Primul Wieferich

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 14 aprilie 2022; verificările necesită 2 modificări .

În teoria numerelor, un prim Wieferich este un număr prim astfel încât împarte [1] , ceea ce este o consolidare a micii teoreme a lui Fermat care afirmă că orice prim impar imparte . Aceste numere prime au fost descrise pentru prima dată de Arthur Wieferich în 1909 într-o lucrare referitoare la Ultima Teoremă a lui Fermat . Până atunci, ambele teoreme ale lui Fermat erau bine cunoscute matematicienilor. [2] [3] $p$ $p^{2}$ $2^{{p-1}}-1$ $p$ $2^{{p-1}}-1$

De atunci, s-au găsit legături între numerele prime Wieferich și diverse alte obiecte din matematică, inclusiv alte tipuri de numere prime (numere Mersenne și Fermat ), tipuri speciale de pseudoprime și unele generalizări ale primelor Wieferich în sine. De-a lungul timpului, conexiunile deschise au fost extinse la alte proprietăți ale numerelor prime, precum și la obiecte generale, cum ar fi câmpul numeric și ipoteza abc .

În ciuda numeroaselor încercări de căutare amplă, sunt cunoscute doar două numere prime Wieferich - acestea sunt 1093 și 3511 (secvența A001220 în OEIS ).

Explicația proprietăților primelor Wieferich

O versiune consolidată a Micii Teoreme a lui Fermat , care este satisfăcută de numere prime Wieferich, este de obicei exprimată ca o congruență modulo . Din definiția comparației rezultă că această proprietate este echivalentă cu definiția dată la începutul articolului. Astfel, dacă un prim p satisface comparația, acel prim împarte coeficientul Fermat . $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p)}$

Iată două exemple:

Pentru p = 11 obținem , care dă numărul 93, care are un rest de 5 când este împărțit la 11. Deci 11 nu este un prim Wieferich. ${\tfrac {2^{10}-1}{11}}$

Pentru p = 1093, obținem fie 485439490310...852893958515 (cele 302 de cifre din mijloc sunt omise) și acest număr are un rest de 0 atunci când este împărțit la 1093, deci 1093 este un prim Wieferich. ${\tfrac {2^{1092}-1}{1093}}$

Istoricul căutărilor și starea

În 1902, WF Meyer a demonstrat teorema soluției de comparație . [4] :930 Mai târziu în același deceniu, Arthur Wieferich a arătat că dacă primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat are o soluție pentru un prim impar, atunci acel prim trebuie să satisfacă congruența pentru și . Cu alte cuvinte, dacă există o soluție în numere întregi și este un prim impar, care nu împarte ( ), atunci satisface . În 1913, Bachmann (Paul Gustav Heinrich Bachmann) a explorat rămășița . El a pus întrebarea - când acest rest se transformă în zero și a încercat să găsească formule pentru a răspunde la întrebarea pusă. [5] $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{r)}}$ $a=2$ $r=2$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $x,y,z$ $p$ $xyz$ $p\nmid xyz$ $p$ $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p)}\,{\bmod {\,}}p$

În 1913, Waldemar Meissner a descoperit că numărul prim 1093 este un prim Wieferich. El a arătat, de asemenea, că acesta este singurul prim mai mic decât 2000. El a calculat cel mai mic rest pentru toate numerele prime și a constatat că acest rest este zero pentru și , găsind astfel un contraexemplu pentru conjectura lui Grawe despre imposibilitatea comparației lui Wieferich. [6] ${\tfrac {2^{t}-1}{p))\,{\bmod {\,}}p$ $p<2000$ $t=364$ $p=1093$

Mai târziu, Hentsshel (E. Haentzschel) a cerut reverificarea corectitudinii calculelor lui Meissner folosind doar operații elementare. [7] :664 Inspirat de lucrările timpurii ale lui Euler , el a simplificat demonstrația lui Meisner arătând că , și a observat că este un divizor al lui . [8] S-a demonstrat, de asemenea, că este posibil să se testeze dacă 1093 este un prim Meisner fără a folosi numere complexe, spre deosebire de metoda folosită de Meisner, [9] deși Meisner însuși a arătat clar că este conștient de posibilitatea unei astfel de dovezi. [6] :665 $1093^{2}\mid 2^{182}+1$ $2^{182}+1$ $2^{364}-1$

În 1922, NGWH Beeger a descoperit că numărul prim 3511 este un prim Wieferich [10] . O altă dovadă că 3511 este un prim Wieferich a fost publicată în 1965 de Richard K. Guy . [11] În 1960, Kravitz [12] a dublat recordul de numere verificate stabilit anterior de Fröberg [13] În 1961, Riesel a extins căutarea la 500.000 folosind BESK [14] . În jurul anului 1980, Lehmer a reușit să atingă limita de 6⋅10 9 [15] . Această limită de căutare a fost mutată la 2,5⋅10 15 în 2006 [16] și apoi la 3⋅10 15 . Acum se știe că, dacă există alte numere prime Wieferich, acestea trebuie să fie de cel puțin 6,7⋅10 15 [17] . Căutarea noilor prime Wieferich se desfășoară în prezent în proiectul de calcul distribuit Wieferich@Home . În decembrie 2011 a fost lansat un alt proiect - PrimeGrid [18] . Până în octombrie 2014, a atins limita de căutare de 3⋅10 17 , iar căutarea continuă [19] .

