Teorema lui Chall privind clasificarea mișcărilor

Teorema lui Chall clasifică toate transformările izometrice (mișcările) ale planului.

Numit după Michel Chall . Alte afirmații din fizică sunt numite și teorema lui Shall .

Formulări

Avion

Orice mișcare de păstrare a orientării a planului este fie o rotație (în special, o simetrie centrală , precum și o mapare de identitate ) sau o translație paralelă .

Orice mișcare de schimbare a orientării a unui plan este o simetrie axială sau de alunecare .

Spațiu

Orice mișcare de menținere a orientării a spațiului este o viraj de alunecare .

Orice mișcare a spațiului care schimbă orientarea este o compoziție de simetrie a oglinzii și rotație de alunecare.

Dovada

Principalele idei ale dovezii:

Orice mișcare este definită în mod unic de trei puncte diferite și de imaginile acestora.
Orice mișcare poate fi reprezentată ca o compoziție de cel mult trei simetrii axiale .
Enumerarea opțiunilor: mișcarea poate fi reprezentată ca o compoziție de una, două sau trei simetrii axiale.

Lema celor trei cuie

Orice mișcare este definită în mod unic de trei puncte neîntinse și de imaginile acestora. Cu alte cuvinte, pentru orice puncte neliniare și imaginile acestora, există o mișcare unică $A,B,C$ $A',B',C'$ $f:A\mapsto A',B\mapsto B',C\mapsto C'$

Dovada

Luați orice punct și imaginea lui . - mișcare, ceea ce înseamnă ; din care rezultă că se află pe un cerc cu centrul la și raza . $D\neq A,B,C$ $D'$ $f$ $AD=A'D'$ $D'$ $A'$ $ANUNȚ$

Un argument similar pentru puncte și arată că se află și pe un cerc cu centrul la și raza și pe un cerc cu centrul la și raza . $B$ $C$ $D'$ $B'$ $BD$ $C'$ $CD$

Deoarece trei cercuri ale căror centre nu se află pe o singură dreaptă se pot intersecta doar într-un punct, există o imagine unică pentru orice punct . Această afirmație este echivalentă cu unicitatea mișcării. $D'$ $D$

Lema pe trei simetrii

Orice mișcare poate fi reprezentată ca o compoziție de cel mult trei simetrii axiale . Cu alte cuvinte, orice mișcare este reprezentabilă fie ca sau ca sau ca . $f$ $S_{l)$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Dovada

Să luăm o mișcare arbitrară și să punctăm cu imaginile lor . Dacă demonstrăm că pentru există o compoziție de simetrii echivalentă cu , atunci prin lema celor trei cuie în cazul general. $f$ $A,B,C$ $A',B',C'$ $A,B,C$ $g$ $f$ $f = g$

Rețineți că , din moment ce și $S_{l_{i}}\circ \cdots \circ S_{l_{1}}\circ f=Id\Leftrightarrow f=S_{l_{1}}\circ \cdots \circ S_{l_{i }}$ $S_{l}^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}S_{l)$ $(f\circ g)^{-1}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}g^{-1}\circ f^{-1}$

Să găsim o reprezentare sub forma unei compoziții de simetrii axiale: $f$

Luați în considerare o simetrie astfel încât . Cu o astfel de simetrie, un punct fie va merge la un punct nou, fie va reveni la . Ideea va merge în mod similar fie la unii, fie înapoi la . Dacă și a revenit la și , atunci , unde este transformarea identică a . In acest caz . $S_{l_{1)}$ $A\mapsto A'$ $B$ $B'_{1)$ $B'$ $C$ $C'_1$ $C'$ $B$ $C$ $B'$ $C'$ $S_{l_{1}}\circ f=Id$ $ID$ $f=S_{l_{1)}$
Acum, dacă punctul este , atunci considerăm o simetrie astfel încât . Rețineți că este bisectoarea perpendiculară pe segmentul , prin definiția simetriei axiale. $B\mapsto B'_{1)$ $S_{l_{2)}$ $B'_{1}\mapsto B'$ $l_{2}$ $B'B'_{1)$

$f$ , sunt mișcări și, prin urmare, . Prin urmare, se află pe bisectoarea perpendiculară pe segment (prin proprietatea bisectoarei perpendiculare), adică pe dreapta . De aici rezultă că la transformarea - . Dacă , atunci în mod similar , adică când va merge la . În caz contrar , înseamnă că va trece din nou fie către unii, fie către . Total, dacă sau la ; sau la , atunci . Aceasta înseamnă că . $S_{l_{1)}$ $AB{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'B'~{\text{u}}~AB{\overset {\underset {\mathrm {S_{ l_{1}}} }{}}{=}}A'B'_{1}$ $A'$ $B'B'_{1)$ $l_{2}$ $S_{l_{2)}$ $A'\mapsto A'$ $C'\mapsto C$ $CB=^{f}C'B'=^{S_{l_{1}}}CB'_{1}$ $S_{l_{2)}$ $C$ $C'$ $C\mapsto C'_{1)$ $C'_1$ $C'_2$ $C'$ $C'_{1}\mapsto C'$ $S_{l_{2)}$ $C\mapsto C'$ $S_{l_{1)}$ $S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$

Dacă , luați în considerare o simetrie astfel încât . ${\displaystyle C\mapsto C'_{1}\mapsto C'_{2))$ $S_{l_{3)}$ $C'_{2}\mapsto C'$

Evident, este bisectoarea perpendiculară pe segment . , , sunt mișcări și, prin urmare, . Prin urmare, aparține bisectoarei perpendiculare pe segmentul , adică . Aceasta înseamnă că se traduce prin . Dacă , atunci în mod similar . În caz contrar, , prin urmare , se află și pe . Aceasta înseamnă că se traduce prin . Prin urmare, , ceea ce înseamnă . $l_3$ $C'C'_{2}$ $f$ $S_{l_{1)}$ $S_{l_{2)}$ $AC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}A'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}A'C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}A'C'_{2}$ $A'$ $C'C'_{2}$ $l_3$ $S_{l_{3)}$ $A'$ $A'$ $B\mapsto B'$ $B'\in l_{3}$ $B\mapsto B'_{1}\mapsto B'$ $BC{\overset {\underset {\mathrm {f} }{}}{=}}B'C'{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{1}}} }{}} {=}}B'_{1}C'_{1}{\overset {\underset {\mathrm {S_{l_{2}}} }{}}{=}}B'C'_{2}$ $B'$ $l_3$ $S_{l_{3)}$ $B'$ $B'$ $S_{l_{3}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{1}}\circ f=Id$ $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$

Lista de opțiuni

Acum, fiecare mișcare dată poate fi reprezentată ca o compoziție de cel mult trei simetrii prin lema celor trei simetrii . $f$

Clasificăm egalitatea rezultată, clasificând astfel orice mișcare dată:

Dacă , atunci este simetria axială . $f=S_{l)$ $f$
Dacă , atunci fie și atunci este o translație paralelă , sau și atunci este o rotație . $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}$ $l_{1}\parallel l_{2)$ $f$ $l_{1}\nparalel l_{2)$ $f$
În caz contrar, și apoi - simetrie de alunecare (în funcție de proprietatea simetriei de alunecare). $f=S_{l_{1}}\circ S_{l_{2}}\circ S_{l_{3}}$ $f$

Aplicații

Media lui Hjelmslev înseamnă teorema

Surse

Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 228-229. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
Teorema lui Chall în probleme
Teoreme despre compoziția mișcării