Teorema Huygens-Steiner

Teorema Huygens-Steiner ( teorema lui Huygens, teorema lui Steiner ): momentul de inerție al unui corp în jurul unei axe fixe arbitrare este egal cu suma momentului de inerție al acestui corp în jurul unei axe paralele cu acesta, care trece prin centrul de masă al corpului și produsul dintre masa corpului cu pătratul distanței dintre axe [1] : $J$ $J_{C}$ $m$ $d$

J=J_{C}+md^{2)

Teorema este numită după matematicianul elvețian Jakob Steiner și matematicianul, fizicianul și astronomul olandez Christian Huygens .

Concluzie

Vom considera un corp absolut rigid format dintr-un set de puncte materiale [2] .

Prin definiția momentului de inerție pentru și, putem scrie $J_{C}$ $J$

J_{C}=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2},

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} '_{i})^{2},

unde este vectorul rază al punctului corpului din sistemul de coordonate cu originea situată la centrul de masă și este vectorul rază al punctului din noul sistem de coordonate, prin originea căruia trece noua axă. $\mathbf {r}$ $\mathbf {r} '$

Vectorul rază poate fi scris ca suma a doi vectori: $\mathbf {r'} _{i)$

\mathbf {r} '_{i}=\mathbf {r} _{i}+\mathbf {d} ,

unde este vectorul rază al distanței dintre vechiul (trecerea prin centrul de masă) și noua axă de rotație. Apoi expresia pentru momentul de inerție ia forma $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\sum _{i=1}^{n} m_{i}\mathbf {r} _{i}\mathbf {d} +\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {d} )^{2}.

Scotând pentru suma, primim $\mathbf {d}$

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+2\mathbf {d} \sum _{i=1 }^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i}+d^{2}\sum _{i=1}^{n}m_{i}.

Prin definiția centrului de masă, pentru vectorul său cu rază , $\mathbf {r} _{c}$

\mathbf {r} _{c}={\frac {\sum \limits _{i}m_{i}\mathbf {r} _{i)}{\sum \limits _{i}m_{ eu}}}.

Deoarece într-un sistem de coordonate cu originea situată la centrul de masă, vectorul rază a centrului de masă este egal cu zero, atunci suma este egală cu zero . $\sum _{i=1}^{n}m_{i}\mathbf {r} _{i)$

Apoi

J=\sum _{i=1}^{n}m_{i}(\mathbf {r} _{i})^{2}+d^{2}\sum _{i=1} ^{n}m_{i},

de unde urmează formula dorită:

J=J_{C}+md^{2},

unde este momentul de inerție cunoscut față de axa care trece prin centrul de masă al corpului. $J_{C}$

Dacă corpul nu este format din puncte materiale, ci este format dintr-o masă distribuită continuu, atunci în toate formulele de mai sus, însumarea este înlocuită cu integrare. Linia de raționament rămâne aceeași.

Consecință . Din formula rezultată, este evident că . Prin urmare, se poate susține că momentul de inerție al corpului față de axa care trece prin centrul de masă al corpului este cel mai mic dintre toate momentele de inerție ale corpului față de axele având o direcție dată. $J\geq J_{C)$

Exemplu

Momentul de inerție al tijei în jurul axei care trece prin centrul său și perpendicular pe tijă (să-i spunem axa ) este egal cu $C$

J_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.

Apoi, conform teoremei Steiner, momentul său în jurul unei axe paralele arbitrare va fi egal cu

J=J_{C}+md^{2},

unde este distanta dintre aceasta axa si axa . În special, momentul de inerție al tijei în raport cu axa care trece prin capătul său și perpendicular pe tijă poate fi găsit punând în ultima formulă : $d$ $C$ $d=L/2$

J=J_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.

Recalcularea tensorului de inerție

Teorema Huygens-Steiner admite o generalizare la tensorul momentului de inerție , ceea ce face posibilă obținerea unui tensor față de un punct arbitrar dintr-un tensor față de centrul de masă. Fie deplasarea de la centrul de masă, atunci ${\hat {J}}_{ij}$ ${\hat {I}}_{ij}$ ${\mathbf {a}}$

{\hat {J}}_{ij}={\hat {I}}_{ij}+m(a^{2}\delta _{ij}-a_{i}a_{j}) ,

Unde

\mathbf {a} =(a_{1},a_{2},a_{3})

este vectorul deplasării față de centrul de masă și este simbolul Kronecker .

\delta _{{ij}}

După cum se vede, pentru elementele diagonale ale tensorului (la ), formula are forma teoremei Huygens-Steiner pentru moment despre noua axă. $i=j$

Vezi și

Note

↑ Targ S. M. Un scurt curs de mecanică teoretică. - Ed. a 11-a. - M . : " Şcoala superioară ", 1995. - S. 268-269. — 416 p. — ISBN 5-06-003117-9 .
↑ Un corp absolut rigid format dintr-un set de puncte materiale este un sistem mecanic în care distanțele dintre punctele sale constitutive sunt constante.