Teorema lui Wolstenholme

Teorema lui Wolstenholme afirmă că pentru orice număr prim , comparația este $p>3$

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{3}}},

unde este coeficientul binom mediu . Comparație echivalentă $\textstyle {\binom {2p}{p}}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{3}}}.

Numerele compuse care satisfac teorema lui Wolstenholm sunt necunoscute și există o ipoteză că nu există. Primele care satisfac o comparație modulo similară sunt numite prime de Wolstenholm . $p^{4}$

Istorie

Teorema a fost demonstrată pentru prima dată de Joseph Wolstenholm în 1862 . În 1819, Charles Babbage a demonstrat o congruență modulo similară , ceea ce este adevărat pentru toate numerele prime p . A doua formulare a teoremei lui Wolstenholm a fost dată de JWL Glaisher sub influența teoremei lui Luke . $p^{2}$

După cum a afirmat însuși Wolstenholm, teorema sa a fost obținută printr-o pereche de comparații cu numere armonice (generalizate) :

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dots +{\frac {1}{p-1}}\equiv 0{\pmod {p ^{2}}},

1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\dots +{\frac {1}{(p-1) ^{2}}}\equiv 0{\pmod {p}}.

Simplu Wolstenholm

Un număr prim p se numește prim Wolstenholme dacă și numai dacă :

{\binom {2p}{p}}\equiv 2{\pmod {p^{4}}}.

Până acum sunt cunoscute doar 2 Wolstenholm simple: 16843 și 2124679 (secvența A088164 în OEIS ); restul sunt atât de prime, dacă există, sunt superioare . $10^{9}$

Se presupune că se comportă ca un număr pseudo-aleatoriu distribuit uniform în intervalul . Se presupune euristic că numărul primelor Wolstenholme din interval este estimat ca . Din aceste considerații euristice rezultă că următorul prim Wolstenholm se află între și . $\textstyle {\frac {{\binom {2p}{p}}-2}{p^{3}}}\mod p$ $[0,p-1]$ $(K,N)$ $\ln \ln N-\ln \ln K$ $10^{9}$ $10^{{24}}$

Argumente euristice similare afirmă că nu există numere prime pentru care compararea se face modulo . $p^{5}$

Dovada

Există mai multe moduri de a demonstra teorema lui Wolstenholm.

Dovada combinatorială-algebrică

Iată demonstrația lui Glashier folosind combinatorie și algebră .

Fie p un număr prim, a , b numere întregi nenegative. Fie , , mulţimea a p elemente împărţite în inele , de lungime p . Pe fiecare inel acţionează un grup de rotaţii . Astfel, grupul acționează asupra întregului A. Fie B o submulțime arbitrară a mulțimii A de elemente b·p . Setul B poate fi ales în diferite moduri. Fiecare orbită a mulțimii B sub acțiunea grupului conține elemente, unde k este numărul de intersecții parțiale ale lui B cu inelele . Există orbite de lungime 1 și nu există orbite de lungime p . Astfel, obținem teorema lui Babbage: $A=(a_{{ij}})$ $i=1,\dots ,a$ $j=1,\dots ,p$ $K_{i}=(a_{ij})$ $j=1,\dots ,p$ $C_{p}\cong \mathbb {Z} _{p)$ $\mathbb {Z} _{p}^{a)$ $\textstyle {\binom {ap}{bp)}$ $\mathbb {Z} _{p}^{a)$ $p^{k}$ $K_{i}$ $\textstyle {\binom {a}{b)}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{2}}}.

Eliminând orbitele de lungime , obținem $p^{2}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}+{\binom {a}{2}}\left({\binom {2p}{p}}- 2\dreapta){\binom {a-2}{b-1}}{\pmod {p^{3}}}.

Printre alte secvențe, această comparație în cazul , ne oferă cazul general al celei de-a doua forme a teoremei lui Wolstenholm. $a=2$ $b=1$

Trecem de la combinatorică la algebră și aplicăm raționamentul polinomial. Fixând b , obținem o comparație cu polinoamele din a de ambele părți, ceea ce este adevărat pentru orice a nenegativ . Prin urmare, comparația este adevărată pentru orice număr întreg a . În special, pentru , obținem o comparație: $a=-1$ $b=1$

{\binom {-p}{p}}\equiv {\binom {-1}{1}}+{\binom {-1}{2}}\left({\binom {2p}{p }}-2\dreapta){\pmod {p^{3}}}.

Pentru că

{\binom {-p}{p}}={\frac {(-1)^{p}}{2}}{\binom {2p}{p}},

apoi

3{\binom {2p}{p}}\equiv 6{\pmod {p^{3}}}.

