Teorema Brun-Tichmarsh

Teorema Brun-Tichmarsh este o afirmație din teoria analitică a numerelor care definește o limită superioară pentru distribuția progresiilor aritmetice ale numerelor prime . Poartă numele matematicienilor Viggo Brun și Edward Charles Tichmarsh .

Teorema afirmă că dacă este egal cu numărul de prime comparabile cu modulo la , atunci: $\pi (x;q,a)$ $p$ $A$ $q$ $p\leqslant x$

\pi (x;q,a)\leqslant {2x \over \varphi (q)\log(x/q))

pentru toată lumea . $q<x$

Istorie

Teorema a fost demonstrată folosind metode de cernere Montgomery și Vaughn în 1973 [1] . Un rezultat anterior al lui Brun și Tichmarsh este o versiune mai slabă a acestei inegalități (cu un factor suplimentar ). $1+o(1)$

Buffs

Dacă este relativ mic, adică , atunci există o limită mai bună: $q$ $q\leqslant x^{9/20}$

\pi (x;q,a)\leqslant {(2+o(1))x \over \varphi (q)\ln(x/q^{3/8))))

Acest lucru a fost demonstrat de Motohashi [2] , care a folosit structura biliniară în termenul rezidual al sitei Selberg , descoperit de el însuși. Mai târziu, ideea de a folosi structuri în restul sitei, datorită extensiilor sitei combinatorii de H. Iwaniec , a fost dezvoltată la metoda principală a teoriei numerelor analitice.

Comparație cu teorema lui Dirichlet

Spre deosebire de teorema Brun-Tichmarsh , teorema Dirichlet asupra numerelor prime în progresie aritmetică oferă o estimare asimptotică, care poate fi exprimată sub forma:

\pi (x;q,a)={\frac {x}{\varphi (q)\log(x)}}\left({1+O\left({\frac {1}{\ log x}}\dreapta)}\dreapta)

dar această estimare poate fi dovedită numai cu restricții mai puternice asupra constantei , iar aceasta este teorema Siegel-Wolfitz . $q<(\log x)^{c)$ $c$

Literatură

Yoichi Motohashi. Metode Sieve și teoria numerelor prime. - Tata IFR și Springer-Verlag, 1983. - ISBN 3-540-12281-8 .
Christopher Hooley. Aplicații ale metodelor site la teoria numerelor. - Cambridge University Press, 1976. - P. 10. - ISBN 0-521-20915-3 .
H. Mikawa. Enciclopedia de matematică. — Springer. - ISBN 978-1-55608-010-4 .
H. L. Montgomery, R. C. Vaughan. Sita mare // Mathematica. - 1973. - T. 20 . - S. 119-134 . - doi : 10.1112/s0025579300004708 .