Teorema lui Earnshaw

Teorema Earnshaw  este o teoremă a câmpului electrostatic , formulată în secolul al XIX-lea de fizicianul englez Earnshaw în 1842 [1] .

Este o consecință a teoremei lui Gauss .

Teorema lui Earnshaw este o teoremă pur clasică (non-cuantică) și nu are analog cuantic .

Formulare

Orice configurație de echilibru a sarcinilor punctiforme este instabilă dacă nu acționează alte forțe asupra lor, cu excepția forțelor Coulomb de atracție și repulsie.

• Se înțelege că sarcinile punctuale sunt „impenetrabile”, adică nu pot ocupa o poziție coincidentă în spațiu (adică se înțelege că în acest caz, înainte ca sarcinile punctuale să ia o astfel de poziție, forțe de natură non-Coulomb). începe să acţioneze între ele, de exemplu, forţele elastice ale suprafeţelor - dacă considerăm o sarcină punctiformă ca caz limitativ al unui corp mic de dimensiuni finite [2] ); cu alte cuvinte, cazurile evidente de echilibru cu sarcini pozitive și negative care coincid în poziție spațială sunt excluse din considerare prin condiția teoremei. Acest lucru poate fi motivat într-un mod alternativ la „impenetrabilitate” prin faptul că astfel de cazuri sunt banale și, prin urmare, nu sunt interesante și, de asemenea, dubioase din punct de vedere fizic (implică energia de interacțiune infinită a sarcinilor într-o astfel de poziție).
• La formularea teoremei pot fi adăugate câmpuri electrostatice „externe” (create din surse fixe).
• Teorema în sine nu afirmă că echilibrul este deloc posibil. Cu toate acestea, nu este dificil să găsim exemple care să arate că pot exista configurații staționare instabile ale sarcinilor punctiforme. Aici, instabilitatea este înțeleasă ca însemnând că orice abatere mică de la configurația staționară duce la o creștere a instabilității și o prăbușire a configurației sistemului.

Dovada

Există două versiuni ale demonstrației, care sunt complet echivalente în cadrul electrostaticei și, în principiu, se bazează pe aceeași idee fizică (matematică), exprimată în termeni ușor diferiți .

Prima este implementată în ceea ce privește intensitatea câmpului și se bazează pe teorema Gauss , a doua este în termeni de potențial și se bazează pe ecuația Laplace (sau Poisson ) .

Avantajul primei metode este că este aplicabilă nu numai în cazul câmpurilor potențiale , adică nu necesită ca intensitatea câmpului să fie pe deplin exprimată printr-un potențial scalar . În acest caz, este suficient să respecte legea Gauss [3] .

Dovada în ceea ce privește potențialul este puțin mai simplă și mai clară din punct de vedere geometric.

Dovada în ceea ce privește intensitatea câmpului

Luați în considerare o sarcină punctiformă pozitivă. Forța care acționează asupra acestuia este direcționată de-a lungul vectorului câmpului electrostatic. Pentru un echilibru stabil în orice punct al spațiului, este necesar ca, cu o (mică) abatere de la acesta, să înceapă să acționeze asupra lui o forță de restabilire. Adică, în cazul electrostaticei, pentru ca un astfel de punct să existe, este necesar ca într-o mică vecinătate a acestui punct vectorul câmp creat de toate celelalte sarcini să fie îndreptat spre el (în direcția sa). Adică liniile câmpului trebuie să convergă către un astfel de punct, dacă acesta există. Aceasta înseamnă (datorită teoremei Gauss ) că trebuie să conțină și o sarcină negativă. Dar o astfel de variantă de echilibru nu satisface condiția teoremei (de exemplu, dacă considerăm sarcinile punctiforme ca bile solide foarte mici, atunci înainte de a ajunge la poziția de echilibru descrisă, acestea se vor ciocni cu suprafețele, adică în echilibru real acolo vor fi forțe de natură neelectrostatică, dacă le considerăm puncte matematice, această soluție va conține energie de interacțiune infinită, care nu este acceptabilă din punct de vedere fizic, iar dacă o considerăm dintr-un punct de vedere puțin diferit, aceasta este dincolo de aplicabilitate. a electrostaticii clasice).

