Derivată de funcție

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 18 august 2022; verificările necesită 3 modificări . Acest articol descrie derivatele funcțiilor reale. Pentru derivata funcțiilor complexe, vezi Analiza complexă .

Derivata unei funcții este un concept în calcul diferențial care caracterizează rata de schimbare a unei funcții la un punct dat. Este definită ca limita raportului dintre incrementul unei funcții și incrementul argumentului său atunci când incrementul argumentului tinde spre zero , dacă există o astfel de limită. O funcție care are o derivată finită (la un moment dat) se numește diferențiabilă (la un punct dat).

Procesul de calcul al derivatei se numește diferențiere . Procesul invers - găsirea antiderivatei - integrare .

Istorie

În calculul diferențial clasic , derivata este cel mai adesea definită prin conceptul de limită , cu toate acestea, din punct de vedere istoric, teoria limitelor a apărut mai târziu decât calculul diferențial. Din punct de vedere istoric, derivata a fost introdusă cinematic (ca viteză) sau geometric (determinată în esență de panta tangentei, în diverse formulări specifice). Newton a numit derivata flux , indicând un punct deasupra simbolului funcției, școala Leibniz a preferat diferența ca concept de bază [1] .

Termenul rusesc sub forma „funcție derivată” a fost folosit pentru prima dată de V. I. Viskovadov , care a tradus în rusă termenul francez corespunzător dérivée , folosit de matematicianul francez Lagrange [2] .

Definiție

Fie definită o funcție într-o vecinătate a unui punct.Derivata unei funcții este un astfel de număr încât funcția din vecinătate poate fi reprezentată ca $x_{0}\în \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $A$ $U(x_{0})$

f(x_{0}+h)=f(x_{0})+Ah+o(h)

dacă există. $A$

Definiția derivatei unei funcții în termeni de limită

Fie definită o funcție într-o vecinătate a punctului .Derivata funcției în punct se numește limită , dacă există, $x_{0}\în \mathbb{R}$ $f\colon U(x_{0})\subset \mathbb{R} \to \mathbb{R} .$ $f$ $x_{0}$

f'(x_{0})=\lim \limits _{x\to x_{0}}{\frac {f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0} }}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})}{\Delta x}}=\lim \limits _ {{\Delta x}\la 0}{\frac {\Delta {f(x)))}{\Delta x)).

Notație convențională pentru derivata unei funcții la un punct $y=f(x)$ $x_{0}$

f'(x_{0})=f'_{x}(x_{0})={\mathrm {D}}\!f(x_{0})={\frac {df}{dx}}( x_{0})=\left.{\frac {dy}{dx}}\right\vert _{{x=x_{0}}}={\punct {y}}(x_{0}).

Rețineți că acesta din urmă denotă, de obicei, derivata în raport cu timpul (în mecanică teoretică și fizică, adesea și istoric).

Tabelul derivatelor

Derivate ale funcțiilor de putere	Derivate ale funcţiilor trigonometrice	Derivate ale funcţiilor trigonometrice inverse	Derivate ale funcțiilor hiperbolice
$\left(c\right)^{(n)}=0$	$\left(\sin x\right)^{(n)}=\sin(x+{\dfrac {\pi n}{2))}$	$\left(\arcsin x\right)'={\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	$(\sinh x)'=\cosh x$
$\left(x^{a}\right)^{(n)}={\dfrac {a!}{(an)!}}x^{an}$	$\left(\cos x\right)^{(n)}=\cos(x+{\dfrac {\pi n}{2))}$	$\left(\arccos x\right)'=-{\dfrac {1}({\sqrt {1-x^{{2))))}}$	${\textstyle (\cosh x)'=\sinh x}$
$\left(a^{x}\right)^{(n)}=a^{x}\ln ^{n}a$	$\left(\operatorname {tg} x\right)'=\sec ^{2}x$	$\left(\operatorname {arctg} x\right)'={\dfrac {1}{1+x^{2)}}$	$(\tanh x)'=\operatorname {sch} x$
$\left(\log _{a}x\right)^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n} \ln a}}$	$\left(\operatorname {ctg} x\right)'=-\csc ^{2}x$	$\left(\operatorname {arcctg} x\right)'=-{\dfrac {1}{1+x^{2)}}$	$(\coth x)'=-\operatorname {csch} x$
	$\left(\operatorname {sec} x\right)'=\sec x\cdot \mathrm {tg} \ x$	$\left(\operatorname {arcsec} x\right)'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1)}))$	$(\mathrm {sch} \ x)'=-{\frac {\sinh x}{\cosh ^{2}x))$
	$\left(\operatorname {cosec} x\right)'=-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	$\left(\operatorname {arccosec} x\right)'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	$(\mathrm {csch} \ x)'=-{\frac {\cosh x}{\sinh ^{2}x))$

$\left(c\right)=\left(\mathrm {const} \right)$
$\left(e^{{x}}\right)^{{\left(n\right)}}=e^{{x}}$
$(\ln {x})^{(n)}={\dfrac {(-1)^{n-1}(n-1)!}{x^{n)))$

Diferențiabilitate

Derivata unei funcții într-un punct , fiind o limită, poate să nu existe, sau poate exista și să fie finită sau infinită. O funcție este diferențiabilă într-un punct dacă și numai dacă derivata ei în acel punct există și este finită: $f'(x_{0})$ $f$ $x_{0}$ $f$ $x_{0}$

f\in {\mathcal {D}}(x_{0})\Leftrightarrow \exists f'(x_{0})\in (-\infty ;\infty ).

