Teoria analitică a numerelor

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 7 septembrie 2021; verificările necesită 3 modificări .

Teoria analitică a numerelor - o ramură a teoriei numerelor , în care proprietățile numerelor întregi sunt studiate prin metode de analiză matematică . Cele mai cunoscute rezultate sunt legate de investigarea distribuției primelor și a problemelor aditive ale lui Goldbach și Waring .

Metoda lui Euler de a genera funcţii a devenit primul pas în această direcţie . Pentru a determina numărul de soluții întregi nenegative ale unei ecuații liniare de forma

a_1 x_1+...+a_n x_n=N,

unde sunt numere naturale , Euler a construit o funcție generatoare, care este definită ca produsul unei serii convergente (pentru ) $a_{1},...,a_{n}$ $|z|<1$

F_{i}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{(z^{a_{i)))^{k))

și este suma termenilor unei progresii geometrice , în timp ce

F(z)=\sum^\infty_{N=0}l(N) z^N,

unde este numărul de soluții ale ecuației studiate. [unu] $l(N)$

În lucrarea sa despre legea reciprocității pătratice , Gauss a considerat sume finite ale formei

S(a)=\sum^{p}_{n=1} e^{2\pi i an^2/p},

care a inițiat utilizarea sumelor trigonometrice [1] . Metode fundamentale pentru aplicarea sumelor trigonometrice la analiza ecuațiilor în numere întregi și numere prime au fost dezvoltate de Hardy , Littlewood și Vinogradov .

În timp ce lucra la demonstrarea teoremei lui Euclid cu privire la infinitatea de numere prime, Euler a considerat produsul peste toate numerele prime și a formulat identitatea:

\Pi _{p}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}}^{\infty }{\frac {1}{n^{s))}

care a devenit baza pentru teoriile funcţiilor zeta [1] . Cea mai faimoasă și încă nerezolvată problemă în teoria analitică a numerelor este demonstrarea ipotezei Riemann despre zerourile funcției zeta , care afirmă că toate rădăcinile netriviale ale ecuației se află pe așa-numita linie critică , unde este Riemann. funcția zeta . $\zeta (s)=0$ ${\mathrm {Re}}\,s={\frac {1}{2}}$ $\zeta$

Pentru a demonstra teorema cu privire la infinitatea numerelor prime într-o formă generală, Dirichlet a folosit produse peste toate numerele prime, similar cu produsul lui Euler, și a arătat că

\Pi _{p}\left(1-{\frac {\chi (p)}{p^{s}}}\right)^{{-1}}=\sum _{{n=1}} ^{\infty }{\frac {\chi (n)}{n^{s))}

în plus, funcția , numită caracterul Dirichlet , este definită în așa fel încât să îndeplinească următoarele condiții: este periodică, complet multiplicativă și nu este identic egală cu zero. Caracterele și seria Dirichlet și -au găsit aplicații și în alte ramuri ale matematicii, în special în algebră , topologie și teoria funcțiilor [1] . $\chi (p)$

Cebyshev a arătat că numărul de numere prime care nu depășește , notat cu , tinde spre infinit conform următoarei legi [1] : $X$ $\pi (X)$

a{\frac {X}{\ln(X)))<\pi (X)<b{\frac {X}{\ln(X))))

, unde și .

a>1/2\ln 2

b<2\ln 2

O altă ramură a teoriei analitice a numerelor este aplicarea analizei complexe în demonstrarea teoremei privind distribuția numerelor prime .

Vezi și

teoria numerelor

Note

↑ 1 2 3 4 5 Teoria numerelor // Marea Enciclopedie Sovietică : [în 30 de volume] / cap. ed. A. M. Prohorov . - Ed. a 3-a. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978. // Marea Enciclopedie Sovietică

Literatură

Davenport, Harold (2000), Teoria numerelor multiplicative , voi. 74 (a treia ediție revizuită), Texte pentru absolvenți în matematică, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6
Tenenbaum, Gérald (1995), Introducere în teoria analitică și probabilistică a numerelor , voi. 46, Studii Cambridge în matematică avansată, Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7
B.M. Shirokov, Universitatea de Stat din Petrozavodsk. O. V. Kuusinena. Teoria analitică a numerelor. - Statul Petrozavodsk. universitate. O.V. Kuusinen, 1986. - 93 p.
A. B. Venkov, Leon Armenovich Takhtadzhyan. Teoria analitică a numerelor și teoria funcțiilor. - Nauka, 1979. - T. 2. - 224 p.

Dicționare și enciclopedii	Rusă mare Britannica (online) Universalis
În cataloagele bibliografice	NKC : ph612534