Din punctul de vedere al teoremei lui Gauss, apariția unei forțe de restabilire (direcționată din toate părțile către un anumit punct) înseamnă că vectorul intensității forțelor externe creează un flux negativ printr-o suprafață mică care înconjoară punctul presupusului echilibru. Dar teorema Gauss afirmă că fluxul forțelor externe prin suprafață este zero dacă nu există nicio sarcină în interiorul acestei suprafețe [4] . Primim o contradicție.

În cazul unei sarcini negative, considerația este complet analogă.

Dovada în ceea ce privește potențialul

Să luăm în considerare una dintre sarcinile punctuale din câmpul celorlalte și să arătăm că, dacă este în echilibru, este doar într-unul instabil. (Vom numi această taxă distins).

Să presupunem că sarcina eliberată este în echilibru (cazul opus nu este interesant).

Potențialul creat de restul sarcinilor în vecinătatea celei selectate respectă ecuația Laplace (cu excepția cazului în care una dintre aceste alte sarcini coincide în poziția cu poziția sarcinii selectate, care este exclusă de formularea teoremei [5] ), deoarece acesta este un câmp electrostatic, iar în această zonă spațiul nu are sursele sale (alte sarcini).

Ecuația Laplace:

are drept consecință afirmația:

• sau o derivată a doua a potențialului în raport cu unele dintre coordonate - sau (adică unul dintre cei trei termeni din partea stângă) este mai mic decât zero,
• sau toate cele trei derivate sunt egale cu zero.

În primul caz, este evident că potențialul nu are un minim la un punct dat, ceea ce înseamnă că energia potențială a sarcinii în cauză nu o are în acest punct, adică echilibrul său este instabil.

Al doilea caz se împarte în două opțiuni:

1. Dacă toate cele trei derivate secunde ale potențialului sunt egale cu zero nu numai în punct, ci și în vecinătatea lui finită (și primele derivate din punctul însuși sunt egale cu zero prin ipoteza echilibrului), atunci potențialul în aceasta vecinatate este o constanta si evident avem cazul echilibrului indiferent, adica nu este un echilibru stabil. Se poate arăta că pentru cazul unui număr finit de surse punctuale, această variantă nu se realizează deloc. [6]

2. Dacă toate cele trei derivate secunde ale potențialului sunt egale cu zero doar într-un singur punct (așa-numitul punct de aplatizare ), atunci se poate demonstra că [7] :

• punctul considerat încă nu este un punct extremum;
• acest caz în sine nu poate fi realizat pentru niciuna dintre sarcinile alese, de exemplu, nu este realizat pentru sarcinile extreme, pentru care derivatele secunde ale potențialului sunt întotdeauna diferite de zero [8] .

Astfel, dovada de mai sus este destul de completă pentru primul caz (cazul în poziție generală) și conturează doar întrebările care apar în unele cazuri speciale și răspunsurile la acestea.

Cel mai simplu mod de a răspunde la aceste întrebări este utilizarea unei abordări bazate pe teorema Gauss.