Pentru o funcție diferențiabilă într- o vecinătate , este valabilă următoarea reprezentare: $x_{0}$ $f$ $U(x_{0})$

f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})

x\la x_{0}.

Note

Să numim incrementul argumentului funcției și sau incrementul valorii funcției în punctul Apoi $\Delta x=x-x_{0}$ $\Delta y=f(x)-f(x_{0})$ $\Delta y=f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})=\lim \limits _({\Delta x\to 0)){\frac {\Delta y}{\Delta x)).$
Fie ca funcția să aibă o derivată finită în fiecare punct Apoi se definește funcția derivată $f\colon (a,b)\la \mathbb{R}$ $x_{0}\in(a,b).$ $f'\colon (a,b)\to \mathbb{R} .$
O funcție care are o derivată într-un punct este continuă în acel punct. Reversul nu este întotdeauna adevărat.
Dacă funcția derivată este ea însăși continuă, atunci funcția se numește diferențiabilă continuu și se scrie: $f$ $f\în C^{{(1)}}{\bigl (}(a,b){\bigr )}.$

Sensul geometric și fizic al derivatului

Tangenta pantei unei drepte tangente

Dacă o funcție are o derivată finită într-un punct, atunci într-o vecinătate poate fi aproximată printr-o funcție liniară $f\colon U(x_{0})\to \mathbb{R}$ $x_0,$ $U(x_{0})$

f_{l}(x)\equiv f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0}).

Funcția se numește tangentă la în punctul Numărul este panta ( panta tangentei) sau tangenta pantei dreptei tangente. $f_{l}$ $f$ $x_{0}.$ $f'(x_{0})$

Rata de modificare a funcției

Fie legea mișcării rectilinie . Apoi exprimă viteza instantanee de mișcare în momentul de timp . Noua funcție are și o derivată. Acest așa-zis. derivata a doua, notată cu , iar funcția exprimă accelerația instantanee în timp $s=s(t)$ $v(t_{0})=s'(t_{0})$ $t_0$ $s'(t)$ $s''(t)$ $a(t_{0})=s''(t_{0})$ $t_{0}.$

În general, derivata unei funcții într-un punct exprimă rata de schimbare a funcției într-un punct , adică rata procesului descris de dependență $y=f(x)$ $x_{0}$ $x_{0}$ $y=f(x).$

Derivate de ordine superioare

Conceptul de derivată de ordin arbitrar este dat recursiv . Noi credem

f^{{(0)}}(x_{0})\equiv f(x_{0}).

Dacă funcția este diferențiabilă în , atunci derivata de ordinul întâi este definită de relația $f$ $x_{0}$

f^{{(1)}}(x_{0})\equiv f'(x_{0}).

Să fie acum derivata de ordinul al treilea să fie definită într-o vecinătate a punctului și să fie diferențiabilă. Apoi $n$ $f^{{(n)}}$ $x_{0}$

f^{{(n+1)}}(x_{0})=\left(f^{{(n)}}\right)'(x_{0}).

În special, a doua derivată este derivata derivatei:

f''(x_{0})=(f'(x))'|_{x=x_{0}}

Dacă o funcție are o derivată parțială față de una dintre variabilele dintr-un domeniu D , atunci derivata numită, fiind ea însăși o funcție a lui , poate avea derivate parțiale față de aceeași variabilă sau de orice altă variabilă la un moment dat . Pentru funcția originală, aceste derivate vor fi derivate parțiale de ordinul doi (sau derivate parțiale secunde). $u=f(x,y,z)$ $x,y,z,$ $(x_{0},y_{0},z_{0})$ $u=f(x,y,z)$

u''_{x^{2}}=f''_{x^{2}}(x_{0},y_{0},z_{0})

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2)}}={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{ 0})}{\partial x^{2))))

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x\partial y))={\frac {\partial ^{2}f(x_{0},y_{0},z_{0 })}{\partial x\partial y}}

Derivata parțială de ordinul doi sau mai mare luată în raport cu diferite variabile se numește derivată parțială mixtă . De exemplu,

u''_{xy}=f''_{xy}(x_{0},y_{0},z_{0})

