Teorema lui Picard (analiza complexă)

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă revizuită de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită pe 23 noiembrie 2018; verificarea necesită 1 editare .

În teoria funcțiilor unei variabile complexe , două teoreme sunt numite în onoarea lui S. E. Picard , numite în mod tradițional teoremele mari și mici ale lui Picard .

Mica teoremă a lui Picard

Formulare

Domeniul unei întregi funcții , alta decât o constantă, este întregul plan complex , cu excepția posibilă a unui singur punct.

Dovada

Mica teoremă a lui Picard este un caz special al teoremei lui Landau . Să arătăm că, presupunând că o întreagă funcție produce două valori finite diferite și și și nu este identic constantă, ajungem imediat la o contradicție bazată pe teorema lui Landau. $f(z)$ $A$ $b$

Să luăm în considerare o funcție . Este holomorf în întregul plan, nu ia valori și nu este constant constant. Prin urmare, există un astfel de punct - îl luăm ca origine a coordonatelor, la care derivata nu este egală cu zero. Fie extinderea funcției noastre într-o serie de puteri . $F(z)={\frac {f(z)-a}{ba}}$ $0$ $unu$ $\backprime F'(0)=\beta$ $F(z)=\alpha +\beta z+a_{{2}}z^{{2}}+...$

Deoarece funcția este holomorfă și nu ia valori în interiorul unui cerc de rază arbitrară : , atunci prin teorema lui Landau avem . $F(z)$ $0$ $unu$ $R$ $|z|<R$ $R<\Omega (\alpha ,\beta )$

Inconsecvența acestei inegalități este evidentă, deoarece în partea stângă a acesteia există un număr arbitrar de mare , iar în dreapta - un număr constant . $R$ $\omega (\alpha ,\beta )$

Marea Teoremă a lui Picard

Fie o funcție holomorfă într-o vecinătate perforată a unui punct și să aibă o singularitate esențială în punctul . Apoi capătă toate valorile, cu excepția poate una, de un număr infinit de ori. $f$ $U(z_{0})$ $z_{0}\in \mathbb {C}$ $z_{0}$ $f$ $U(z_{0})$

Este într-un fel o generalizare a teoremei lui Sochocki . Dovada folosește inegalitatea lui Schottky .

Note

De fapt, teorema mică a lui Picard este o consecință a celei mari, deoarece, conform teoremei lui Liouville , o întreagă funcție este fie un polinom, fie are o singularitate esențială la infinit.
Marea teoremă a lui Picard admite o generalizare în cazul funcțiilor meromorfe . Fie o suprafață Riemann , o sferă Riemann și o funcție holomorfă având o singularitate esențială într-un punct. Apoi, în orice vecinătate a punctului , funcția ia aproape toate valorile pe , cu excepția a cel mult două. $M$ $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ $f\colon M\setminus {w}\la \mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$ $w$ $U(w)\subset M$ $w$ $f$ $\mathbf {P} ^{1}\mathbb {C}$

De exemplu, funcția meromorfă

f(z)={\frac {1}{1-\exp {1/z}}}

are o singularitate esențială în punct și ajunge în orice vecinătate a lui , dar nu este nicăieri egal cu 0 sau 1.

z=0

\infty

U(0)

Literatură

Polovinkin E. S. Un curs de prelegeri despre teoria funcțiilor unei variabile complexe, - M . : Fizmatkniga, 2003. - M. , Editura MIPT, 2003. - 203 s - ISBN 5-89155-115-9
Shabat B. V. Introducere în analiza complexă, - Sankt Petersburg. : Doe, 2004. - 336 s - ISBN 5-8114-0568-5 ( ISBN 5-8114-0567-7 )
Privalov II Introducere în teoria funcţiilor unei variabile complexe. - al 12-lea. - M. , 1977.