Teorema lui Mergelyan

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 15 decembrie 2019; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Mergelyan este o afirmație despre posibilitatea aproximării uniforme prin polinoame de funcții ale unei variabile complexe ; stabilit dovedit de matematicianul sovietic Serghei Mergelyan în 1951 .

Conform teoremei, orice funcție continuă dintr-o mulțime compactă cu un complement conex la planul complex (adică , conexă), holomorfă în puncte interioare , poate fi aproximată uniform prin polinoame . $f\colon K\to \mathbb {C}$ $K$ $\mathbb {C} \setminus K$ $K$

Teorema este o dezvoltare și o generalizare a teoremelor Weierstrass și Runge și este utilizată pe scară largă în diferite domenii ale analizei complexe ; acest rezultat a încununat o serie mare de lucrări despre teoria aproximării în cazul complex. În special, în 1936 Lavrentiev a dovedit afirmația pentru cazul în care nu are puncte interioare, iar în 1945 Keldysh a stabilit un rezultat pentru cazul în care este un domeniu închis cu un complement conex. $K$ $K$

Metoda de demonstrare aplicată de Mergelyan este constructivă și rămâne singura dovadă constructivă cunoscută a rezultatului.

Literatură

Teorema lui Mergelyan - articol din Encyclopedia of Mathematics . E. M. Chirka
S. N. Mergelyan. Aproximații uniforme ale funcțiilor unei variabile complexe // Uspekhi Mat. - T. 7 , nr. 2 (48) . - S. 31-122 .
Lennart Carleson. Teorema lui Mergelyan privind aproximarea polinomială uniformă // Math . Scand. - 1964. - Vol. 15 .
Dieter Gaier. Prelegeri despre aproximarea complexă. - Boston: Birkhäuser, 1987. - ISBN 0-8176-3147-X .
W. Rudin. Analiza reală și complexă. N.Y .: McGraw - Hill. — ISBN 0-07-054234-1 .
A. G. Vitușkin . Capacitatea analitică a mulțimilor în probleme de teoria aproximării // Uspekhi Mat . - 1967. - T. 22 , nr. 6 (138) .
A. G. Vituşkin. O jumătate de secol ca o zi // UMN. - 2002. - T. 57 , nr. 1 (353) .