Clasa de funcții a căror derivată de ordin este continuă se notează ca . $n$ $C^{(n)}$

Modalități de a scrie derivate

În funcție de scopuri, de domeniul de aplicare și de aparatura matematică utilizată, se folosesc diverse metode de scriere a derivatelor. Deci, derivata de ordinul al n-lea poate fi scrisă în notațiile:

Lagrange , în timp ce pentru linii mici n și cifrele romane sunt adesea folosite : $f^{{(n)}}(x_{0})$

f^{{(1)}}(x_{0})=f'(x_{0})=f^{I}(x_{0}),

f^{{(2)}}(x_{0})=f''(x_{0})=f^{{II}}(x_{0}),

f^{{(3)}}(x_{0})=f'''(x_{0})=f^{{III}}(x_{0}),

f^{{(4)}}(x_{0})=f^{{IV}}(x_{0}),

etc.

O astfel de notație este convenabilă prin concizia sa și larg răspândită; totuși, liniile sunt permise să desemneze nu mai mare decât derivata a treia.

Leibniz , o reprezentare vizuală convenabilă a raportului infinitezimalelor (doar dacă este o variabilă independentă; în caz contrar, notația este valabilă numai pentru derivata de ordinul întâi): $X$

{\frac {d^{n}\!f}{dx^{n}}}(x_{0})

Newton , care este adesea folosit în mecanică pentru derivata în timp a funcției de coordonate (pentru derivata spațială se folosește mai des notația Lagrange). Ordinea derivatei este indicată de numărul de puncte deasupra funcției, de exemplu:

{\punct {x}}(t_{0})

este derivata de ordinul întâi în raport cu la , sau este derivata a doua în raport cu la un punct etc.

X

t

t=t_{0}

{\ddot {f}}(x_{0})

f

X

x_{0}

Euler , care folosește un operator diferențial (strict vorbind, o expresie diferențială până când este introdus spațiul funcțional corespunzător) și, prin urmare, convenabil în chestiuni legate de analiza funcțională :

{\mathrm {D}}^{n}\!f(x_{0})

, sau uneori .

\partial ^{n}\!f(x_{0})

În calculul variațiilor și fizica matematică , notația este adesea folosită ; pentru valoarea derivatei la punctul - . Pentru derivatele parțiale, notația este aceeași, deci sensul notației este determinat din context. $f_{x}$ $f_{{xx}}$ $f_{x}\vert _{{x=x_{0}}}$

Desigur, nu trebuie uitat că toate servesc la desemnarea acelorași obiecte:

f^{(n)}(x_{0})={\frac {d^{n}\!f}{dx^{n))}(x_{0})={\overset {\ overbrace {\cdot \cdot \ldots \cdot } ^{n\ {\text{times}}}}{f}}(x_{0})=\mathrm {D} ^{n}\!f(x_{ 0})=f{\underbrace {_{xx\ldots x}} _{n\ {\text{times}}}}\vert _{x=x_{0}}.

Exemple

Lasă . Apoi $f(x) = x^2$

f'(x_{0})=\lim \limits _{{x\to x_{0))}{\frac {x^{2}-x_{0}^{2}}{x-x_{0 }}}=\lim \limits _{{x\to x_{0}}}{\frac {(x-x_{0})(x+x_{0})}{x-x_{0}}} =\lim \limits _{{x\to x_{0}}}(x+x_{0})=2x_{0}.

Lasă . Atunci dacă atunci $f(x)=|x|$ $x_{0}\neq 0,$

f'(x_{0})=\operatorname{sgn} x_{0},

unde denotă funcția semn a . Și dacă atunci a deci nu există. $\operatorname{sgn}$ $x_{0}=0,$ $f'_{+}(x_{0})=1,\;f'_{-}(x_{0})=-1,$ $f'(x_{0})$

Teoreme legate de diferențiere

Pentru funcțiile continue pe intervalul , diferențiabile pe intervalul , sunt valabile următoarele: $f,g$ $[a,b]$ $(a,b)$

Lema Fermat . Dacăia valoarea maximă sau minimă în punctși există, atunci. $f$ $c$ $f'(c)$ $f'(c)=0$

Teorema derivatei zero . Dacă aceleași valorila capetele segmentului există cel puțin un punct pe intervalul la care derivata funcției este egală cu zero. $f$ $[a,b]$ $(a,b)$

Formula cu incrementare finită . Căciexistă un punctastfel încât. $f$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{ba}}=f'(c)$

Teorema valorii medii a lui Cauchy . Dacănu este egal cu zero pe interval, atunci există un punctastfel încât. $g'$ $(a,b)$ $c\in(a,b)$ ${\frac {f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)))$

Regula lui L'Hopital . Dacăsau, șipentru oricaredintre un cartier perforatși există, atunci. $\lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0$ $\infty$ $g'(x)\neq 0$ $X$ $c$ $\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)))$ $\lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g '(X)}}$