Chris Caldwell a sugerat că există un număr finit de prime Wieferich [1] . S-a făcut și conjectura opusă, că (ca și în cazul primelor Wilson ) există infinit de numere prime Wieferich și că numărul primelor Wieferich mai mici decât , este un rezultat euristic care rezultă din presupunerea plauzibilă că pentru un prim , puterea --a a rădăcinii unităților modulo este distribuită uniform pe grupul multiplicativ de întregi modulo [20] . $X$ $\ln \ln x$ $p$ $(p-1)$ $p^{2}$ $p^{2}$

Proprietăți

Legătura cu Ultima Teoremă a lui Fermat

Următoarea teoremă, demonstrată de Wieferich în 1909, leagă numerele prime Wieferich și Ultima Teoremă a lui Fermat : [21]

Fie prim și fie numere întregi astfel încât . Să presupunem că nu împarte produsul . Atunci este un număr Wieferich prim. $p$ $x,y,z$ $x^{p}+y^{p}+z^{p}=0$ $p$ $xyz$ $p$

Condiția „unde nu împarte niciunul dintre sau ” este cunoscută ca primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat (FLTI) [22] [23] . FLTI este falsă pentru prim dacă există o soluție a ecuației lui Fermat pentru , în caz contrar FLTI pentru este satisfăcută [24] . În 1910, Mirimanov a extins [25] teorema arătând că, dacă condițiile teoremei sunt îndeplinite pentru un anumit prim , atunci trebuie să împartă și . Mai târziu, Granville și Monagan au demonstrat că trebuie împărțit pentru orice prim . [26] Suzuki a extins demonstrația la toate numerele prime . [27] $p$ $X y$ $z$ $p$ $p$ $p$ $p$ $p^{2}$ $3^{p-1}-1$ $p^{2}$ $m^{p-1}-1$ $m\leqslant 89$ $m\leqslant 113$

Fie o mulțime de perechi de numere întregi și cel mai mare divizor comun al lor este 1. $H_{p}$

Fie , o extensie a câmpului obținut prin includerea tuturor polinoamelor într-un număr algebric în câmpul numerelor raționale (o astfel de extensie este cunoscută sub numele de câmp numeric sau, în acest caz, unde ξ sunt rădăcini ale unității , un câmp numeric circular ). [26] :332 $\xi =\cos 2\pi /p+i\sin 2\pi /p$ $K=\mathbb {Q} (\xi )$ $\xi$

Fie mulțimea de perechi care satisfac proprietățile: $H_{p}$ $(X y)$

eu gcd $(x,y)=1$
ii - coprime cu și $p$ $X y$ $x+y$
iii $(x+y)^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$
iv este gradul --lea al idealului . $x+\xi y$ $p$ $K$

Din unicitatea factorizării idealurilor rezultă că, dacă acestea sunt soluții (ale primului caz) ale ultimei teoreme a lui Fermat, atunci împarte , și și sunt elemente ale lui . [26] :333 Granville și Monagan au arătat că dacă și numai dacă este un prim Wieferich. [26] :333 $\mathbb {Q} (\xi )$ $x,y,z$ $p$ $x+y+z$ $(x,y),(y,z)$ $(z,x)$ $H_{p}$ $(1,1)\in H_{p}$ $p$

Relația cu abc -conjectura și primele non-Wieferich

Un prim non-Wieferich este un prim care satisface condiția . D.H. Silverman (Joseph H. Silverman) în 1988 a arătat că dacă ipoteza abc este adevărată, atunci există infinit de numere prime non-Wieferich. [28] $p$ $2^{p-1}\nu \equiv 1{\pmod {p^{2)}}$

Mai precis, el a arătat că validitatea ipotezei abc implică faptul că numărul primelor non-Wieferich pentru este mai mare pentru o constantă . [29] :227 $p<X$ $C\ln X$ $C$

Mulțimea primelor Wieferich și mulțimea primelor non-Wieferich, uneori notate ca și respectiv, [30] sunt mulțimi complementare , astfel încât finitul uneia dintre ele implică infinitatea celuilalt (deoarece împreună dau o mulțime de prime ). S-a demonstrat că existența unui număr infinit de numere non-Wieferich decurge dintr-o versiune slăbită a conjecturei abc numită ipoteza ABC-(k, ε) [31] . $W_{1}$ $W_{2}^{c}$

În plus, existența unui număr infinit de numere non-Wieferich rezultă și din existența unui număr infinit de numere Mersenne fără pătrat [32] .

Același lucru rezultă din existența realului , astfel încât mulțimea are o densitate de 1. Aici indicele de complexitate pentru întreg este definit ca și , unde este produsul tuturor factorilor primi n . [30] :4 $\xi$ $\{n\in \mathbb {N} :\lambda (2^{n}-1)<2-\xi \)$ $\lambda (n)$ $n$ ${\tfrac {\log n}{\log \gamma (n)))$ $\gamma (n)=\prod _{p\mid n}p$ $\gamma (n)$

Legătura cu numerele prime Mersenne și Fermat

Se știe că al-lea număr Mersenne este prim numai dacă este prim. Din mica teoremă a lui Fermat rezultă că, dacă este prim, este divizibil cu . Deoarece numerele Mersenne cu indici primi și sunt relativ prime, un divizor prim al lui , unde este prim, este prim Wieferich dacă și numai dacă împarte . [33] $n$ $M_{n}=2^{n}-1$ $n$ $p>2$ $M_{p-1}(=2^{p-1}-1)$ $p$ $M_{p}$ $M_{q}$ $p$ $M_{q}$ $q$ $p^{2}$ $M_{q}$

Astfel, un prim de Mersenne nu poate fi și un prim de Wieferich.

