Teorema punctului fix Kakutani

Teorema punctului fix a lui Kakutani este o generalizare a teoremei punctului fix a lui Brouwer la funcții cu mai multe valori.

Formulare

Fie o submulțime convexă compactă nevide a spațiului euclidian . Fie o funcție cu mai multe valori pe , astfel încât mulțimea este nevidă și convexă pentru toate , și are un grafic închis, adică mulțimea $S$ $\phi \colon S\to 2^{S}$ $S$ $\phi (x)\subset S$ $x\în S$

\{\,(x,y)\in S\times S\mid \,y\in \phi (x)\)

este închis în topologia directă a produsului . Apoi are un punct fix , adică există un punct astfel încât . $S\times S$ $\phi(x)$ $x\în S$ $x\in \phi (x)$

Notă

Următorul exemplu arată că cerința ca mulțimile să fie convexe este esențială. $\phi(x)$

Să fixăm un număr pozitiv suficient de mic și să luăm în considerare funcția $\varepsilon$

\varphi (x)=\{\,y\in [0,1]\mid |xy|\geq \varepsilon \,\},

definite pe segment . Rețineți că mulțimea nu este convexă și această funcție nu are un punct fix, deși satisface toate celelalte cerințe ale teoremei. $[0,1]$ $\phi ({\tfrac {1}{2))}$

Despre dovezi

Teorema lui Kakutani poate fi redusă la teorema lui Brouwer prin aproximare .

Teorema lui Kakutani poate fi derivată din lema lui Sperner într- un mod similar cu teorema lui Brouwer.

Istorie

Teorema a fost demonstrată de Shizuo Kakutani în 1941, [1] pentru a demonstra teorema minimax într- un joc antagonic .

A fost folosit de John Nash pentru a dovedi existența echilibrului Nash în celebra lucrare de două pagini [2] care i-a câștigat Premiul Nobel pentru economie .

Note

↑ Kakutani, Shizuo . O generalizare a teoremei punctului fix a lui Brouwer (nedefinită) // Duke Mathematical Journal. - 1941. - T. 8 , nr 3 . - S. 457-459 . - doi : 10.1215/S0012-7094-41-00838-4 .
↑ Nash, JF, Jr. Equilibrium Points in N-Person Games (engleză) // Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America : journal. - 1950. - Vol. 36 , nr. 1 . - P. 48-49 . - doi : 10.1073/pnas.36.1.48 . — PMID 16588946 .

Link -uri

Vorobyov N.N. Fundamentele teoriei jocurilor . jocuri non-cooperative. — M.: Nauka , 1984.
Savvateev A.V. Teoreme de bază ale teoriei jocurilor // Seminar integral „Colocviul MIAN” 4 decembrie 2014, ora 16:00, Moscova, sala de conferințe a MIAN (str. Gubkina, 8).