Reguli de diferențiere

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere. Atunci când efectuați această operație, de multe ori trebuie să lucrați cu câte, sume, produse ale funcțiilor, precum și cu „funcții ale funcțiilor”, adică funcții complexe. Pe baza definiției derivatei, putem deriva reguli de diferențiere care facilitează această lucrare. Dacă este un număr constant și sunt câteva funcții diferențiabile, atunci sunt valabile următoarele reguli de diferențiere: $C$ $f=f(x),g=g(x)$

$C'=0$
$x'=1$
$\left(f+g\right)'=f'+g'$ [3]

Dovada

$y(x)=f(x)+g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta {x})-y(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x+\Delta {x})+g(x+\Delta {x}))-(f(x)+g(x) ))}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{({\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+{\frac {g(x+\Delta) x)-g(x)}{\Delta x)))}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x))+\lim _{\Delta x\to 0} {\frac {g(x+\Delta x)-g(x)}{\Delta x))=$

$=f'(x)+g'(x)$ ■

$\left(fg\right)'=f'g+fg'$ [patru]

Dovada

$y(x)=f(x)g(x)$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x+\Delta x)-f(x)g(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))(g(x)+\Delta g(x))-f(x) g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+f(x)\Delta g(x)+\Delta f(x)g(x)+ \Delta f(x)\Delta g(x)-f(x)g(x)}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}(f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x))+g(x){\frac {\Delta f( x)}{\Delta x))+\Delta g(x){\frac {\Delta f(x)}{\Delta x)))=$

$=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)+0f'(x)=$

$=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)$ ■

$\left(Cf\right)'=Cf'$
$\left({\frac {f}{g}}\right)'={\frac {f'g-fg'}{g^{2}}}$ …(g ≠ 0)

Dovada

$y(x)={\frac {f(x)}{g(x))}$

$\Delta f(x)=f(x+\Delta x)-f(x)$

$\Delta g(x)=g(x+\Delta x)-g(x)$

$y'(x)=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x))=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {{\frac {f(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x)})-{\frac {f(x) }{g(x)}}}{\Delta x}}=$

$=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)g(x)-f(x)g(x+\Delta x)}{g(x+\Delta x) )g(x)\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {(f(x)+\Delta f(x))g (x)-f(x)(g(x)+\Delta g(x))}{\Delta x}}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)}}\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(x)g(x)+\Delta f(x) )g(x)-f(x)g(x)-f(x)\Delta g(x)}{\Delta x))=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))\lim _{\Delta x\to 0}{(g(x){\frac {\Delta f(x)}{ \Delta x))-f(x){\frac {\Delta g(x)}{\Delta x)))}=$

$={\frac {1}{g^{2}(x)))(g(x)f'(x)-f(x)g'(x))=$

$={\frac {f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g^{2}(x)))$ ■

$\left({\frac {C}{g}}\right)'=-{\frac {Cg'}{g^{2}}}$ (g ≠ 0)
Dacă funcția este setată parametric:

$\left\{{\begin{matrix}x=x(t),\\y=y(t),\end{matrix}}\;\;t\in \left[T_{1};T_{2 }\corect corect.$ , apoi $y'_{x}={\frac {dy}{dx}}={\frac {dy}{dt}}\cdot {\frac {dt}{dx}}=y'_{t}\cdot t '_{x}={\frac {y'_{t}}{x'_{t}}}$

${\frac {d}{dx}}f(g(x))={\frac {df(g)}{dg}}\cdot {\frac {dg(x)}{dx}}=f'_ {g}g'_{x}$
Produsul derivat și formulele raportului sunt generalizate în cazul diferențierii de n ori ( formula Leibniz ):

(fg)^{{(n)}}=\sum \limits _{{k=0}}^{{n}}{C_{n}^{k}f^{{(nk)}}g^ {{(k)}}},

unde sunt coeficienți binomi .

C_{n}^{k}

Următoarele proprietăți ale derivatei servesc ca adaos la regulile de diferențiere:

dacă o funcție este diferențiabilă pe interval , atunci este continuă pe interval . Reversul nu este, în general, adevărat (de exemplu, o funcție pe ); $(a,b)$ $(a,b)$ $y(x)=|x|$ $[-1,1]$
dacă funcția are un maxim/minim local când valoarea argumentului este egală cu , atunci (aceasta este așa-numita lemă a lui Fermat ); $X$ $f'(x)=0$
derivata acestei funcții este unică, dar funcții diferite pot avea aceleași derivate.
$(f(x)^{{g(x)}})'=f(x)^{{g(x)}}\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g (x)f'(x)}{f(x)}}\right)(\forall x\in D_{f}:f(x)>0)$