O problemă interesantă rămâne nerezolvată : toate numerele Mersenne cu indice prime sunt libere de pătrate ? Dacă numărul Mersenne nu este fără pătrat, atunci există un prim pentru care se împarte , ceea ce înseamnă că este un prim Wieferich. Astfel, dacă există un număr finit de numere prime Wieferich, atunci trebuie să existe cel puțin un număr finit de numere Mersenne nepătrate. Rotkevich (Rotkiewicz) a arătat că și invers este adevărat, adică dacă există infinit de numere Mersenne fără pătrat, atunci există și infinit de numere prime non-Wieferich. [34] $M_{q}$ $p$ $p^{2}$ $M_{q}$ $p$

În mod similar, dacă este prim și împarte numărul Fermat , atunci trebuie să fie un prim Wieferich [35] . $p$ $p^{2}$ $F_{n}=2^{2^{n}}+1$ $p$

Pentru numerele prime 1093 și 3511, s-a arătat că niciunul dintre ei nu este un divizor al vreunui număr Mersenne sau Fermat [36] .

Relația cu alte egalități

Scott (Scott) și Styer (Styer) au arătat că egalitatea are cel mult o soluție în numere întregi pozitive , dacă la sau , unde înseamnă ordinea multiplicativă a numărului 2 modulo . [37] :215, 217–218 $p^{x}-2^{y}=d$ $(X y)$ $p^{4}\nmid 2^{\operatorname {ord} _{p}(2)}-1$ $p\not \equiv 65{\pmod {192}}$ $p^{2}\nmid 2^{\operatorname {ord} _{p}(2)}-1$ $\operatorname {ord} _{p}(2)$ $p$

Ei au arătat, de asemenea, că soluțiile ecuației trebuie să aparțină unei anumite mulțimi, dar afirmația încetează să fie adevărată dacă un prim Wieferich este mai mare decât . [38] :258 $\pm a^{x_{1}}\pm 2^{y_{1}}=\pm a^{x_{2}}\pm 2^{y_{2}}=c$ $A$ $1{,}25\times 10^{15}$

Periodicitate binară p −1

Johnson (Johnson) a remarcat [39] că cele două numere prime Wieferich cunoscute sunt cu unul mai mari decât numerele cu o reprezentare binară periodică ( ). Proiectul Wieferich@Home caută numere prime Wieferich prin verificarea numerelor, pe unitatea de numere mari cu o reprezentare binară periodică, dar printre numerele cu lungimea de până la 3500 de biți și cu o perioadă de până la 24 de biți nu au fost găsite numere prime Wieferich noi . 40] . ${\displaystyle 1092=010001000100_{2};\ 3510=110110110110_{2))$

Comparații echivalente

Primele Wieferich pot fi definite printr-o altă comparație, echivalentă cu cea folosită în mod obișnuit.

Dacă un număr Wieferich prim, putem înmulți ambele părți ale comparației cu 2 și obținem . Ridicând ambele părți ale comparației la putere , obținem , de unde pentru toate . $p$ $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2)}}$ $p$ $2^{p^{2}}\equiv 2^{p}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$

Reversul este de asemenea adevărat: Din pentru toate rezultă că ordinea multiplicativă a numărului 2 modulo împarte mcd , unde este funcția Euler , astfel încât și numărul este un prim Wieferich. $2^{p^{k}}\equiv 2{\pmod {p^{2}}}$ $k\geqslant 1$ $p^{2}$ $(p^{k}-1,\varphi (p^{2}))=p-1$ $\varphi$ $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $p$

Boyai a arătat că dacă și sunt simple, este un număr întreg pozitiv nedivizibil cu și , astfel încât , atunci . Presupunând că obținem . [41] :284 Și în virtutea teoremei lui Euler este echivalent cu . [41] :285-286 $p$ $q$ $A$ $p$ $q$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {q)),\a^{q-1}\equiv 1{\pmod {p}}$ $a^{pq-1}\equiv 1{\pmod {pq)}$ $p=q$ $a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $a^{p^{2}-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}$

Conexiune cu pseudoprime

S-a observat că ambele numere prime Wieferich cunoscute împart toate pseudoprimele nepătrate de bază 2 până la . [42] Calculele ulterioare au arătat că doar 1093 și 3511 sunt factori repetați ai pseudoprimelor până la. [43] $25\cdot 10^{9}$ $10^{12}$

Există următoarea conexiune: Fie un pseudoprim în baza 2 și să fie un divizor prim al . Dacă , atunci . [24] :378 $n$ $p$ $n$ ${\tfrac {2^{n-1}-1}{n}}\nu \equiv 0{\pmod {p}}$ ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\nu \equiv 0{\pmod {p}}$

În plus, dacă este un prim Wieferich, atunci un pseudoprim catalan [44] . $p$ $p^{2}$

Relația cu graficele direcționate

Pentru toate numerele prime de până la 100000 numai în două cazuri: și , unde este modulul diagramei de dublare și oferă numărul de vârfuri din ciclul format de unul. Termenul diagramă de dublare se referă la un grafic direcționat cu 0 și numere naturale mai mici decât ca vârfuri și arce care merg de la un vârf la altul modulo . [45] :74 Sa constatat că pentru toate numerele prime impare fie , fie . [45] :75 $L(p^{n+1})=L(p^{n})$ $L(1093^{2})=L(1093)=364$ $L(3511^{2})=L(3511)=1755$ $m$ $L(m)$ $m$ $X$ $2x$ $m$ $L(p^{n+1})=p\time L(p^{n})$ $L(p^{n+1})=L(p^{n})$

