Teorema lui Lagrange (teoria numerelor)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 decembrie 2020; verificările necesită 2 modificări .

În teoria numerelor, teorema lui Lagrange este o afirmație, numită după Joseph-Louis Lagrange, despre condițiile în care valoarea unui polinom cu coeficienți întregi poate fi un multiplu al unui număr prim fix .

Formulare

Dacă este un număr prim , este un polinom de grad cu coeficienți întregi , atunci [1] : $p$ $f(x)$ $n$

sau toți coeficienții sunt multipli $f(x)$ $p;$
sau comparatia are cel mult solutii. $f(x)\equiv 0{\pmod {p)}$ $n$

Note

Dacă toți coeficienții sunt multipli , atunci orice valoare este o soluție pentru comparația dată. $f(x)$ $p,$ $X$
Simplitatea unui modul este esențială; pentru un modul compozit , teorema nu este, în general, adevărată. De exemplu, comparația: are 4 soluții [2] : $p$ $x^{2}-1\equiv 0{\pmod {8}}$ $x\equiv 1;3;5;7{\pmod {8)).$

Dovada teoremei lui Lagrange

Fie un polinom peste inelul obținut prin înlocuirea fiecărui coeficient cu clasa de reziduuri corespunzătoare modulo $g(x)$ $\mathbb {Z} /p$ $f(x)$ $p.$

Lema 1. este divizibil cu dacă și numai dacă Demonstrație . If este divizibil cu atunci și , prin construcție, se încadrează în aceeași clasă de reziduuri ca și în clasa zero. Și invers, dacă acest calcul dă un rezultat dintr-o clasă de reziduuri care conține, adică divizibil cu ■ $fa)$ $p$ $g(a)=0.$ $fa)$ $p,$ $g(a)$ $p,$ $g(a)=0,$ $fa)$ $p,$ $p.$

Lema 2. Un polinom , dacă nu este un polinom zero, nu poate avea mai multe rădăcini. Dovada. Deoarece este un număr prim, este un câmp și un polinom de grad diferit de zero în orice câmp are cel mult rădăcini, deoarece fiecare rădăcină adaugă un monom la extinderea polinomului ■ $g(x),$ $n$ $p$ $\mathbb {Z} /p$ $n$ $n$ $r$ $(xr).$

Demonstrarea teoremei . Dacă este un polinom zero, atunci, conform construcției sale, aceasta înseamnă că toți coeficienții sunt multipli . În caz contrar, din prima lemă rezultă că numărul de soluții ale ecuației incomparabile în valoare absolută coincide cu numărul de rădăcini ale polinomului. care, conform celei de-a doua leme, nu depăşeşte ■ $g(x)$ $f(x)$ $p.$ $n$ $f(x)\equiv 0{\pmod {p)}$ $g(x).$ $n.$

Variații și generalizări

Teorema lui Lagrange este valabilă nu numai pentru polinoamele peste inelul întregilor, ci și pentru polinoamele peste orice alt domeniu de integritate [3] . ${\mathbb {Z}),$

Note

↑ Vinogradov, 1952 , p. 60.
↑ Davenport, 1965 , p. 55.
↑ Enciclopedia matematică, 1982 , p. 174.

Literatură

Vinogradov I.M. Fundamentele teoriei numerelor. - M. - L. : GITTL, 1952. - S. 60-65. — 180 s.
Davenport G. Aritmetică superioară / ed. Yu. V. Linnik , trad. B. Z. Moroz - M . : Nauka , 1965. - S. 54-55. — 176 p.
Teorema Lagrange // Enciclopedia matematică (în 5 volume) . - M . : Enciclopedia Sovietică , 1982. - T. 3. - S. 174.