Dovada

$y=f(x)^{{g(x)}}$

$\ln y=g(x)\ln f(x)$

${\frac {y'}{y}}=g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))$

$y'=y\left(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x)))\dreapta)$

$y'=f(x)^{{g(x)}}(g'(x)\ln f(x)+{\frac {g(x)f'(x)}{f(x))) )$ ■

Tabel de derivate ale unor funcții

Funcţie $f(x)$	Derivat $f'(x)$	Notă
$x^{\alpha }$	$\alpha \cdot x^{\alpha -1)$	Dovada Reparăm și creștem argumentul . Să calculăm incrementul funcției: , deci Vezi $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=(x+\Delta x)^{\alpha }-x^{\alpha }=x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-unu)$ $(x^{\alpha })'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0)){{\frac {x^{\alpha }((1+{\frac {\Delta x}{x)))^{\alpha }-1)}{\Delta x))}=$ $=\lim _({\Delta x\to 0)){\frac {\alpha \cdot x^{\alpha }\cdot {\frac {\Delta x}{x))}{\Delta x))= \alpha \cdot x^{{\alpha -1}}$
$a^{x}$	$a^{x}\cdot \ln {a}$	Dovada Reparăm și creștem argumentul . Să calculăm incrementul funcției: , deci Vezi $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=a^{x+\Delta x}-a^{x}=a^{x}(a^{\Delta x}-1)$ $(a^{x})'=\lim _({\Delta x\to 0))({\frac {\Delta y}{\Delta x))}=\lim _({\Delta x\to 0 }}{{\frac {a^{x}(a^{{\Delta x}}-1)}{\Delta x}}}=$ $=\lim _{{\Delta x\to 0}}{\frac {a^{x}\cdot \Delta x\cdot \ln {a}}{\Delta x}}=a^{x}\cdot \ln {a}$
$\log _{a}{x}$	${\frac {1}{x\cdot \ln {a}}}$	Dovada $(\log _{a}x)'={\frac {1}{\ln {a))}\cdot (\ln {x})'$ Învățăm derivata prin derivata funcției inverse : $\ln {x)$ $y_{x}=\ln {x}\Rightarrow x_{y}=e^{y},$ $y_{x}'=(\ln {x})'={\frac {1}{(e^{y})'}}={\frac {1}{e^{y}}} ={\frac {1}{x}}$ Primim: $(\log _{a}{x})'={\frac {1}{x\cdot \ln {a})}$
$\sin x$	$\cos x$	Dovada Reparăm și creștem argumentul . Să calculăm incrementul funcției: , deci ( Vezi ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=sin(x+\Delta x)-sin(x)=2sin({\frac {x+\Delta xx}{2)))\cdot cos({\frac {x+\Delta +x} {2)))=2sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x)}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {2sin({\frac { \Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac { sin({\frac {\Delta x}{2)))\cdot cos(x+{\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{cos(x+{\frac {\Delta x}{2))}}=cos(x)$
$\cos x$	$-\sin x$	Dovada Reparăm și creștem argumentul . Să calculăm incrementul funcției: , deci ( Vezi ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=cos(x+\Delta x)-cos(x)=-2sin({\frac {x+\Delta x+x}{2)))\cdot sin({\frac {x+\Delta -x}{2)))=-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2))))$ ${\displaystyle \lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x)}=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {-2sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\Delta x))=\lim _{\Delta \to 0}{\frac {- sin(x+{\frac {\Delta x}{2)))\cdot sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin({\frac {\Delta x}{2)))}{\frac {\Delta x}{2))))$ $\cdot \lim _{\Delta x\to 0}{-sin(x+{\frac {\Delta x}{2))}}=-sin(x)$
$\mathrm {tg} \ x$	${\frac {1}{\cos ^{2}{x}})$	Dovada 1 Reparăm și creștem argumentul . Să calculăm incrementul funcției: , deci ( Vezi ) $x\in {\mathbb {D}}(f)$ $\Delta x$ $\Delta y=tg(x+\Delta x)-tg(x)={\frac {sin(x+\Delta xx)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={ \frac {sin(\Delta x)}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}$ $\lim _{x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x))=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {\frac {sin(\Delta x )}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)}}{\Delta x}}=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {sin(\Delta x)}{\Delta x}}\cdot$ $\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {1}{cos(x+\Delta x)\cdot cos(x)))={\frac {1}{cos^{2}( X)}}$ Dovada 2 $(tgx)'=({\frac {sin(x)}{cos(x))))'={\frac {(sin(x))'\cdot cos(x)-sin(x) \cdot (cos(x))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {cos(x)\cdot cos(x)-sin(x)\cdot (-sin(x)) }{cos^{2}(x)}}={\frac {cos^{2}(x)+sin^{2}(x)}{cos^{2}(x)))={\frac {1}{cos^{2}(x)}}$
$\mathrm {ctg} \x$	$-{\frac {1}{\sin ^{2}{x}))$	Dovada $(ctgx)'=({\frac {cos(x)}sin(x))))'={\frac {(cos(x))'\cdot sin(x)-cos(x) \cdot (sin(x))'}{sin^{2}(x)}}={\frac {-sin(x)\cdot sin(x)+cos(x)\cdot cos(x)}{ sin^{2}(x)}}=-{\frac {sin^{2}(x)+cos^{2}(x)}{sin^{2}(x)))=-{\frac {1}{sin^{2}(x)}}$