Proprietăți asociate câmpurilor numerice

Sa stabilit că și dacă și numai dacă , unde este un prim impar și este discriminantul fundamental al câmpului pătratic complex . $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0)}}{\big )}{\big )}=1$ $2^{p-1}\nu \equiv 1{\pmod {p^{2)}}$ $p$ $D_{0}<0$ $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p^{2}}}{\big ))$

S-au mai arătat următoarele:

Fie un număr Wieferich prim. Dacă , fie discriminantul fundamental al unui câmp pătratic complex $p$ $p\equiv 3{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {1-p}}{\big ))$

Dacă , fie discriminantul fundamental al câmpului pătratic complex . $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $D_{0}<0$ $\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {4-p}}{\big ))$

Apoi și ( și în acest context înseamnă invariantul Iwasawa ). [46] :27 $\chi _{D_{0}}{\big (}p{\big )}=1$ $\lambda \,\!_{p}{\big (}\mathbb {Q} {\big (}{\sqrt {D_{0)}}{\big )}{\big )}=1$ $\chi$ $\lambda$

De asemenea, instalat:

Fie un număr prim impar și să fie prim astfel încât și ordinea modulo este egală cu . $q$ $k$ $p$ $p=2k+1,k\equiv 3{\pmod {4)),p\equiv -1{\pmod {q)),p\nu \equiv -1{\pmod {q^{3} }}$ $q$ $k$ ${\tfrac {k-1}{2)}$

Să presupunem că împărți este numărul de clase ale unui câmp circular real , obținut prin adăugarea la câmpul numerelor raționale a sumei rădăcinii a- lea a unității și a elementului său invers. $q$ ${\displaystyle h^{+))$ $\mathbb {Q} {\big (}\zeta \,\!_{p}+\zeta \,\!_{p}^{-1}{\big ))$ $p$

Atunci este un număr Wieferich prim. [47] :55 $q$

Acest lucru rămâne adevărat dacă condițiile sunt înlocuite de $p\equiv -1{\pmod {q)),p\nu \equiv -1{\pmod {q^{3)}}$ $p\equiv -3{\pmod {q)),p\nu \equiv -3{\pmod {q^{3)}}$

Afirmația rămâne adevărată atunci când condiția este înlocuită cu (în acest caz va fi un număr prim Fibonacci-Wieferich ), iar inegalitatea va fi înlocuită cu . [48] :376 $p\equiv -1{\pmod {q)}$ $p\equiv -5{\pmod {q)),$ $q$ $p\nu \equiv -5{\pmod {q^{3)}}$

Perioadele primelor Wieferich

Fie perioada numărului din bază să fie perioada fracției din bază . De exemplu, perioada numărului 3 din baza 10 este 1, care de obicei este scrisă ca 0,(3), în timp ce perioada numărului 3 din baza 2 este 2, iar numărul poate fi scris ca 0,(01 ). În general, perioada unui număr este exponentul modulo . [49] :314 Un prim Wieferich în bază este un prim care satisface comparația . Dacă se împarte , perioada are aceeași perioadă ca și , iar astfel de numere prime sunt cunoscute ca prime cu perioade pătrate . [49] :316 Garza și Young afirmă că perioada 1093 este 1092 și este egală cu perioada 1093 2 , [49] :314 . $p$ $X$ $b$ ${\tfrac {1}{x}}$ $b$ $p$ $X$ $b$ $X$ $b$ $X$ $b^{x-1}\equiv 1{\pmod {x^{2)}}$ $x^{2}$ $b^{p-1}-1$ $x^{2}$ $X$

Ordinea numărului 2 modulo puteri ale primelor Wieferich

Doar numerele prime 1093 și 3511 dintre numerele de sus satisfac și se știe că și . [50] [51] $4\cdot 10^{12}$ $\operatorname {ord} _{p^{2}}(2)=\operatorname {ord} _{p}(2)$ $\operatorname {ord} _{1093}(2)=364$ $\operatorname {ord} _{3511}(2)=1755$

HS Vandiver a arătat că dacă și numai dacă . [52] :187 $2^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{3)}}$ $1+{\tfrac {1}{3}}+\dots +{\tfrac {1}{p-2}}\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$

Generalizări

Wieferich aproape numere prime

Un prim care satisface comparația cu un mic este de obicei numit un număr Wieferich aproape prim (secvența A195988 în OEIS ). [20] [53] Aproape numerele prime de Wieferich c sunt prime de Wieferich. $p$ $2^{\frac {p-1}{2}}\equiv \pm 1+Ap{\pmod {p^{2}}}$ $|A|$ $A=0$

Recent, proiectele de calcul distribuite, pe lângă căutarea principală a primelor Wieferich, au încercat, de asemenea, să descopere aproape prime Wieferich. [17] [54]

Următorul tabel prezintă toate numerele Wieferich aproape prime cu în intervalul . [55] Acest interval a fost atins printr-o căutare organizată de P. Carlisle, R. Crandall și M. Rodenkirch. [16] [56] $|A|\leqslant 10$ $[10^{9},3\cdot 10^{15}]$

p	1 sau -1	A
3520624567	+1	−6
46262476201	+1	+5
47004625957	−1	+1
58481216789	−1	+5
76843523891	−1	+1
1180032105761	+1	−6
12456646902457	+1	+2
134257821895921	+1	+10
339258218134349	−1	+2
2276306935816523	−1	−3

Dorais și Klyve [17] au folosit o altă definiție a numerelor Wieferich aproape prime, și anume, ca prim p cu valoare mică , unde este coeficientul Fermat pentru numărul 2 modulo p'. $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|$ $\omega (p)={\tfrac {2^{p-1}-1}{p}}\,{\bmod {\,}}p$