Pentru , anulăm până la 3 și dovada este completă. $p\neq 3$

Comparație modulo similară : $p^{4}$

{\binom {ap}{bp}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {p^{4}}}

pentru toate numerele naturale a , b este adevărată dacă și numai dacă , , adică dacă și numai dacă p este prim Wolstenholm. $a=2$ $b=1$

Dovada teoretică a numerelor

Să reprezentăm coeficientul binom ca raport al factorilor , anulați p ! și anulăm p în coeficientul binom și mutam numărătorul în partea dreaptă, obținem:

\prod \limits _{k=1}^{p-1}\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3))}

Partea stângă este un polinom în p , înmulțim parantezele și în polinomul rezultat aruncăm puterile lui p mai mari decât 3, obținem:

a_{2}p^{2}+a_{1}p+(p-1)!\equiv (p-1)!{\pmod {p^{3)))

De asemenea, anulăm puterea lui p împreună cu modulul și apoi la : $(p-1)!$ $(p-1)!$

a_{2}p+a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2)}}

observa asta

a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k)),

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij)).

Fie o bijecție și un automorfism . Apoi $T:x\mapsto gx$ $\mathbb {Z} _{p}^{+)$ ${\mathbb {Z}}_{p}^{{\times }}$

a_{2}=\sum \limits _{1\leq i<j\leq p-1}{\frac {1}{ij)}\equiv \sum \limits _{1\leq i<j \leq p-1}{\frac {1}{T(i)T(j)}}={\frac {1}{g^{2}}}={\frac {a_{2}}{g ^{2))}{\pmod {p)),

ceea ce înseamnă . $a_{2}\equiv 0{\pmod {p)}$

In cele din urma,

a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}\Leftrightarrow 2a_{1}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}

2a_{1}=\sum \limits _{k=1}^{p-1}\left({\frac {1}{k))+{\frac {1}{pk)}\dreapta )=-p\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}},

pentru că

\sum \limits _{k=1}^{p-1}{\frac {1}{k^{2}}}\equiv \left(\sum \limits _{k=1}^{ p-1}{\frac {1}{k}}\right)^{2}-a_{2}\equiv 0{\pmod {p}}

Astfel, teorema este demonstrată.

Generalizări

O afirmație mai generală este, de asemenea, adevărată:

{\binom {ap^{n}}{bp^{n}}}\equiv {\binom {ap^{n-1}}{bp^{n-1}}}{\pmod {p ^{3n}}}

Inversarea unei teoreme ca presupunere

Afirmația inversă la teorema lui Wolstenholme este o ipoteză, și anume dacă:

{\binom {2n}{n}}\equiv 2{\pmod {n^{k}}},

pentru k = 3, atunci n este prim. Această valoare a lui k este minimul pentru care nu există soluții de comparație compuse cunoscute:

pentru k = 1, pe lângă numerele prime, și numerele care formează șirul A082180 în OEIS satisfac comparația ; printre ele se numără pătratele primelor și mai multe numere compuse (primul exemplu impar non-trivial: n = 27173 = 29 937).
pentru k = 2, pătratele primelor Wolstenholm satisfac comparația (cu toate acestea, numerele compuse care nu sunt puteri ale primelor care satisfac o astfel de comparație sunt necunoscute).

Dacă un număr compus satisface comparația, atunci nu rezultă că

{\binom {an}{bn}}\equiv {\binom {a}{b}}{\pmod {n^{k}}}.

Chiar dacă inversarea teoremei lui Wolstenholm este adevărată, este dificil de utilizat ca test de primalitate , deoarece nu există o modalitate cunoscută de a calcula coeficientul binomial modulo în timp polinomial . Pe de altă parte, fiind adevărată, inversarea teoremei lui Wolstenholm poate fi utilă pentru construirea unei reprezentări diofantine a primelor (vezi a zecea problemă a lui Hilbert ), precum și, de exemplu, teorema lui Wilson . ${\tbinom {2n}{n)}$ $\textstyle n^{3}$

Vezi și

Note

Link -uri

Babbage, C. (1819), Demonstration of a theorem relating to prime numbers , The Edinburgh philosophical journal vol . 1: 46–49 , < https://books.google.com/books?id=KrA-AAAAYAAJ&pg=PA46 >
Wolstenholme, J. (1862), Despre anumite proprietăți ale numerelor prime , The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics vol . 5: 35–39 , < https://books.google.com/books?id=vL0KAAAAIAAJ&pg=PA35 >
McIntosh, RJ (1995), Pe inversul teoremei lui Wolstenholme , Acta Arithmetica vol . 71(4): 381–389 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/aa71/aa7144.pdf >
E. B. Vinberg, „Proprietăți aritmetice surprinzătoare ale coeficienților binomi”, Mat. iluminare, ser. 3, 12, Editura MCNMO, M., 2008, 33-42
Glosarul principal: Wolstenholme prime
Starea căutării primelor Wolstenholme