$\mathrm {sec} \ x$	$\mathrm {sec} \ x\cdot \mathrm {tg} \ x$	Dovada $(sec(x))'=({\frac {1}{cos(x))))'={\frac {(1)'\cdot cos(x)-1\cdot (cos(x) ))'}{cos^{2}(x)}}={\frac {sin(x)}{cos^{2}(x)}}=sec(x)\cdot tg(x)$
$\mathrm {cosec} \x$	$-\mathrm {cosec} \ x\cdot \mathrm {ctg} \ x$	Dovada $(cosec(x))'=({\frac {1}{sin(x))))'={\frac {(1)'\cdot sin(x)-1\cdot (sin(x) ))'}{sin^{2}(x)}}=-{\frac {cos(x)}{sin^{2}(x)}}=-coses(x)\cdot ctg(x)$
$\arcsin {x}$	${\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Dovada Puteți găsi derivata arcsinusului folosind funcții reciproc inverse. După care trebuie să luăm derivata acestor două funcții. Acum trebuie să exprimăm derivata arcsinusului. Pe baza identității trigonometrice ( ) - obținem. Pentru a înțelege plus sau minus, trebuie să vă uitați la intervalul de valori cosinus. Deoarece cosinusul se află în cadranele 2 și 4, se dovedește că cosinusul este pozitiv. Se dovedește. $sin(arcsin((x))=x$ $[sin(arcsin((x))]'=x'$ $cos(arcsin(x))\cdot (arcsin(x))'=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{cos(arcsin(x))))$ $sin^{2}x+cos^{2}x=1$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\pm {\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x)))))}$ $D(cos(x))=[{\frac {\pi }{2);-{\frac {\pi }{2)}]$ ${\displaystyle (arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-sin^{2}(arcsin(x))))))$ $(arcsin(x))'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}))$
$\arccos {x}$	$-{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2))))}$	Dovada Puteți găsi derivata arccosinului folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata arccosinului. Se dovedește. $arcsin(x)+arccos(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arcsin(x)+arccos(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arcsin(x))'+(arccos(x))'=0$ $(arccos(x))'=-(arcsin(x))'$ $(arccos(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2)}))$
$\mathrm {arctg} \x$	${\frac {1}{1+x^{2)}}$	Dovada Puteți găsi derivata arc-tangentei folosind funcția reciprocă: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum trebuie să exprimăm derivata arc-tangentei: Acum identitatea ( ) ne va veni în ajutor : Se dovedește. $tg(arctg(x))=x$ $[tg(arctg(x))]'=1$ ${\frac {1}{cos^{2}(arctg(x))))\cdot (arctg(x))'=1$ $(arctg(x))'=cos^{2}(arctg(x))$ $cos(x)={\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(x))))$ $(arctg(x))'=({\frac {1}{\sqrt {1+tg^{2}(arctg(x)))))^{2)$ $(arctg(x))'={\frac {1}{1+x^{2)})$
$\mathrm {arcctg} \x$	$-{\frac {1}{1+x^{2)}}$	Dovada Puteți găsi derivata tangentei inverse folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata tangentei inverse. Se dovedește. $arctg(x)+arcctg(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arctg(x)+arcctg(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arctg(x))'+(arctg(x))'=0$ $(arctg(x))'=-(arctg(x))'$ $(arcctg(x))'=-{\frac {1}{1+x^{2)))$
$\mathrm {arcsec} \ x$	${\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Dovada Puteți găsi derivata arcsecantei folosind identitatea: $arcsec(x)=arccos({\frac {1}{x))}$ Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. $(arcsec(x))'=(arccos({\frac {1}{x))))'$ $(arcsec(x))'=-{\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2)}))))\cdot (-{\frac {1 {x^{2}}})$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {\frac {x^{2}-1}{x^{2)})))))$ $(arcsec(x))'={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\|x\|}}}}$ Se dovedește. $(arcsec(x))'={\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arccosec} \ x$	$-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1))))$	Dovada Puteți găsi derivata arcului cosecantei folosind această identitate: Acum găsim derivata ambelor părți ale acestei identități. Acum exprimăm derivata arccosinului. Se dovedește. $arccosec(x)+arcsec(x)={\frac {\pi }{2))$ $[arccosec(x)+arcsec(x)]'=({\frac {\pi }{2)))'$ $(arccosec(x))'+(arcsec(x))'=0$ $(arccosec(x))'=-(arcsec(x))'$ $(arccosec(x))'=-{\frac {1}{\|x\|{\sqrt {x^{2}-1)))}$
$\mathrm {sh} \x$	$\mathrm {ch} \ x$	Dovada $(\operatorname {sh} {x})'=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}-e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}-(-1)\cdot e^{ -x})={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}=\operatorname {ch} {x}$