Următorul tabel arată toate numerele prime cu . $p\leqslant 6{,}7\times 10^{15}$ $\left|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right|\leq 10^{-14)$

p	$\omega (p)$	$\left\|{\tfrac {\omega (p)}{p))\right\|\times 10^{14)$
1093	0	0
3511	0	0
2276306935816523	+6	0,264
3167939147662997	−17	0,537
3723113065138349	−36	0,967
5131427559624857	−36	0,702
5294488110626977	−31	0,586
6517506365514181	+58	0,890

Primele Wieferich în baza a

Un prim de Wieferich în raport cu baza a este un prim p care satisface comparația

a^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2)}}

. [patru]

Astfel de numere prime nu pot împărți a pentru că atunci trebuie să împartă și 1.

Perechi de Wiferich

O pereche Wieferich este o pereche de numere prime satisfăcătoare $p,q$

p^{q-1}\equiv 1{\pmod {q^{2}}},\ q^{p-1}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}

Astfel, numărul prim Wieferich formează o pereche . Singurul număr cunoscut pentru acest caz este . Se cunosc 6 perechi de Wiferich. [57] $p\equiv 1{\pmod {4}}$ $(p,2)$ $p=1093$

numere Wiferich

Numărul Wieferich este un număr întreg impar care satisface comparația , unde denotă funcția Euler . Dacă un număr Wieferich este prim, atunci este și un prim Wieferich. $w\geqslant 3$ $2^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2)}}$ $\varphi$ $w$

Câteva primele numere Wieferich:

1093, 3279, 3511, 7651, 10533, 14209, 17555, 22953, 31599, 42627, 45643, … secvența OEIS A077816

Se poate arăta că dacă există doar un număr finit de prime Wieferich, atunci și numărul de prime Wieferich este finit. În special, dacă numerele prime Wieferich sunt doar 1093 și 3511, atunci există exact 104 numere Wieferich și corespund acelor numere care sunt cunoscute în acest moment. [58]

Mai general, un număr întreg este un număr Wieferich în bază , dacă . [59] :31 $w$ $A$ $a^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w^{2)}}$

Conform unei alte definiții, numărul Wieferich este un q impar pozitiv astfel încât q și nu sunt coprim , unde m este exponentul 2 modulo q . Primele dintre aceste numere sunt: [60] ${\tfrac {2^{m}-1}{q))$

21 , 39 , 55 , 57 , 105, 111, 147, 155 , 165, 171, 183 , ... secvența OEIS A182297

Ca mai sus, dacă un număr Wieferich q este prim, atunci este un prim Wieferich.

Primele lui Lucas-Wieferich

Un prim Lucas-Wieferich corespunzător unei perechi de numere întregi este un prim astfel încât , unde înseamnă secvența Lucas de primul fel și este valoarea simbolului Legendre modulo . Toate numerele prime Wieferich sunt prime Lucas-Wieferich corespunzătoare perechii . [61] :2088 $(P,Q)$ $p$ $U_{p-\varepsilon}(P,Q)\equiv 0{\pmod {p^{2)}}$ $U_{n}(P,Q)$ $\varepsilon$ $P^{2}-4Q$ $p$ $(3,2)$

puncte Wieferich

Să fie un câmp global , adică un câmp numeric sau un câmp de funcții al unei variabile peste un câmp finit și fie o curbă eliptică . Dacă este un punct de normă non-Arhimedian și , unde , atunci . se numește un punct Wieferich față de baza dacă , un punct Wieferich eliptic față de baza dacă , și un punct Wieferich puternic eliptic față de baza dacă , unde este ordinea modulo și dă numărul de puncte raționale (peste domeniul reziduurilor ) a reducerii pe . [62] :206 $K$ $E$ $v$ $q_{v)$ $K$ $a\în K$ $v(a)=0$ $v(a^{q_{v}-1})\geqslant 1$ $v$ $A$ $v(a^{q_{v}-1})>1$ $P\in E$ $N_{v}(P)\in E_{2}$ $P\in E$ $n_{v}(P)\in E_{2}$ $n_{v)$ $P$ $v$ $N_v$ $v$ $E$ $v$

Note

Primul Wolstenholme este un alt tip de prim care a apărut din studiul ultimei teoreme a lui Fermat.
Tabel de comparație - o listă de alte comparații pe care numerele prime le satisfac

