Teorema Krein-Milman

Teorema Krein-Milman  este un fapt important din analiza convexă în spații topologice liniare . Dovedit de Mark Crane și David Milman în 1940 [1] .

Formulare

O compactă convexă într-un spațiu local convex coincide cu închiderea carcasei convexe a mulțimii punctelor sale extreme .

Note

• Pentru spațiile cu dimensiuni infinite , această teoremă, ca și multe alte rezultate, nu poate fi demonstrată fără aplicarea axiomei alegerii sau a afirmațiilor echivalente ale teoriei mulțimilor.

• Există spații vectoriale topologice care conțin mulțimi compacte convexe fără puncte extreme [2] .

• O afirmație similară cu teorema Krein-Milman nu este valabilă în spațiile Hadamard cu o topologie slabă. [3]

Aplicații

• Teorema este aplicată pentru a demonstra nonizomorfismul diferitelor spații Banach .
• Aplicat de de Branges într-o versiune elegantă a demonstrației teoremei Stone-Weierstrass .

Note

1. ↑ M. Krein, D. Milman, On extreme points of regular convex sets, Studia Mathematica 9 (1940), 133-138.
2. ↑ Roberts, James W. „Un set compact convex fără puncte extreme”. Studia Mathematica 60.3 (1977): 255-266.
3. ↑ Monod, Nicolas, Puncte extreme în curbură nepozitivă, arΧiv : 1602,06752 . 

Literatură

• Kirillov A. A. , Gvishiani A. D.  Teoreme și probleme de analiză funcțională. — 1988.