Generalizări

• Va fi trivial de observat că teorema este adevărată nu numai pentru electrostatică, ci și pentru câmpul oricăror forțe descrise ca descrescătoare ca legea lui Coulomb [9] (de exemplu, pentru forțele gravitaționale newtoniene [10] ).
• Teorema este valabilă și pentru magnetostatică în cazul dipolilor și curenților fiși (în prezența momentelor magnetice induse, aceasta poate fi încălcată - vezi exemplul de mai jos). Cheia demonstrației aici este teorema lui Gauss pentru câmpul magnetic . În principiu, demonstrația pentru magnetostatică poate fi redusă la cazul electrostatic folosind Teoremele Focii Magnetice ale lui Ampère , dar apoi este necesar să se folosească formularea electrostatică a teoremei nu pentru particule punctiforme, ci pentru solide extinse (vezi paragraful următor).
• Teorema este adevărată (în acest caz, formularea ar trebui să fie ușor modificată [11] ) pentru sisteme rigide de sarcini punctuale și corpuri solide încărcate (absolut solide) fixe [12] (impenetrabile între ele - în unele sensuri similare cu cele indicate în formulare pentru sarcinile punctiforme - adică cel puțin regiunile încărcate ale solidelor). Ideea dovezii este de a lua în considerare micile deplasări de translație ale unui corp rigid (fără rotații). Atunci energia potențială [13] a unui sistem rigid de sarcini este pur și simplu suma fiecărei sarcini înmulțită cu potențialul din vecinătatea ei, luată de fiecare dată într-un punct din cauza deplasării totale a corpului:

Întrucât potențialul din vecinătatea fiecărui punct satisface ecuația Laplace (se înțelege că sarcinile altui corp lipsesc în proximitatea infinită de sarcina celui dat datorită impermeabilității lor), atunci combinația lor liniară (suma cu coeficienți) îl satisface de asemenea, adică  satisface și ecuația Laplace [14] , ceea ce înseamnă că nu poate avea un minim.

• Aparent, teorema este valabilă și pentru cazul conexiunilor de sarcină elastice, în sensul legii lui Hooke .
• Teorema este valabilă pentru cazul momentelor de dipol induse (în electrostatică și magnetostatică) cu condiția ca coeficientul de polarizabilitate pentru dipolii induși să fie pozitiv.
• Teorema nu este adevărată pentru cazul dipolilor induși de un câmp extern cu polarizabilitate negativă. Un astfel de caz, aparent, nu se realizează în mod natural pentru dipolii electrici (cazul controlului artificial al momentului dipolului nu se referă aici, este considerat mai jos).

Cu toate acestea, pentru dipolii magnetici induși, cazul polarizabilității negative apare destul de des, de exemplu, pentru corpurile diamagnetice sau supraconductoare , pentru care, prin urmare, generalizarea teoremei lui Earnshaw nu este valabilă , adică pentru ei este destul de posibil un echilibru stabil. ( W. Braunbeck , 1939 ) [15] .

• Este destul de evident că teorema lui Earnshaw nu este aplicabilă în cazul solidelor reciproc permeabile. De exemplu, în interacțiunea a două bile încărcate uniform (încărcări de același semn, de aceeași mărime sau diferite) (cu diametre identice sau diferite, inclusiv în loc de una dintre bile, puteți lua o încărcare punctuală), există va fi un echilibru stabil într-o poziție în care centrele lor coincid. Adevărat, valoarea practică a unui astfel de model teoretic precum solidele reciproc permeabile nu este foarte clară.

Limite de aplicabilitate

Limitele fundamental-teoretice de aplicabilitate ale teoremei

Teorema lui Earnshaw ca atare (și așa cum este descrisă în acest articol) este o teoremă pur clasică (nu cuantică). Aceasta determină principala graniță fundamentală a zonei sale de aplicabilitate.

În plus, deși în unele cazuri particulare este posibil să se formuleze un anumit analog cuantic al acestuia, totuși, vorbind în general și în multe cazuri cheie și fundamentale specifice, o astfel de generalizare este imposibilă (cu excepția cazului în care, desigur, teorema cu opusul afirmația este considerată o generalizare).

Pe scurt, ideea este că în cazul cuantic (adică atunci când este imposibil să ne limităm la aproximarea clasică), în general, nu există impenetrabilitate reciprocă (de exemplu, un electron și un proton pot ocupa foarte bine același loc, trec unul prin celălalt și chiar se „ignoră” unul pe celălalt în acest caz, cu excepția interacțiunii electromagnetice [16] În plus, însuși conceptul de particule punctiforme clasice în cazul cuantic - adică, de exemplu, dacă luăm în considerare echilibrul unui proton cu un electron, atunci pe o scară spațială de ordinul unui diametru atomic — însăși conceptul de particule punctiforme dispare [17] .