Link -uri

↑ 1 2 The Prime Glossary: Wieferich prime , < http://primes.utm.edu/glossary/xpage/WieferichPrime.html > Arhivat 23 aprilie 2013 la Wayback Machine
↑ Israel Kleiner (2000), De la Fermat la Wiles: Ultima teoremă a lui Fermat devine teoremă , Elem. Matematică. T. 55: 21, doi : 10.1007/PL00000079 , < http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/kleiner.pdf > Arhivat la 19 februarie 2012 la Wayback Machine
↑ Leonhard Euler (1736), Theorematum quorundam ad numeros primos spectantium demonstratio , Novi Comm. Acad. sci. Petropol. T. 8: 33–37 , < http://www.math.dartmouth.edu/~euler/docs/translations/E054tr.pdf > Arhivat la 15 septembrie 2012 la Wayback Machine
↑ 1 2 Wilfrid Keller; Jörg Richstein (2005), Soluții ale congruenței a p −1 ≡ 1 (mod p r ) , Math. Comp. T. 74 (250): 927–936, doi : 10.1090 / S0025-5718-04-01666-7 04-01666-7 /S0025-5718-04-01666-7.pdf > Arhivat 22 octombrie, 2012 Mașinărie
↑ Bachmann, P. Über den Rest von ${\tfrac {2^{p-1}-1}{p)}\,{\bmod {\,}}p$ (germană) // Journal für Mathematik. - 1913. - T. 142 , nr 1 . - S. 41-50 .
↑ 1 2 Meissner, W. (1913), Über die Teilbarkeit von 2 p − 2 durch das Quadrat der Primzahl p =1093, Sitzungsber. D. Konigl. Preuss. Akad. D. Wiss. (Berlin) T. Zweiter Halbband. Juli bis Decembrie: 663–667
↑ Haentzschel, E. (1926), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 284 , < http: //gdz.sub.uni-godmttingen /load/img/?PPN=GDZPPN00212534X >
↑ Haentzschel, E. (1925), Über die Kongruenz 2 1092 ≡ 1 (mod 1093 2 ) , Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung T. 34: 184 , < http: //gdz.sub.unide-godmttingen /load/img/?PPN=GDZPPN002127695 >
↑ Ribenboim, P. (1983), 1093 , The Mathematical Intelligencer vol . 5(2): 28–34 , DOI 10.1007/BF03023623
↑ Beeger, NGWH (1922), Despre un nou caz de congruență 2 p − 1 ≡ 1 (mod p 2 ) , Messenger of Mathematics vol . 51: 149–150 , < https://archive.org/stream/messengerofmathe5051cambuoft #page/148/mode/2up >
↑ Guy, RK (1965), A property of the prime 3511 , The Mathematical Gazette vol . 49 (367): 78–79 , < https://www.jstor.org/stable/3614249 > Arhivat la 19 noiembrie 2015 la Wayback Machine
↑ Kravitz, S. The Congruence 2 p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) for p < 100.000 // Math . Comp. : jurnal. - 1960. - Vol. 14 . — P. 378 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0121334-7 .
↑ Fröberg CE Unele calcule ale resturilor Wilson și Fermat // Matematică . Comp. : jurnal. - 1958. - Vol. 12 . — P. 281 . - doi : 10.1090/S0025-5718-58-99270-6 .
↑ Riesel, H. Notă asupra congruenței a p -1 ≡ 1 (mod p 2 ) // Math . Comp. : jurnal. - 1964. - Vol. 18 . - P. 149-150 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1964-0157928-6 .
↑ Lehmer, D.H. Pe coeficientul lui Fermat, baza doi // Matematică . Comp. : jurnal. — Vol. 36 , nr. 153 . - P. 289-290 . - doi : 10.1090/S0025-5718-1981-0595064-5 .
↑ 1 2 Ribenboim, Paulo (2004), Die Welt der Primzahlen: Geheimnisse und Rekorde , New York: Springer, p. 237, ISBN 3-540-34283-4 , < https://books.google.de/books?id=-nEM9ZVr4CsC&pg=PA237 > Arhivat 8 martie 2016 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Dorais, FG; Klyve, D. A Wieferich Prime Search Up to 6.7⋅10 15 // Journal of Integer Sequences : journal. - 2011. - Vol. 14 , nr. 9 .
↑ Anunțul PrimeGrid privind căutările Wieferich și Wall-Sun-Sun Arhivat 14 martie 2013 la Wayback Machine
↑ Statisticile primului server de căutare PrimeGrid Wieferich Arhivat 6 aprilie 2014 la Wayback Machine
↑ 1 2 Crandall, Richard E.; Dilcher, Karl & Pomerance, Carl (1997), A search for Wieferich and Wilson primes , Math. Calculator. T. 66 (217): 433–449 , doi : 10.1090 / S0025-5718-97-00791-6
↑ Wieferich, A. (1909), Zum letzten Fermat'schen Theorem , Journal für die reine und angewandte Mathematik vol. 136 (136): 293–302, doi : 10.1515/crll.1909.136.293 , < http://gdz . .sub.uni-goettingen.de/dms/resolveppn/?PPN=GDZPPN002166968 >
↑ Coppersmith, D. (1990), Ultima teoremă a lui Fermat (Cazul I) și criteriul Wieferich , Math. Comp. ( AMS ). — T. 54 (190 ) 895–902: > Arhivat 24 octombrie 2012 la Wayback Machine
↑ Cikánek, P. (1994), A Special Extension of Wieferich's Criterion , Math. Comp. ( AMS ). — T. 62 (206 ) 923–930: > Arhivat 24 octombrie 2012 la Wayback Machine
↑ 1 2 Dilcher, K. & Skula, L. (1995), Un nou criteriu pentru primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat , Math. Comp. (AMS). — V. 64 (209 ) 363–392: > Arhivat 29 iulie 2014 la Wayback Machine
↑ Mirimanoff, D. (1910), Sur le dernier théorème de Fermat, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences T. 150: 293–206
↑ 1 2 3 4 Granville, A. & Monagan, MB (1988), Primul caz al ultimei teoreme a lui Fermat este valabilă pentru toți exponenții primi până la 714.591.416.091.389 , Transactions of the American Mathematical Society vol. 306 (1): 329–35. , DOI 10.1090/S0002-9947-1988-0927694-5
↑ Suzuki, Jiro (1994), Despre criteriile Wieferich generalizate , Proc. Japonia Acad. Ser. O matematică. sci. T. 70: 230–234 , < http://projecteuclid.org/DPubS/Repository/1.0/Disseminate?view=body&id=pdf_1&handle=euclid.pja/1195510946 > Arhivat 18 august 2017 la Wayback Machine
↑ Charles, DX On Wieferich primes Arhivat 18 martie 2012 la Wayback Machine
↑ Silverman, JH (1988), Wieferich's criterion and the abc-conjecture , Journal of Number Theory vol . 30 (2): 226–237 , DOI 10.1016/0022-314X(88)90019-4
↑ 1 2 DeKoninck, J.-M. & Doyon, N. (2007), Despre setul primelor Wieferich și al complementului său , Annales Univ. sci. Budapesta., Sect. Comp. T. 27: 3–13 , < http://ac.inf.elte.hu/Vol_027_2007/003.pdf > Arhivat 26 aprilie 2012 la Wayback Machine
↑ Broughan, K. (2006), Relaxations of the ABC Conjecture using integer k 'th roots , Noua Zeelandă J. Math. V. 35(2): 121–136 , < http://www.math.waikato.ac.nz/~kab/papers/abc01.pdf > Arhivat 18 iunie 2013 la Wayback Machine
↑ Ribenboim, P. 13 Prelegeri despre Ultima Teoremă a lui Fermat (neopr.) . - New York: Springer, 1979. - P. 154. - ISBN 0-387-90432-8 .
