Teorema Steiner-Lemus
Teorema Steiner-Lemus este o teoremă de geometrie a triunghiului . Este cunoscut ca exemplu de afirmație aparent simplă care nu are o dovadă clasică simplă, deși există o dovadă analitică simplă.
Formulare
Dacă un triunghi are 2 bisectoare, atunci triunghiul este isoscel.
Istoria dovezilor
Dovada a fost dată în lucrarea geometrilor germani Jakob Steiner și Daniel Lemus .
În 1963, American Mathematical Monthly a lansat un concurs pentru cea mai bună demonstrație a teoremei. Au fost trimise o mulțime de probe, printre care s-au găsit interesante și necunoscute anterior. Unul dintre cei mai buni [1] , conform editorilor, folosește metoda contradicției și un cerc care trece prin 4 puncte ca construcție suplimentară.
În literatura sovietică, o demonstrație bazată pe următorul criteriu pentru egalitatea triunghiurilor este larg răspândită : dacă unghiul, bisectoarea acestui unghi și latura opusă acestui unghi a unui triunghi sunt egale cu elementele corespunzătoare ale altui triunghi, atunci astfel de triunghiuri sunt egale.
Dovada analitică rezultă din formula pentru lungimea bisectoarei
Variații și generalizări
- O teoremă similară pentru bisectoare ale unghiurilor externe (segmente ale bisectoarelor unghiurilor externe desenate înainte de extinderea laturilor) nu este adevărată. Un contraexemplu este triunghiul Bottem cu unghiuri de 12°, 132° și 36°. În ea, segmentele bisectoarelor exterioare primelor două unghiuri, trasate la intersecția cu prelungirile laturilor, sunt egale cu latura care leagă vârfurile.
Literatură
- Curs optional de matematica. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M . : Educaţie , 1991. - S. 335-338. — 383 p. — ISBN 5-09-001287-3 .
- Ponarin Iakov Petrovici. Geometrie elementară. În 2 [3] vol. Ed. Semyonov A.V. - M. : MTsNMO, 2004 (volumul 1), 2006 (volumul 2), 2009 (volumul 3). - 312+256+192 p. - ISBN 978-5-94057-397-5 , 978-5-94057-170-0 (toate volumele), 978-5-94057-171-9 (volumul 1), 978- 5-94057-223-5 (Volumul 2), 978-5-94057-400-2 (Volumul 3). Pentru această teoremă, vezi Vol. 1, pp. 31-32.
- Weisstein, Eric W. Teorema Steiner–Lehmus (engleză) pe site-ul web Wolfram MathWorld .
- Câteva dovezi ale teoremei Steiner-Lemus
Note
- ↑ Coxeter G.S.M. , Greitzer S.P. Noi întâlniri cu geometria . - M . : Nauka , 1978. - T. 14. - ( Biblioteca Cercului Matematic ).