă între teoria clasică a numerelor și geometria algebrică. $[\omega]\in H^{1,1}$ $\Omega \wedge \omega =0$ $[\Omega]\in [\omega]^{\perp )$ $\omega \wedge \omega >0$ $[\Omega]$ ${\frac {\mathrm {SO} (2,19)}{\mathrm {SO} (2)\times \mathrm {SO} (19)))$ $\mathbb {C} ^{1}9$

În același timp, acțiunea grupului ortogonal care păstrează rețeaua asupra spațiului perioadelor este foarte departe de faptul că factorul prin această acțiune are cel puțin o anumită semnificație geometrică. Astfel, imaginea domeniului Siegel din comparația de mai sus este o subvarietă analitică de codimensiune mare, dar în acest caz, orice suprafață K3 algebrică poate fi transformată într-o suprafață K3 Kummer printr-o deformare arbitrar mică - adică deplasările a acestei imagini sub acţiunea reţelei formează un set dens pretutindeni. Prin urmare, pentru a formula o afirmație globală, este mai rezonabil să vorbim nu despre un izomorfism al factorilor, ci despre o mapare holomorfă care comută cu acțiunea unui grup ortogonal întreg. $H^{2}(K3,\mathbb {Z} )$

Și anume, luați în considerare mulțimea tuturor structurilor complexe de tip Kähler pe o suprafață K3. Factorul său prin acțiunea componentei conexe a grupului de diffeomorfism este o varietate complexă netedă, deși este non-Hausdorff (pentru curbe, factorul analog se dovedește a fi Hausdorff și este bine cunoscut ca spațiul Teichmüller ). Atunci harta de identificare a punctelor care nu sunt separate unele de altele prin vecinătăți care nu se intersectează este bine definită, iar coeficientul prin aceasta este o varietate complexă netedă mapată printr-o hartă a perioadelor pe spațiul perioadelor și, în plus, este biholomorf. Această afirmație este teorema Torelli globală.

Degenerări ale suprafețelor K3

Luați în considerare cazul unei familii holomorfe peste un disc, toate fibrele cărora, cu excepția celei centrale, sunt suprafețe K3, iar cea centrală este un divizor special cu intersecții normale, ale căror componente sunt suprafețe netede de multiplicitate unu, și întreg spațiul total este neted. O astfel de familie se numește o degenerare bună . O întrebare similară pentru curbele eliptice (vezi mai sus) a fost studiată de Kodaira : el a arătat că degenerările minime (adică non -blow-off ) ale curbelor eliptice au un mănunchi canonic trivial și a dat o clasificare a acestor degenerări (mai mult sau mai puțin în termeni). a diagramelor Dynkin ). În cazul degenerărilor de suprafață, pe lângă explodarea stratului central, mai apar și așa-numitele modificări - transformări biraționale netriviale ale spațiului total care păstrează straturi și sunt birregulate pe fiecare strat neted. Vic. Kulikov a dovedit că, după unele modificări, spațiul total de degenerare minimă bună a suprafețelor K3 are, de asemenea, un mănunchi canonic banal și că degenerarea poate fi redusă printr-o rearanjare la unul din trei cazuri:

stratul central este o suprafață netedă K3,
stratul central este unirea suprafețelor netede , în plus, suprafața se intersectează numai cu suprafețe , toate intersecțiile sunt curbe eliptice, suprafețe și sunt raționale, iar suprafețele sunt suprafețe eliptice riglate, $V_{1}\cup V_{2}\cup \dots \cup V_{n-1}\cup V_{n)$ $V_i$ $V_{i\pm 1}$ $V_{1}$ $V_{n}$ $V_{2},\dots V_{n-1}$
fibra centrală este uniunea suprafețelor raționale care se intersectează de-a lungul curbelor raționale; un complex ale cărui vârfuri sunt componentele ireductibile ale stratului central, muchiile sunt curbele de-a lungul cărora se intersectează, iar fețele sunt punctele în care converg aceste curbe, este o triangulație a unei sfere bidimensionale.

Un exemplu de degenerescență de tip II conform lui Kulikov este degenerarea unei cuartice netede într-o uniune de două cvadrici (intersecția lor este o curbă eliptică), iar degenerescările de tip III sunt degenerarea unui quartic neted într-o uniune de patru plane ( adică suprafaţa unui tetraedru - dacă vârfurile acestui tetraedru sunt reale, triangulaţia menţionată va fi este duală cu cea dată de acest tetraedru).

Degenerări ale metricii Ricci-plate pe suprafețele K3

Degenerările suprafețelor K3 pot fi tratate în diferite moduri. Pe lângă perspectiva algebrică-geometrică descrisă mai sus, ele pot fi privite din punctul de vedere al geometriei diferențiale. Și anume, fixăm o structură complexă pe suprafața K3 și luăm în considerare conul Kähler , adică conul claselor astfel încât pentru o metrică Kähler . Acesta este un con deschis care se află în conul de clase cu și pentru orice curbă . Datorită teoremei Calabi-Yau, fiecărui punct al acestui con îi corespunde o singură metrică Ricci-plată. Și ce se va întâmpla cu această metrică dacă direcționăm punctul conului către limita sa? $eu$ $X$ ${\mathfrak {C}}_{X}\subset H^{1,1}(X)$ $[\omega ]$ $\omega (x,y)=\omega _{g}(x,y)=g(Ix,y)$ $g$ $\alpha \wedge \alpha >0$ $\int _{C}\alpha >0$ $C\subset X$

