Teorema Sochocki-Weierstrass

Teorema Sochocki-Weierstrass este o teoremă de analiză complexă care descrie comportamentul unei funcții holomorfe într-o vecinătate a unui punct singular esențial.

Se spune că orice funcție analitică cu o singură valoare din fiecare vecinătate a unui punct esențial singular ia valori în mod arbitrar apropiate de un număr complex prealocat arbitrar [1] .

Istorie

A fost publicat de Yu. V. Sokhotsky în 1868 în teza sa de master [K 1] ; s-a dovedit că „într-un pol de ordine infinită” (așa se numea punctul esențial singular) funcția „ar trebui să ia toate valorile posibile” (în această lucrare, valoarea funcției în acest punct a fost înțeleasă ca valoare limită de-a lungul succesiunii de puncte care converg către acesta) [2] .

Concomitent cu Sokhotsky, matematicianul italian F. Casorati a publicat o teoremă privind densitatea imaginii unei vecinătăți perforate a unui punct singular esențial în lucrarea sa „Teoria funcțiilor variabilelor complexe” [K 2] . Weierstrass a publicat această teoremă abia în 1876 în lucrarea sa „On the theory of single-valued analytic functions” [K 3] [3] . Pentru prima dată, este întâlnit de matematicienii francezi Ch. Briot și J.C. Bouquet în lucrarea lor despre teoria funcțiilor eliptice [K 4] [1] .

Nicăieri Sokhotsky nu și-a apărat prioritatea față de aceasta și de celelalte rezultate ale sale atribuite altora [2] ; în literatura în limbile europene, teorema este cunoscută ca teorema Casorati-Weierstrass .

Formulare

Oricum , în orice vecinătate a unui punct singular esențial al funcției există cel puțin un punct în care valoarea funcției diferă de un număr complex B dat arbitrar cu mai puțin de . $\varepsilon >0$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{1}$ $f(z)$ $\varepsilon$

Dovada

Să presupunem că teorema este falsă, adică

\exists B\in \mathbb {C} \qquad \exists \varepsilon >0\qquad \exists \eta _{0}>0:\qquad \forall z:|z-z_{0}|<\ eta_{0}

|f(z)-B|>\varepsilon

Să considerăm o funcție auxiliară . În virtutea presupunerii noastre, funcția este definită și mărginită într-o vecinătate a punctului . Prin urmare , este un punct singular amovibil [4] . Aceasta înseamnă că extinderea funcției în vecinătatea punctului are forma: $\psi (z)={\frac {1}{f(z)-B)}$ $\psi (z)$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $\psi (z)$ $\psi (z)$ $z_{0}$

\psi (z)=(z-z_{0})^{m}{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)\qquad {\stackrel {\sim }{\varphi }} (z)\neq 0

Apoi, în virtutea definiției funcției , are loc următoarea extindere a funcției în vecinătatea dată a punctului : $\psi (z)$ $z_{0}$ $f(z)$

f(z)=(z-z_{0})^{-m}\varphi (z)+B

unde funcţia analitică este mărginită în vecinătatea punctului . Dar o astfel de expansiune înseamnă că punctul este un pol sau un punct regulat al funcției , iar extinderea acestuia din urmă într-o serie Laurent trebuie să conțină un număr finit de termeni, ceea ce contrazice condiția teoremei. $\varphi (z)={\frac {1}{{\stackrel {\sim }{\varphi }}(z)))$ $\eta _{0}$ $z_{0}$ $z_{0}$ $f(z)$

■

În mod echivalent, această teoremă poate fi reformulată după cum urmează:

Dacă un punct este esențial singular pentru o funcție care este analitică într-o vecinătate perforată , atunci pentru un număr complex arbitrar se poate găsi o secvență care converge către care . $z_{0}$ $f(z)$ ${\displaystyle U=\{z:\,0<|z-z_{0}|<\varepsilon \))$ $w$ $\{z_{n}\}\subset U$ $z_{0}$ $\{f(z_{n})\}\la w$
setul de valori ale unei funcții holomorfe într-o vecinătate perforată arbitrar mică a punctului său singular esențial este peste tot dens în . $\mathbb {C}$

Generalizări

Teorema lui Sochocki este generalizată de Marea Teoremă a lui Picard , care afirmă că o funcție analitică într-o vecinătate a unui punct esențial singular ia toate valorile, cu excepția poate o singură valoare.

Comentarii

↑ Teoria reziduurilor integrale cu unele aplicații. - Sankt Petersburg. , 1868.
↑ Casorati F. Teorica delle funzioni di variabili complesse. — Pavia, 1868.
↑ Weierstrass K. Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen // Math. Werkc, Bd 2, B. - P. 77-124.
↑ C. Briot, I. Buchet. Théorie des fonctions doublement périodiques et en particulier des fonctions elliptiques. — 1859.

Link -uri

↑ 1 2 Teorema Sokhotsky-Weierstrass // Marea Enciclopedie Sovietică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1969-1978.
↑ 1 2 B. V. Shabat. Distribuția valorilor mapărilor holomorfe . - M. : Nauka, Ediția principală a literaturii fizice și matematice, 1982. Arhivată 5 martie 2016 la Copia arhivată Wayback Machine (link inaccesibil) . Consultat la 15 noiembrie 2011. Arhivat din original pe 5 martie 2016. . (nedefinit)
↑ I. M. Vinogradov. Teorema Sokhotsky // Enciclopedia matematică. - M . : Enciclopedia Sovietică, 1977-1985. .
↑ Acest fapt este dovedit folosind estimarea majorantă a expansiunii unei funcții dintr-o serie Laurent.

Literatură

Evgrafov M. A. Funcții analitice. — M .: Nauka . — 1968, 448 pagini.
Shabat BV Introducere în analiza complexă. — M .: Nauka . - 1969, 577 pagini.