Teoria Koopman-von Neumann

Teoria Koopman-von Neumann (teoria KvN) în fizica matematică este reformularea originală a mecanicii statistice clasice , creată de matematicienii americani John von Neumann și Bernard Koopman . Formalismul mecanicii Koopman-von Neumann este cât se poate de apropiat de formalismul mecanicii cuantice non-relativiste : starea unui sistem dinamic din acesta este descrisă folosind funcția de undă clasică, care este un analog al funcției de undă mecanică cuantică , ecuația Liouville clasică capătă structura matematică a ecuației Schrödinger etc.

Din punct de vedere ideologic, teoria KvN este diametral opusă reprezentării Wigner , în care o idee similară de unificare a aparatului matematic al fizicii statistice și cuantice clasice se realizează, dimpotrivă, prin conversia funcției de undă care apare în ecuația Schrödinger în o funcție Wigner definită în spațiul fazelor clasice . Este semnificativ faptul că ambele teorii au fost create aproape simultan - în 1931-1932 .

Istoricul creației

Originile teoriei KvN sunt strâns legate de istoria apariției teoriei ergodice ca ramură independentă a matematicii. Până la începutul anului 1931, lipsa unei justificări matematice acceptabile pentru ipoteza ergodică , formulată de L. Boltzmann încă din 1887, a rămas o problemă serioasă în fizica teoretică . Acest lucru, în special, a făcut dificilă derivarea consecventă a legilor termodinamicii gazelor, luând ca punct de plecare imaginea microscopică a mișcării unui ansamblu mare de molecule, care are loc în conformitate cu legile mecanicii newtoniene [1] .

Lucrarea din 1930 a matematicianului american Marshall Stone asupra teoriei spectrale a grupurilor uniparametrice de operatori unitari [2] poate fi considerată o condiție prealabilă directă pentru rezolvarea problemei . Deja în anul următor, a fost publicată lucrarea cheie a lui Koopman [3] , care a observat că spațiul de fază al unui sistem clasic care evoluează în conformitate cu legile standard ale mecanicii clasice poate fi transformat într-un spațiu Hilbert prin postularea unei reguli naturale a integrarea peste punctele din spațiul fazelor ca definiție a unui scalar funcționează [4] . Este remarcabil că evoluția variabilelor fizice în acest caz începe să fie descrisă de operatori unitari, care formează un grup cu un singur parametru, pentru care rezultatele lui Stone sunt valabile.

O astfel de reprezentare de operator a mecanicii clasice era o idee complet nouă la acea vreme; l-a determinat pe von Neumann, unul dintre fondatorii mecanicii cuantice și un expert de top în teoria operatorilor, să încerce să aplice abordarea teoretică a operatorilor pentru rezolvarea problemei ergodice. Pe baza rezultatelor lui Koopman și A. Weil , el a finalizat crearea formalismului operator al mecanicii clasice, cunoscut acum sub numele de teoria Koopman-von Neumann, și deja în 1932 a publicat o serie de lucrări care au devenit fundamentale pentru teoria ergodică modernă. (în aceste lucrări a existat, în special, , a fost demonstrată celebra teoremă ergodică statistică ) [5] . În mod curios, în același an, von Neumann a publicat și Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice, care conținea prima expunere completă, riguroasă și sistematică a mecanicii cuantice în limbajul modern al spațiilor Hilbert.

Dispoziții și proprietăți de bază

Punctul de plecare al teoriei KvN este introducerea spațiului Hilbert al funcțiilor de coordonate și momente cu valori complexe și integrabile în pătrat , echipate cu următorul produs interior: $\Psi(t,p,q)$ $q$ $p$

\langle \Psi _{1}(t)|\Psi _{2}(t)\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}\Psi _{1}^ {*}(t,p,q)\Psi _{2}(t,p,q)\,dq\,dp,

(unu)

unde asteriscul înseamnă conjugare complexă (pentru a realiza cea mai vizuală analogie cu mecanica cuantică, în continuare, formalismul algebric al lui Dirac va fi folosit pentru a desemna elementele spațiului Hilbert ) [6] . Pătratul modulului unor astfel de funcții este postulat a fi egal cu densitatea clasică de probabilitate de a găsi o particule într-un punct dat din spațiul fazelor la momentul respectiv : $\rho (p,q,t)$ $(p,q)$ $t$

\rho (t,p,q)=|\Psi (t,p,q)|^{2}.

