Teorema lui Viviani

Teorema lui Viviani este o afirmație din geometria unui triunghi , conform căreia suma distanțelor de la un punct arbitrar din interiorul unui triunghi echilateral la laturile sale este constantă și egală cu înălțimea triunghiului. Numit după matematicianul italian Vincenzo Viviani .

În ceea ce privește constanța sumei distanțelor de la un punct interior arbitrar la laturi, afirmația poate fi generalizată la poligoane echilaterale și poligoane cu unghiuri egale [1] .

Dovada

Teorema poate fi demonstrată prin compararea ariilor triunghiurilor. Fie un triunghi echilateral, în care - înălțimea, - lungimea fiecărei laturi. Punctul este ales în mod arbitrar în interiorul triunghiului, iar apoi , , sunt distanțele de la punct la laturile triunghiului. Apoi, aria poate fi determinată după cum urmează: $\triunghi ABC$ $h$ $s$ $P$ $l$ $m$ $n$ $P$ $\triunghi ABC$

S_{\triunghi ABC}=S_{\triunghi ABP}+S_{\triunghi ACP}+S_{\triunghi BCP)

din care rezultă următoarele relații:

{\frac {sh}{2}}={\frac {sl}{2}}+{\frac {sm}{2}}+{\frac {sn}{2}}

acesta este:

h=\ell +m+n

Aplicații

Teorema lui Viviani vă permite să obțineți coordonatele punctelor din diagramele cu trei componente prin trasarea unor linii paralele cu laturile unui triunghi echilateral. În special, diagramele de inflamabilitate pot fi acest fel

Într-un caz mai general, acestea vă permit să setați coordonatele în același mod pe un simplex obișnuit .

Note

↑ Elias Abboud „Despre teorema lui Viviani și extinderile sale” Arhivat 25 februarie 2018 la Wayback Machine pp. 2, 11

Link -uri

Weisstein, Teorema lui Eric W. Viviani (engleză) pe site-ul Wolfram MathWorld .
Li Zhou, Viviani Polytopes și punctele Fermat
Teorema lui Viviani: Ce este? la Tăiați nodul .
Teorema lui Viviani de Jay Warendorff, Proiectul de demonstrații Wolfram .
Teorema lui Viviani: Vizualizare + Dovada pe YouTube