Răspunsul depinde, desigur, de punctul de la graniță către care îl îndreptăm. De exemplu, dacă este o suprafață Kummer K3 și este o formă - care se ridică din forma de pe suprafața abeliană cu care este asociată, atunci clasa este eficientă numeric (adică se află în închiderea conului Kähler), și (astfel de clase sunt numite clase de volum ). În același timp, nu este Kählerian, deoarece avem , unde este oricare dintre cele șaisprezece curbe excepționale. În acest caz, limita metricii este bine definită (în sensul limitei Gromov-Hausdorff , nu depinde de traseul în conul Kähler și converge către completarea metrică a unei metrici Kähler Ricci-flat incomplete definite în afara șaisprezece). curbe excepționale Un rezultat general de acest fel (pentru varietăți arbitrare Calabi-Yau) a fost dovedit de Tosatti , Zhang și colab., dar pentru suprafețele Kummer K3 a fost obținut de Lebrun [ 4] $X$ $\alfa$ $(1,1)$ $[\alfa]$ $\int _{X}\alpha \wedge \alpha >0$ $\alpha |_{C}=0$ $C$

În același timp, dacă clasa nu este voluminoasă, atunci degenerarea are loc diferit, iar așa-numita colaps - spațiul limitativ are o dimensiune inferioară într-un anumit sens. De exemplu, dacă este o suprafață K3 eliptică și este imaginea inversă a clasei Fubini-Study de la baza creionului eliptic, atunci . Comportamentul limitativ al metricilor Ricci-flat într-o astfel de situație a fost investigat de Gross și Wilson. $\alfa$ $X$ $\alfa$ $\alpha \wedge \alpha =0$

Proprietățile dinamice ale suprafețelor K3

Suprafețele K3 admit adesea automorfisme a căror dinamică este haotică (de exemplu, în sensul că entropia lor topologică este pozitivă și există o clasă proprie în cu valoare proprie mai mare decât ). De exemplu, un automorfism obținut pe o suprafață Kummer asociată cu un tor are această proprietate prin ridicarea automorfismului Arnold „ okroshka de la o pisică ” definit de matrice . Măsura entropiei maxime în acest caz este absolut continuă în raport cu măsura Lebesgue; Kanta și DuPont au demonstrat că, în cazul algebric, toate suprafețele K3 cu un automorfism al acestei proprietăți sunt Kummer (mai târziu Tosatti și Philip au extins această afirmație la suprafețele K3 non-algebrice; acest rezultat a fost folosit de ei pentru a construi clase pe granița unui Kähler). con, convergența metricii Ricci-plată atunci când se luptă pentru care are proprietăți patologice). $H^{1,1}$ $unu$ $\mathbb {C} ^{2}/\{\mathbb {Z} \oplus {\sqrt {-1)}\mathbb {Z} \}^{2)$ ${\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}}$

Dinamica holomorfă a suprafeței cu trei involuții descrisă mai sus a fost studiată de Barry Mazur .

Folosind teorema lui Torelli, McMullen a construit automorfisme ale suprafețelor K3 care admit discuri Siegel - adică domenii deschise păstrate de automorfism și biholomorfe la produsul a două discuri pe care acționează automorfismul conjugat la o rotație , unde sunt numere care nu sunt rădăcini ale lui. unitate . $(z,w)\mapsto (az,bw)$ $|a|=|b|=1$

Istorie

Primele exemple de suprafețe K3 au fost investigate de Euler în procesul de rezolvare a unor ecuații diofantine (ideile sale au fost dezvoltate ulterior de Ramanujan ). Abordarea geometrică a suprafețelor K3 a fost stabilită mult mai târziu, în lucrarea lui Cayley , Kummer și Henriquez .

Numele „K3-surface” a fost sugerat în 1958 de André Weil (după Kummer, Köhler și Kodaira ). De asemenea, a încercat să demonstreze teorema lui Torelli pentru suprafețele algebrice K3. Ceva mai târziu, Kodaira a demonstrat că toate suprafețele K3, inclusiv cele non-algebrice, sunt echivalente cu deformarea (în special, difeomorfe). El a clasificat, de asemenea, fibrele singulare ale suprafețelor eliptice K3.

Teorema locală Torelli pentru suprafețele algebrice K3 a fost demonstrată în 1965 de Tyurina , iar cea globală de Pyatetsky-Shapiro și Shafarevich în 1971. Teorema globală a lui Torelli a fost extinsă la suprafețele K3 non-algebrice de către Burns și Rapoport în 1975. În 1977 Viktor Kulikov [5] a clasificat degenerările suprafețelor K3 și a descris suprafețele K3 cu grupuri de automorfism finite Nikulin [6] .

Note

↑ Fiecare complex algebric K3-suprafață este o K3-suprafață în sensul definiției geometric-diferențiale; invers nu este adevărat în general.
↑ S.K. Donaldson. Măsuri Calabi-Yau pe suprafețele Kummer ca problemă de lipire a modelului , 27 iulie 2010
↑ Maxim Kontsevich, Yan Soibelman. Structuri afine și spații analitice non-arhimedene , Trimis la 28 iunie 2004
↑ Valentino Tosati. Colapsing Calabi-Yau manifolds , 2020
↑ Vic. S. Kulikov, Degenerations of K3 surfaces and Enriques surfaces , Izv. Academia de Științe a URSS. Ser. Mat., 41:5 (1977), 1008–1042
↑ V. V. Nikulin, Grupuri de automorfism finit ale suprafețelor Kähler de tip K3 , Tr. MMO, 38 de ani, Editura Moscova. un-ta, M., 1979, 75–137