(2)

Din acest postulat și definiție ( 1 ), pe lângă condiția de normalizare , rezultă că valoarea medie a unei mărimi fizice arbitrare , dată de o funcție reală , poate fi găsită prin formula $\langle \Psi (t)|\Psi (t)\rangle =1$ $\langle X\rangle$ $X$ $X(p,q)$

\langle X\rangle (t)=\langle \Psi (t)|{\hat {X))\Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t){\hat {X}}| \Psi (t)\rangle =\langle \Psi (t)|{\hat {X}}|\Psi (t)\rangle ,

(3)

care coincide în mod formal cu expresia analogă a mecanicii cuantice Schrödinger (sensul capacului de mai sus va fi explicat mai jos). Acest lucru face legitimă denumirea funcției de undă clasică . $X$ $\Psi(t,p,q)$

Declarația centrală a teoriei este postulatul că legea evoluției funcției de undă clasică trebuie să coincidă exact în formă cu ecuația Liouville pentru distribuția clasică a densității de probabilitate în spațiul fazelor: $i{\frac {\partial }{\partial t))\rho ={\hat {L)}\rho$ $\rho (t,p,q)$

i{\frac {\partial }{\partial t)}|\Psi \rangle = {\hat {L)}|\Psi \rangle ,

(patru)

Unde

{\hat {L}}=-iH_{p}(x,p){\frac {\partial }{\partial x}}+iH_{x}(x,p){\frac {\partial }{\partial p))

(5)

este operatorul clasic Liouville . Din acest postulat, ținând cont de proprietățile ( 2 ) și ( 3 ) ale funcției de undă clasice, putem obține cea mai generală expresie a acesteia:

\Psi (t,p,q)={\sqrt {\rho (t,p,q)))e^{i\phi (t,p,q)},

(6)

în care faza este o funcţie reală arbitrară a argumentelor sale. $\phi (t,p,q)$

O caracteristică importantă a teoriei Koopman-von Neumann este că expresiile ( 5 ) și ( 6 ) sunt doar una dintre multele reprezentări echivalente posibile ale ecuațiilor dinamice. Cea mai generală formă modernă a generatorului de mișcare ( 5 ) este următoarea:

{\hat {L}}=-H_{p}({\hat {x}},{\hat {p}}){\hat {\lambda }}_{x}+H_{x} ({\hat {x)),{\hat {p))){\hat {\lambda }}_{p},

(7)

unde sunt operatori autoadjuncți care satisfac următoarele relații de comutație: ${\pălărie {x)),{\pălărie {p)),{\pălărie {\lambda }}_{x}, {\pălărie {\lambda }}_{p}$

[{\hat {x}},{\hat {\lambda }}_{x}]=i;\quad [{\hat {p}},{\hat {\lambda }}_{p }]=i;\quad [{\hat {p)),{\hat {x}}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {\lambda }}_{x }]=[{\hat {p)),{\hat {\lambda }}_{x}]=[{\hat {\lambda }}_{p},{\hat {x}}]=0 ,

(opt)

în care comutatorul operator este notat prin paranteze . Relațiile ( 8 ) sunt un analog clasic al relațiilor de comutație canonice ale mecanicii cuantice. Este ușor de verificat dacă expresia ( 5 ) este obținută din ( 8 ) atunci când alegeți , , , . Totuși, ca și în mecanica cuantică, alegerea unei forme algebrice specifice pentru acești operatori nu este esențială și este determinată doar de considerente de comoditate. $[\cdot ,\cdot ]$ ${\hat x}=x$ ${\hat {p}}=p$ ${\hat {\lambda })_{x}=-i {\frac {\partial }{\partial x)}$ ${\hat {\lambda })_{p}=-i {\frac {\partial {\partial p)}$

În mod similar, orice mărime fizică este asociată cu operatorul hermitian al observabilului clasic , obținut prin înlocuirea cu operatori cu argumentele corespunzătoare. Este instructiv faptul că, spre deosebire de mecanica cuantică, o astfel de înlocuire este unică datorită faptului că operatorii clasici fac naveta . Din același motiv, operatorii KvN de toate mărimile fizice fac naveta între ei. $X(p,q)$ ${\hat {X}}=X({\hat {p}},{\hat {q}}))$ $\hat x$ ${\pălărie {p)}$

Generatorul de mișcare ( 7 ) este de asemenea un operator hermitian și, prin urmare, dinamica temporală descrisă de ecuația ( 4 ) este descrisă printr-o transformare unitară a funcției de undă clasice: , iar maparea este un grup cu un parametru . În acest sens, ecuația ( 4 ) este complet echivalentă din punct de vedere structural cu ecuația Schrödinger. Această observație făcută de Koopman a fost cea care a stimulat dezvoltarea teoriei KvN. $U_{t}$ $|\Psi (t)\rangle =U_{t}|\Psi (0)\rangle$ $t\mapsto U_{t)$

Astăzi, posibilitatea formei operatorului abstract de mai sus de a scrie ecuațiile dinamicii clasice poate părea suficient de evidentă, dar la începutul anilor 1930 această idee era complet nouă și revoluționară. A deschis perspective neașteptate pentru legătura directă a aparatului matematic mecanic cuantic, în special, teoria reprezentării, cu analiza sistemelor clasice, pe care von Neumann nu a omis să le folosească pentru a-și demonstra teorema ergodică. [1] Ca exemple de împrumuturi mai moderne, se pot evidenția metodele teoriei perturbațiilor și integrării funcționale [7] , tehnica diagramei Feynman [8] .