$\mathrm {ch} \ x$	$\mathrm {sh} \x$	Dovada $(\operatorname {ch} {x})'=\left({\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\right)'={\frac {1} {2}}\cdot (e^{x}+e^{-x})'={\frac {1}{2}}\cdot (e^{x}+(-1)\cdot e^{ -x})=\left({\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\right)=\operatorname {sh} {x}$
$\mathrm {th} \ x$	${\frac {1}{\mathrm {ch} ^{2}\ x))$	Dovada $(th(x))'=({\frac {sh(x)}{ch(x))))'={\frac {(sh(x))'\cdot ch(x)-sh (x)\cdot (ch(x))'}{ch^{2}(x)}}={\frac {ch(x)\cdot ch(x)-sh(x)\cdot sh(x) }{ch^{2}(x)}}={\frac {ch^{2}(x)-sh^{2}(x)}{ch^{2}(x)))={\frac {1}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {cth} \x$	$-{\frac {1}{\mathrm {sh} ^{2}\ x))$	Dovada $(cthx)'=({\frac {ch(x)}{sh(x))))'={\frac {(ch(x))'\cdot sh(x)-ch(x) \cdot (sh(x))'}{sh^{2}(x)}}={\frac {sh(x)\cdot sh(x)-ch(x)\cdot ch(x)}{sh ^{2}(x)}}={\frac {sh^{2}(x)-ch^{2}(x)}{sh^{2}(x)))=-{\frac {1 {sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {sch} \x$	$-{\frac {\operatorname {sh} (x)}{\operatorname {ch} ^{2}(x)))$	Dovada $(sch(x))'=({\frac {1}{ch(x))))'={\frac {(1)'\cdot ch(x)-1\cdot (ch(x) ))'}{ch^{2}(x)}}=-{\frac {sh(x)}{ch^{2}(x)}}$
$\mathrm {csch} \x$	$-{\frac {\operatorname {ch} (x)}{\operatorname {sh} ^{2}(x)))$	Dovada $(csch(x))'=({\frac {1}{sh(x))))'={\frac {(1)'\cdot sh(x)-1\cdot (sh(x) ))'}{sh^{2}(x)}}=-{\frac {ch(x)}{sh^{2}(x)}}$
$\mathrm {arsh} \x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1)}}$	Dovada ${\displaystyle (arsh(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}+1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}+1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}+1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}+1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}+1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}+1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}+1))))\cdot (x^{2}+1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}+1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1)))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}+1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{\sqrt {x^{2}+1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}+1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}+1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} +1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1))))$
$\mathrm {arc} \ x$	${\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1)})$	Dovada ${\displaystyle (arch(x))'=(\ln {(x+{\sqrt {x^{2}-1)))})'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{ 2}-1))))\cdot (x+{\sqrt {x^{2}-1)))'={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1))} }\cdot ((x)'+({\sqrt {x^{2}-1)))')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1)))) \cdot (1+({\sqrt {x^{2}-1}})')={\frac {1}{x+{\sqrt {x^{2}-1}}}}\cdot (1 +{\frac {1}{2{\sqrt {x^{2}-1))))\cdot (x^{2}-1)')={\frac {1}{x+{\sqrt { x^{2}-1))))\cdot (1+{\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}-1))))))={\frac {1}{x+{ \sqrt {x^{2}-1))))\cdot ({\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{\sqrt {x^{2}-1}}} )={\frac {x+{\sqrt {x^{2}-1}}}{(x+{\sqrt {x^{2}-1}})\cdot ({\sqrt {x^{2} -1)))))={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1))))$
$\mathrm {arth} \ x$	${\frac {1}{1-x^{2)}}$	Dovada $({\displaystyle \mathrm {arth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {1+x} {1-x}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\biggl ( }{\frac {1+x}{1-x}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {(1+x)'(1-x)-(1+x)(1-x)'}{(1-x)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {1-x}{1+x}}\cdot {\frac {2}{(1-x)^{2}}}={\frac {1}{1-x^{ 2}}}$
$\mathrm {arcth} \x$	${\frac {1}{1-x^{2)}}$	Dovada $({\displaystyle \mathrm {arcth} \ x})'={\biggl (}{\frac {1}{2))\cdot \ln {\biggl (}{\frac {x+1} {x-1}}{\biggl )}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\biggl ( }{\frac {x+1}{x-1}}{\biggl )}'={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {(x+1)'(x-1)-(x+1)(x-1)'}{(x-1)^{2))}={\frac {1}{2} }\cdot {\frac {x-1}{x+1}}\cdot {\frac {-2}{(x-1)^{2}}}={\frac {1}{1-x^ {2}}}$
$\mathrm {arsech} \x$	$-{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {\frac {1-x}{1+x))))))$
$\mathrm {arcsch} \ x$	${\displaystyle -{\frac {1}{x(x+1){\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2))}))))))$