↑ Mersenne Primes: Conjectures and Unsolved Problems , < http://primes.utm.edu/mersenne/index.html#unknown > Arhivat 13 martie 2019 la Wayback Machine
↑ Rotkiewicz, A. Sur les nombres de Mersenne dépourvus de diviseurs carrés et sur les nombres naturels n, tels que n 2 ∣2 n -2 (franceză) // Mat. Vesnik. - 1965. - V. 2 , Nr. 17 . - S. 78-80 .
↑ Ribenboim, Paulo (1991), The little book of big primes , New York: Springer, p. 64, ISBN 0-387-97508-X , < https://books.google.com/?id=zUCK7FT4xgAC&pg=PA64 >
↑ Bray, HG și Warren, LJ (1967), Despre pătratul libertății numerelor Fermat și Mersenne , Pacific J. Math. T. 22(3): 563–564 , < http://projecteuclid.org/euclid.pjm/1102992105 > Arhivat 2 septembrie 2016 la Wayback Machine
↑ Scott, R.; Styer, R. Pe p x -q y =c și ecuații diofantine exponențiale în trei termene înrudite cu baze prime // Journal of Number Theory : journal. - Elsevier, 2004. - Aprilie ( vol. 105 , nr. 2 ). - P. 212-234 . - doi : 10.1016/j.jnt.2003.11.008 .
↑ Scott, R.; Styer, R. Despre ecuația generalizată Pillai ± a x ± b y = c (engleză) // Journal of Number Theory : journal. - 2006. - Vol. 118 , nr. 2 . - P. 236-265 . - doi : 10.1016/j.jnt.2005.09.001 . (link indisponibil)
↑ Wells Johnson (1977), Despre nonvanishing of Fermat quotients (mod p ) , J. Reine angew. Matematică. T. 292: 196–200 , < http://www.digizeitschriften.de/index.php?id=resolveppn&PPN=GDZPPN002193698 >
↑ Dobeš, Jan & Kureš, Miroslav (2010), Search for Wieferich primes through the periodic binary strings , Serdica Journal of Computing vol. 4: 293–300 , < http://sci-gems.math.bas.bg /jspui/bitstream/10525/1595/1/sjc104-vol4-num3-2010.pdf > Arhivat 16 aprilie 2014 la Wayback Machine
↑ 1 2 Sărut, E.; Sándor, J. Despre o congruență de János Bolyai, conectată cu pseudoprimes (engleză) // Mathematica Pannonica : journal. - 2004. - Vol. 15 , nr. 2 . - P. 283-288 .
↑ Ribenboim, P. (2004), Capitolul 2. How to Recognize Whether a Natural Number is a Prime , The Little Book of Bigger Primes , New York: Springer-Verlag New York, Inc., p. 99, ISBN 0-387-20169-6
↑ Pinch, RGE Pseudoprimele până la 10 13 (nedefinite) // Lecture Notes in Computer Science. - 2000. - T. 1838 . - S. 459-473 . - doi : 10.1007/10722028_30 . (link indisponibil)
↑ Aebi, C.; Cairns, G. Numere catalane, numere prime și numere prime gemene (nedefinite) // Elemente der Mathematik. - 2008. - T. 63 , nr. 4 . - S. 153-164 . - doi : 10.4171/EM/103 . (link indisponibil)
↑ 1 2 Ehrlich, A. (1994), Cycles in Doubling Diagrams mod m , The Fibonacci Quarterly vol . 32 (1): 74–78 , < http://www.fq.math.ca/Scanned/32-1 /ehrlich.pdf > Arhivat 30 aprilie 2012 la Wayback Machine
↑ Byeon, D. (2006), Class numbers, Iwasawa invariants and modular forms , Trends in Mathematics vol . 9 (1): 25–29 , < http://basilo.kaist.ac.kr/mathnet/kms_tex/985999 .pdf > Arhivat 26 aprilie 2012 la Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1995), Connection between the Wieferich congruence and divisibility of h + , Acta Arithmetica T. 71 (1): 55–64 , < http://matwbn.icm.edu.pl/ksiazki/aa/ aa71/aa7114.pdf > Arhivat 10 august 2014 la Wayback Machine
↑ Jakubec, S. (1998), Despre divizibilitatea numărului de clasă h + al câmpurilor reale ciclotomice de gradul prim l , Matematica calculului T. 67 (221): 369–398 , < http://www.ams. org/journals/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00916-8/S0025-5718-98-00916-8.pdf > Arhivat 4 martie 2016 la Wayback Machine
↑ 1 2 3 Garza, G. & Young, J. (2004), Wieferich Primes and Period Lengths for the Expansions of Fractions , Math. Mag. T. 77 (4): 314–319 , DOI 10.2307/3219294
↑ Martinez-Pérez, C.; Willems, W. Clasa de coduri ciclice este asimptotic bună? (neopr.) // Tranzacții IEEE pe teoria informației. - IEEE, 2006. - V. 52 , Nr. 2 . - S. 696-700 . - doi : 10.1109/TIT.2005.862123 .
↑ Stevens, WH (19 iunie 1995), Periodicitatea pentru omologia Z / p r a acoperirilor ciclice ale nodurilor și a cercurilor de omologie Z , < https://www.math.lsu.edu/~gilmer/waynestevenspaper.pdf > . Preluat la 29 septembrie 2012. Arhivat la 24 aprilie 2012 la Wayback Machine
^ Dickson, L.E. (1917), Ultima teoremă a lui Fermat și originea și natura teoriei numerelor algebrice , Annals of Mathematics vol. 18 (4): 161–187 , < https://www.jstor.org/stable/ pdfplus/2007234 >
↑ Joshua Knauer; Jörg Richstein (2005), Căutarea continuă a primelor Wieferich , Math. Comp. T. 74 (251): 1559–1563, doi : 10.1090 / S0025-5718-05-01723-0 > Arhivat 2012 octombrie la Wayback 2012 Mașinărie
↑ Despre proiectul Wieferich@Home (link descendent) . Data accesului: 25 ianuarie 2013. Arhivat din original pe 22 martie 2012. (nedefinit)
↑ PrimeGrid, Wieferich & near Wieferich primes p < 11e15 Arhivat 18 octombrie 2012 la Wayback Machine
↑ Ribenboim, Paulo (2000), My numbers, my friends: popular lectures on number theory , New York: Springer, p. 213–229, ISBN 978-0-387-98911-2
↑ Weisstein, Eric W. .html Double Wieferich Prime Pair pe site- ul Wolfram MathWorld .
↑ Banks, W.D.; Luca, F. & Shparlinski, IE (2007), Estimări pentru numerele Wieferich , The Ramanujan Journal (Springer) . — V. 14 (3): 361–378, doi : 10.1007/s11139-007-9030-z , < http://web.science.mq.edu.au/~igor/Wieferich.pdf > Copie arhivată a 3 Mai 2013 la Wayback Machine
↑ Agoh, T.; Dilcher, K. & Skula, L. (1997), Fermat Quotients for Composite Moduli , Journal of Number Theory vol . 66 (1): 29–50 , doi 10.1006/jnth.1997.2162
↑ Müller, H. {{{titlu}}} (germană) // Mitteilungen der Mathematischen Gesellschaft în Hamburg. - Mathematische Gesellschaft din Hamburg, 2009. - V. 28 . - S. 121-130 .
↑ McIntosh, RJ & Roettger, EL (2007), A search for Fibonacci-Wieferich and Wolstenholme primes , Mathematics of Computation ( AMS ). — T. 76 (260): 2087–2094, doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 , < http://www.ams.org/journals/mcom/2007-76-260/S0025-5718 -07-01955-2/S0025-5718-07-01955-2.pdf > Arhivat 4 octombrie 2013 la Wayback Machine
↑ Voloch, JF (2000), Elliptic Wieferich Primes , Journal of Number Theory vol . 81: 205–209 , DOI 10.1006/jnth.1999.2471