Corelația cu mecanica cuantică

În ciuda multor asemănări formale cu mecanica cuantică Schrödinger , teoria KvN are diferențe semnificative cu ea. Verificarea directă [6] arată că evoluția funcției clasice de undă ( 6 ) conform legii ( 4 ) se descompune în două ecuații independente pentru fază și factorul pre-exponențial. Astfel, factorul de fază din teoria KvN acționează ca un parametru liber arbitrar care nu afectează în niciun fel dinamica observabilelor clasice. Acest lucru distinge calitativ funcția de undă clasică de cea cuantică, unde un factor de fază similar poartă informații importante despre coerența cuantică , care este sursa tuturor efectelor cuantice specifice. Din același motiv, o măsurătoare neselectivă nu modifică funcția de undă clasică [6] . $\phi (t,p,q)$ $\phi (t,p,q)$


Detalii Fișierele video ilustrează, respectiv, dinamica clasică și cuantică a distribuției particulelor de unitate de masă în potențialul Morse : pentru condiții inițiale identice: . Punctele negre descriu mișcarea particulelor clasice în conformitate cu legile dinamicii newtoniene . Liniile negre sunt nivelurile aceleiași energie totală (cinetică + potențială) a particulelor. $U(x)=20(1-e^{-0{,}16x})^{2}$ $P(0,p,q)=\Psi (0,p,q)$

O altă diferență fundamentală a mecanicii KvN este locul izolat al generatorului de mișcare ( 7 ) — Liouvilleanul clasic. Operatorul ( 7 ) este singurul operator al teoriei care nu corespunde nici unei mărimi fizice și nu face naveta cu operatorii cantităților fizice (care, reamintim, toți comută datorită relațiilor ( 8 )). Din acest motiv, în teoria KvN, pentru a introduce un generator de mișcare, este necesară extinderea algebrei operatorilor de mărimi fizice prin introducerea unor operatori „diferențiali” auxiliari speciali și . Cazul mecanicii cuantice este mult mai simplu. Hamiltonianul cuantic, care reprezintă generatorul de mișcare în ecuația Schrödinger , este în același timp operatorul mecanic cuantic al energiei sistemului și, dacă este necesar, poate fi exprimat în termeni de operatori ai altor observabile, adică nu trebuie introdus artificial în algebra operatorilor cuantici din exterior. Cine știe dacă această diferență nu este motivul filozofic fundamental care a determinat Natura să „prefere” mecanica cuantică? [9] $\lambda _{x}$ $\lambda _{p}$

O întrebare interesantă și neînțeleasă pe deplin este dacă modelul Koopman-von Neumann este limita clasică a oricărei reprezentări cuantice. Răspunsul, și destul de neașteptat, este disponibil numai pentru cazul în care „contrapartida” cuantică a funcției de undă clasice este o stare cuantică pură . [10] Se poate arăta că generatorul de mișcare KvN corect în forma ( 7 ) este obținut ca limită clasică în generatorul de mișcare corespunzător pentru funcția Wigner . Picantul situației constă în faptul că funcția Wigner și generatorul de mișcare care îi corespunde sunt definite nu în Hilbert, ci în spațiul clasic al fazelor, întruchipând ideea de a traduce descrierea proceselor mecanice cuantice în limbaj. a mecanicii clasice, care este în esență diametral opusă conceptului de teorie KvN. Îmblanzirea luptei contrariilor se poate realiza prin introducerea produsului scalar sub forma ( 1 ) în spațiul clasic al fazelor și postulând în locul formulei standard pentru calcularea mediilor. $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