Derivata unei functii vectoriale fata de un parametru

Să definim derivata funcției vectoriale în raport cu parametrul: ${\mathbf {r}}(t)$

{\frac {d}{dt}}{\mathbf {r}}(t)=\lim _{{h\la 0}}{\frac {{\mathbf {r}}(t+h)-{ \mathbf {r}}(t)}{h}}

Dacă o derivată există într-un punct, se spune că funcția vectorială este diferențiabilă în acel punct. Funcțiile de coordonate pentru derivată vor fi . $t$ $x'(t),\ y'(t),\z'(t)$

Proprietăți ale derivatei unei funcții vectoriale (pretutindeni se presupune că există derivate):

${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t)+{\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_ {1}}}(t)}{dt}}+{\frac {d{\mathbf {r_{2}}}(t)}{dt}}$ Derivata unei sume este suma derivatelor.
${\frac {d}{dt}}(f(t){\mathbf {r}}(t))={\frac {df(t)}{dt}}{\mathbf {r}}(t) +f(t){\frac {d{\mathbf {r}}(t)}{dt}}$ — aici este o funcție scalară diferențiabilă . $f(t)$
${\frac {d}{dt))({\mathbf {r_{1))}(t){\mathbf {r_{2))}(t))={\frac {d{\mathbf {r_{ 1}}}(t)}{dt}}{\mathbf {r_{2}}}(t)+{\mathbf {r_{1}}}(t){\frac {d{\mathbf {r_{ 2}}}(t)}{dt}}$ - diferenţierea produsului scalar .
${\frac {d}{dt}}[\mathbf {r_{1}} (t),\mathbf {r_{2}} (t)]=\left[{\frac {d\mathbf { r_{1}} (t)}{dt}},\mathbf {r_{2}} (t)\dreapta]+\stânga[\mathbf {r_{1}} (t),{\frac {d\ mathbf {r_{2}} (t)}{dt}}\right]$ — diferențierea produsului vectorial .
${\frac {d}{dt}}({\mathbf {a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t))=\left({\ frac {d{\mathbf {a}}(t)}{dt}},{\mathbf {b}}(t),{\mathbf {c}}(t)\right)+\left({\mathbf {a}}(t),{\frac {d{\mathbf {b}}(t)}{dt}},{\mathbf {c}}(t)\dreapta)+\left({\mathbf { a}}(t),{\mathbf {b}}(t),{\frac {d{\mathbf {c}}(t)}{dt}}\dreapta)$ este diferenţierea produsului mixt .

Modalități de stabilire a derivatelor

derivat Jackson [5] :

D_{{x}}^{{q}}f(x)={\frac {f(qx)-f(x)}{(q-1)x}}.

Variații și generalizări

Generalizări ale derivatelor

Vezi și

Note

↑ Kolmogorov A. N. , Abramov A. M. , Dudnitsyn Yu. P. Algebra și începutul analizei. Manual pentru clasele 10-11 de liceu. - M., Educație, 1994. - ISBN 5-09-006088-6 . - C. 155-156
↑ Komkov G. D. , Levshin B. V., Semenov L. K. Academia de Științe a URSS. Scurt eseu istoric (în două volume). - Ed. a II-a. - M . : Science , 1977. - T. 1. 1724-1917. - S. 173.
↑ Derivata sumei este egala cu suma derivatelor
↑ De aici, în special, rezultă că derivata produsului unei funcții și unei constante este egală cu produsul derivatei acestei funcții și constantei
↑ AI Olemskoi, SS Borysov,a și IA Shuda. Teorii statistice de câmp deformate în diferite calcule . Consultat la 21 aprilie 2014. Arhivat din original la 21 septembrie 2017. (nedefinit)

Literatură

Vilenkin N., Mordkovich A. Ce este un derivat // Kvant. - 1975. - Nr. 12 .
V. G. Boltyansky , Ce este diferențierea?, „ Prelegeri populare în matematică ”, numărul 17, Gostekhizdat 1955, 64 p.
V. A. Gusev , A. G. Mordkovich „Matematică”
G. M. Fikhtengolts „Curs de calcul diferențial și integral ”, volumul 1
V. M. Borodikhin , Matematică superioară , manual. manual, ISBN 5-7782-0422-1

Link -uri

Dicționare și enciclopedii	mare danez Mare norvegian Rusă mare in jurul lumii Britannica (online) Treccani
În cataloagele bibliografice	GND : 4233840-2 J9U : 987007574837105171 LCCN : sh2011005437 NDL : 00560650 NKC : ph137564