Din toate acestea rezultă o schimbare radicală a situației cu posibilitatea unui echilibru stabil al particulelor încărcate în cazul cuantic.

În esență, putem spune că atomul de hidrogen este echilibrul stabil al protonului și electronului, interacționând doar electrostatic [18] .

Aspect aplicat

În inginerie, teorema lui Irnshaw este asociată cu anumite restricții privind rezolvarea problemei inginerești a reținerii stabile (sau suspendării) unui anumit corp folosind câmpuri (electrice, magnetice, adesea în combinație cu un câmp gravitațional natural), adică fără contact direct cu structuri solide și în general materiale de susținere.

Cu toate acestea, aceste restricții pot fi ocolite.

Principalele metode utilizate pentru aceasta sunt:

1. Utilizarea unui câmp magnetic și a unui corp cu o susceptibilitate magnetică negativă (diamagnet) sau un supraconductor - un diamagnet ideal. În acest caz, este posibil să se obțină stabilitatea naturală fără utilizarea unor câmpuri suplimentare (și fără costuri energetice). Este suficient să alegeți corect configurația surselor de câmp și forma corpului diamagnetic.
2. Utilizarea unor forțe suplimentare nepotențiale. Un exemplu de dispozitiv interesant este levitronul , care folosește un vârf rotativ pentru levitație . În acest caz, magnetul în formă de vârf se află într-un puț de potențial, iar efectul de giroscop este folosit pentru a depăși instabilitatea înclinării.
3. Utilizarea sistemelor automate de control a câmpului de reținere și/sau a parametrilor electrici sau magnetici (sarcină, moment dipol electric sau magnetic etc.) ai corpului deținut.

Aplicație

Teorema lui Earnshaw a jucat istoric un rol important în teoria structurii atomului - ipotezele despre atom ca sistem de sarcini statice au fost respinse pe baza lui, iar modelul planetar al atomului a fost introdus pentru a explica stabilitatea atomului. . Cu toate acestea, vezi mai sus .

Are valoare aplicată în tehnologie ( vezi mai sus ).