Lectură suplimentară

Haussner, R. (1926), Über die Kongruenzen 2 p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) für die Primzahlen p =1093 und 3511 , Archiv for Mathematik og Naturvidenskab Vol . 39 (5): 7, DNB 369534 . < http://jfm.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/jfmen/JFM/en/quick.html?first=1&maxdocs=20&type=html&an=JFM%2052.0141.06&format=complete >
Haussner, R. (1927), Über numerische Lösungen der Kongruenz u p -1 -1 ≡ 0 (mod p 2 ) , Journal für die reine und angewandte Mathematik (Jurnalul lui Crelle). T. 1927 (156): 223–226, doi : 10.1515 / crll.1927.156.223 ,
Ribenboim, P. (1979), Treisprezece prelegeri despre Ultima Teoremă a lui Fermat , Springer-Verlag , p. 139, 151, ISBN 0-387-90432-8
Guy, Richard K. (2004), Probleme nerezolvate în teoria numerelor (ed. a treia), Springer Verlag , p. 14, ISBN 0-387-20860-7
Crandall, RE & Pomerance, C. (2005), Numerele prime: o perspectivă computațională , Springer Science+Business Media, Inc., p. 31–32, ISBN 0-387-25282-7 , < http://thales.doa.fmph.uniba.sk/macaj/skola/teoriapoli/primes.pdf >
Ribenboim, P. (1996), Noua carte a înregistrărilor numerelor prime , Springer-Verlag New York, Inc., p. 333–346, ISBN 0-387-94457-5 , < https://books.google.com/?id=72eg8bFw40kC&pg=PA333 >

Link- uri externe

Weisstein , Eric W. Wieferich primesc la Wolfram MathWorld .
Coeficienti Fermat-/Euler ( a p −1 − 1)/ p k cu k arbitrar
O notă despre cele două numere prime Wieferich cunoscute
Pagina proiectului Wieferich Prime Search a PrimeGrid
Janusz G.J., Câmpuri numerice algebrice. Novosibirsk , Carte științifică. (Seria Universității Volumul 6)