Teorema lui Stone asupra grupurilor de operatori unitari într-un spațiu Hilbert

Versiunea actuală a paginii nu a fost încă examinată de colaboratori experimentați și poate diferi semnificativ de versiunea revizuită la 3 aprilie 2018; verificarea necesită 1 editare .

Teorema lui Stone asupra grupurilor de operatori unitari într-un spațiu Hilbert este un rezultat important al analizei funcționale , afirmând că orice grup puternic continuu de operatori unitari cu un parametru poate fi reprezentat ca:

U_{t}=e^{it{\hat {H}}}\quad t\in \mathbb {R}

unde este un operator auto-adjunct și este un parametru. Este adevărat și invers: cu ajutorul reprezentării Stone, orice operator auto-adjunct poate fi asociat cu un grup puternic continuu de operatori unitari cu un parametru. $\hat H$ $t$ $\hat H$

Teorema a fost demonstrată de matematicianul american Marshall Stone în 1930 și a fost de mare importanță pentru dezvoltarea mecanicii cuantice și a servit, de asemenea, ca un impuls pentru crearea teoriei Koopman-von Neumann .

Un grup puternic continuu cu un parametru de operatori unitari are următoarele proprietăți:

\lim _{t\rightarrow t_{0}}U_{t}\xi =U_{t_{0}}\xi \quad \forall t_{0}\in \mathbb {R} ,\xi \ inH

U_{t+s}=U_{t}U_{s}

Importanța rezultatului pentru fizică constă în faptul că garantează existența și unicitatea soluțiilor ecuațiilor Schrödinger și Liouville , precum și păstrarea normalizărilor funcției de undă.

Link -uri

Stone, M. H. (1930), Transformări liniare în spațiul Hilbert. III. Metode operaționale și teoria grupurilor , Proceedings of the National Academy of Sciences of the United States of America (National Academy of Sciences) . — Vol. 16(2): 172–175, ISSN 0027-8424 , < https://www.jstor.org/stable/85485 >
Stone, MH (1932), On-one-parameter unitary groups in Hilbert Space , Annals of Mathematics vol. 33 (3): 643–648 , < https://www.jstor.org/stable/1968538 >
K. Yosida, Functional Analysis , Springer-Verlag, (1968).