\langle X\rangle =\int \limits _{p}\int \limits _{q}X(p,q)P(p,q)\,dq\,dp

(9)

regula ( 3 ) (cu substituție de funcție în loc de ). Se dovedește că o astfel de reprezentare Wigner modificată este corectă din punct de vedere fizic pentru stările cuantice pure (adică rezultatele calculelor prin formulele ( 3 ) și ( 9 ) coincid) și trece la ecuațiile mecanicii Koopman-von Neumann în limita clasică. . Este de remarcat faptul că, în acest caz, problema negativității „funcției de distribuție de cvasi-probabilitate Wigner” este înlăturată radical , deoarece în noua interpretare distribuția de probabilitate nu coincide cu funcția , ci este calculată prin formula ( 2 ) și este intotdeauna pozitiv. Cu toate acestea, o slăbiciune semnificativă a schemei de mai sus este imposibilitatea extinderii acesteia la cazul stărilor cuantice mixte . $P(p,q)$ $\Psi(p,q)$ $\hbar \to 0$ $P(p,q)$

Înțeles

De-a lungul anilor de existență, teoria Koopman-von Neumann, spre deosebire de reprezentarea Wigner destul de utilizată, nu a reușit să găsească aplicații practice directe și, prin urmare, mențiunea ei în literatura științifică poate fi găsită în principal pe paginile din publicaţii destinate unui cerc restrâns de specialişti în fizică matematică. Datorită popularității relativ scăzute a teoriei, semnificația ei istorică și potențialul metodologic rămân puțin explorate.

În lucrările moderne, teoria KvN este uneori folosită ca instrument constructiv, de exemplu, pentru dezvoltarea tehnicii diagramei Feynman în teoria clasică a perturbațiilor. [8] Cu toate acestea, nișa sa principală în știința modernă este reinterpretarea rezultatelor obținute prin alte metode pentru a clarifica semnificația fizică, generalizarea și sistematizarea acestora. Acest lucru se aplică în principal cazurilor semiclasice, pentru care teoria este un instrument suplimentar convenabil pentru studierea corespondenței dintre limitele clasice și cuantice.

Note

↑ 1 2 The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 50), editat de James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0-8218-4219-6
↑ Detalii despre rezultatul lui Stone pot fi găsite în articolul Teorema lui Stone privind grupurile de operatori unitari într-un spațiu Hilbert .
↑ Koopman, B. O. „Hamiltonian Systems and Transformations in Hilbert Space” // Proceedings of the National Academy of Sciences 17 (5), 315 (1931).
↑ Idei similare au fost dezvoltate simultan și independent de Weil .
↑ von Neumann, J. „Zur Operatorenmethod In Der Klassischen Mechanik” // Annals of Mathematics 33 (3), 587–642 (1932). von Neumann, J. „Zusatze Zur Arbeit „Zur Operatorenmethode...” // Analele matematicii 33 (4), 789–791 (1932). Opere colectate ale lui John von Neumann , Taub, AH, ed., Pergamon Press, 1963. ISBN 0-08-009566-6
↑ 1 2 3 Mauro, D. (2002). „Subiecte în teoria Koopman-von Neumann”. arXiv:quant-ph/0301172 [quant-ph] Arhivat 6 octombrie 2016 la Wayback Machine . (Există o traducere selectivă în rusă de M.Kh. Shulman: [1] Copie de arhivă din 4 martie 2016 la Wayback Machine ).
↑ Liboff, RL Teoria cinetică : descrieri clasice, cuantice și relativiste . - Springer, 2003. - ISBN 9780387955513 .
↑ 1 2 Blasone M., Jizba P., Kleinert H. „Abordarea integrală a căii a derivației lui 't Hooft a fizicii cuantice din fizica clasică” // Physical Review A 71 (5), 052507 (2005).
↑ Grishanin B. A. „Mecanica clasică în formă cuantică: de ce natura „prefera” mecanica cuantică”, în cartea: B. A. Grishanin. Lucrări alese și memorii ale rudelor, prietenilor și colegilor (editate de V. N. Zadkov și Yu. M. Romanovsky) - Editura MSU, 2011.
↑ Bondar D.; Cabrera R.; Jdanov D.; Rabitz H. (2012). „Negativitatea funcției Wigner demistificată” // arXiv:1202.3628[quant-ph] Arhivată 10 decembrie 2020 la Wayback Machine .

Literatură

Mauro, D. (2002). „Subiecte în teoria Koopman-von Neumann”. arXiv: quant-ph/0301172 [quant-ph] . (Există o traducere selectivă în rusă de M. Kh. Shulman: [2] ).
John von Neumann , Fundamentele matematice ale mecanicii cuantice , Princeton University Press, 1955. Retipărit în formă broșată.
HR Jauslin, D. Sugny, Dynamics of mixed classical-quantum systems, geometric cuantization and coerent states (link nu este disponibil) , Lecture Note Series, IMS, NUS, Review Vol., 13 august 2009
The Legacy of John von Neumann (Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, vol. 50), editat de James Glimm, John Impagliazzo, Isadore Singer . - Amata Graphics, 2006. - ISBN 0821842196