Note

1. ↑ Earnshaw, Samuel (1842). Despre natura forțelor moleculare care reglează constituția eterului luminifer. Trans. Camb. Phil. soc. 7: pp. 97-112.
2. ↑ Trebuie remarcat faptul că dacă luăm în considerare sarcinile punctuale drept caz limitativ al unor corpuri solide, dar absolut permeabile între ele, un astfel de echilibru cu neutralizare (parțială) se dovedește a fi posibil, totuși, un astfel de model al unei sarcini punctiforme este respins la formularea teoremei ca fiind nerealist din punct de vedere fizic (și în orice caz va da energii de interacțiune infinite pentru limita punctului).
3. ↑ De exemplu, o astfel de dovadă rămâne valabilă atunci când la câmpurile electrostatice se adaugă un câmp electric de vortex extern (ceea ce poate apărea în electrodinamică, chiar și fără a se modifica pentru o anumită perioadă de timp).
4. ↑ Ne referim nu la sarcina al cărei echilibru îl luăm în considerare, ci la unele dintre celelalte sarcini care creează un câmp în care se ia în considerare echilibrul acestei sarcini.
5. ↑ Pentru o discuție a tuturor rezervelor, vezi paragraful de formulare .
6. ↑ Totuși, pentru a generaliza teorema la cazul solidelor cu o distribuție continuă a sarcinii, cazul echilibrului indiferent apare destul de des (vezi Generalizări ). Dacă luăm în considerare cazul unui sistem de sarcini punctiforme fără legături suprapuse, presupunând totuși un număr infinit de sarcini și chiar o distribuție continuă a sarcinilor, atunci unele dintre sarcini pot fi în echilibru indiferent (de exemplu, o sarcină punctiformă discretă în centrul unei sfere încărcate goale, dar echilibrul altor sarcini (extreme) nu poate fi indiferent (nu dovedim acest lucru aici).
7. ↑ Dovada ambelor nu este dată aici. În principiu, luarea în considerare a acestor trăsături subtile încalcă oarecum simplitatea abordării folosind potențialul pentru o demonstrație riguroasă. Deși la „nivelul fizic de rigoare” este cu siguranță clar și simplu.
8. ↑ Cel puțin în versiunea teoremei cu un număr finit de sarcini discrete. Pentru varianta cu presupunerea unor distribuții continue (un număr infinit) de sarcini, această afirmație ar trebui să fie mai mult rafinată.
9. ↑ Deoarece aplicarea teoremei lui Earnshaw la gravitație (dacă nu se ia în considerare antigravitația) nu prezintă interes - vezi următoarea notă, atunci printre forțele fundamentale cunoscute nu există pur și simplu candidați pentru aplicarea ei, cu excepția celor electrice și magnetice. Cu toate acestea, poate fi aplicat în toate cazurile în care astfel de forțe sunt introduse pur teoretic, precum și în cazurile în care forțe similare cu cele ale lui Coulomb apar în unele teorii fenomenologice (de exemplu, în hidrodinamică).
10. ↑ Un exemplu de gravitație newtoniană, deși formal complet corect, nu este foarte semnificativ. Cert este că nu numai în newtoniană, ci și în orice altă teorie a gravitației, dacă implică doar atracție, faptul că nu există un echilibru (static) altul decât ciocnirea obiectelor care atrag este complet evident fără teorema lui Earnshaw.
11. ↑ Instabilitatea strictă a teoremei inițiale trebuie înlocuită cu una nestrictă, adică cazul echilibrului indiferent devine acceptabil (și în principiu nu prea rar).
12. ↑ Aici considerăm cazul când sarcinile nu sunt esențiale, punctuale sau distribuite, fixate rigid în volum sau pe suprafața solidelor (sau, într-un fel sau altul, legate prin legături rigide).
13. ↑ Puteți lua în considerare și o variantă a demonstrației în ceea ce privește forțele și intensitatea câmpului, așa cum s-a făcut în demonstrarea teoremei principale din articol, și nu în ceea ce privește energia potențială și potențial, care ar fi complet echivalente. Totuși, aici, pentru concizie și simplitate, ne restrângem la a doua variantă.
14. ↑ De fapt, în acest moment teorema pentru un corp rigid a fost redusă la o teoremă pentru sarcini punctiforme.
15. ↑ Encyclopedia of Physics, articol „Teorema lui Earnshaw”.
16. ↑ Și în contextul studiului echilibrului discutăm – în principal electrostatic.
17. ↑ Sau, dacă vrei, se schimbă dincolo de recunoaștere. Chiar și termenul de particule punctiforme în sine , așa cum este folosit de obicei în fizica cuantică, înseamnă, în esență, complet diferit față de cel clasic, în mare, nu va fi o exagerare prea mare să spunem că utilizarea termenului de particule punctiforme. în cazul cuantic este pur arbitrar și aproape accidental în consonanță cu înțelegerea clasică a termenului.
18. ↑ S-ar putea argumenta (împreună cu fizicienii din momentul nașterii teoriei cuantice) că acest echilibru nu este complet static. Într-adevăr, un electron dintr-un atom de hidrogen are energie cinetică și pătratul impulsului. Cu toate acestea, în mecanica cuantică, electronul pur și simplu nu se poate opri complet, cel puțin, pentru a se opri, ar trebui să ocupe tot spațiul infinit. Astfel, putem spune că fie conceptul de echilibru static în cazul cuantic dispare cu totul (devine inaplicabil), fie rămâne de convenit că atomul de hidrogen din starea fundamentală (neexcitată) este echilibrul unui proton și al unui electron ca static. așa cum este în general posibil în cazul cuantic.